ПРАКТИКУМ ЕММ



Вступ

Назва «Математичне програмування» у сучасної людини асоціюється перш за все з програмуванням як процесом створення програм для ПЕОМ за допомогою спеціальної мови. В економічних, виробничих, технологічних процесах різних галузей народного господарства виникають задачі подібні за постановкою, що мають ряд спільних ознак та розв’язуються схожими методами. Типова постановка задачі математичного програмування наступна: деякий процес може розвиватись за різними варіантами, кожен з яких має свої переваги та недоліки, причому, як правило, таких варіантів може бути безліч. З цією метою використовуються математичні методи знаходження найкращої дії.
Розробка економіко-математичних методів і моделей при вивченні і аналізі кількісних відношень економічних процесів спирається на всебічне вивчення суті цих процесів, змісту об’єктивних економічних законів, конкретних форм їх вияву. Відповідно основною метою курсу є формування системи знань з методології та інструментарію побудови і використання різних типів економіко-математичних моделей.
Завданням вивчення дисципліни є освоєння основних принципів та інструментарію постановки задач, побудови економіко-математичних моделей, методів їх розв’язування та аналізу з метою використання в економіці.
Економіко-математичне моделювання входить в число базових дисциплін сучасної економічної освіти і відповідно забезпечує вивчення та засвоєння нормативних та вибіркових дисциплін, передбачених освітньо-професійною програмою підготовки фахівців за вказаними напрямами підготовки.

Лабораторна робота №1

ТРАНСПОРТНА ЗАДАЧА

Завдання: Розробити оптимальну схему вантажних перевезень , визначити суму найменших витрат на перевезення.
Вихідні дані до лабораторної роботи по варіантах
Варіант
Вихідні дані

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.
Методичні рекомендації до виконання роботи
Транспортна задача (задача Монжа Канторовича) задача про оптимальний план перевезення продукту (-тів) із пунктів відправлення до пунктів споживання. Розробка і використання оптимальних схем вантажних потоків дозволяють знизити витрати на перевезення. Транспортна задача по [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] є NP-складною або входить в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Коли сумарний об'єм пропозицій (вантажів, наявних в пунктах відправки) не дорівнює загальному об'єму попиту на товари (вантажі), які потрібні пунктам споживання, то транспорта задача називається незбалансованою.
Для отримання розв’язку у Excel спочатку необхідно розмістити матриці вхідних даних у відповідних клітинках таблиці (рис.1.1).
Спочатку створюємо таблицю вхідних даних з потужностями складів та попитом споживачів, а шуканим результатам придають нульові значення.
Нижче розміщуємо таблицю із заданою матрицею вартостей перевезень від кожного складу до кожного споживача.
Відкриваємо цільову клітинку, в яку записуємо функцію =СУММПРОИЗВ(В11:Е13;В3:Е5) для даного прикладу, тобто в дужках мають бути координати матриці перевезень вантажів з першої таблиці та матриці вартостей перевезень цих вантажів з другої таблиці.
Нижче цільової клітки записуємо всі обмеження до задачі як по горизонталі таблиці вхідних даних, так і по вертикалі цієї ж таблиці. Використовуємо функцію =СУММ(В3:Е3) для обмеження запасів на складі А1 і так далі.

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рисунок 1.1 - Таблиця вихідних даних і обмежень задачі

Відкриваємо із меню Сервис Надстройку Поиск решения , де записуємо координати раніше відкритої цільової клітинки і встановлюємо мітку на “Равной минимальному значению” та “изменяя ячейки $B3$E5”, тобто координати тих кліток, у які занесені нульові наближення для пошуку розв”язку .
У тому ж меню встановлюємо координати обмежень, записані за п.4. При цьому меню має такий вигляд рис. 1.2.

13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рисунок 1.2 - Приклад використання надстройки «Поиск решения»

Команду на розрахунок посилаємо клацанням по кнопці “Выполнить”.
Результат розрахунку матиме вигляд (рис1.3)
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рисунок 1.3 - Результат розрахунку транспортної задачі

Основні завдання і запитання для самоперевірки
Сформулюйте задачу динамічного програмування.
Опишіть суть принципу поетапної побудови оптимального управління.
Сформулюйте задачу вибору шляху/визначення найкоротших відстаней за заданою зв”язаною мережею шляхів.
В чому полягає суть етапу і кроку при розрахунку задачі вибору шляху?
Алгоритм розрахунку задачі вибору шляху.
Суть методу функціональних рівнянь.
Напишіть функціональне рівняння загального вигляду для дискретного процесу і поясніть величини, що входять в це рівняння.

Лабораторна робота № 2
СИМПЛЕКС МЕТОД, ДВОЇСТА ЗАДАЧА
2.1 Прямий симплекс метод
Завдання: На основі даних таблиці 2.1 знайти оптимальний план виробництва продукції, який забезпечить отримання максимального прибутку.

Таблиця 2.1 Вихідні дані для розвязку
Верстати

Види деталей та витрати часу одну деталь

Фонд часу
bj , год



В1

В2

В3
В4



А1

2
4
8
7
4N

А2

N+2
3
N-1
5
12

Аm

5
N
3
0
20

Прибуток сj,
грн./од.
3
5+N
4
N




Методичні рекомендації до виконання роботи

Симплекс метод в порівнянні з графічним методом забезпечує більш раціональне рішення задачі. Розпочинаючи з будь-якої вершини багатокутника, твореного обмеженнями, переходять до розрахунку тільки тієї вершини, в якій значення лінійної форми буде більшим, чим в попередніх. Решту варіантів не обчислюють. Тоді при кінцевому числі кроків може бути найдений оптимальний план. Таким чином, виконується впорядкований перебір вершин, при яких відбувається постійне збільшення лінійної форми. Тому симплекс-метод також називають методом послідовного покращення оптимального плану. Рішення задачі симплекс-методом включає в себе два етапи. Спочатку потрібно найти вершину багатокутника обмежень, координати якої визначають початковий опорний план. Потім послідовно переходимо від однієї вершини багатокутника до іншої, яка сусідня попередній. Так як прилеглих вершин багато, то кожний раз вибирається така вершина, при переході до якої забезпечується найбільший приріст лінійної форми. На кожному кроці процесу покращення плану виконується перевірка на оптимальність. Очевидно, що план буде оптимальний, якщо серед вершин, які прилягають до даної, немає такої, при переході до якої відбувається ріст лінійної функції.
За звичай, симплекс-метод реалізується у вигляді симплекс-таблиць. У першому стовпчику цієї таблиці зазначають вектори, які входять в базис. У другому – коефіцієнти цільової функції, які відповідають векторам, що входять в базис. Третій стовпчик – компоненти опорного плану.
Головною перевагою симплекс-методу є його універсальність, будь-яку задачу лінійного програмування можна з легкістю вирішити як за допомогою програмного забезпечення так і вручну. Якщо обчислення і створення симплекс-таблиць пишеться вручну, то єдиною трудністю може стати обчислення: якщо велика кількість обмежень через неуважність можна отримати хибне рішення.

2.2 Двоїстий симплекс-метод
Завданя: Визначити максимальне значення можливих функцій, знайти значення цільової функції.
Двоїстий симплекс-метод і симплекс-метод за алгоритмом досить схожі. Однак двоїстий симплекс-метод можна застосовувати при рішенні задач лінійного програмування, вільні члени системи рівнянь якої можуть бути будь-якими числами (при розв’язку задачі симплексним методом ці числа передбачалися додатніми).
Нехай за умовою задачі потрібно визначити максимальне значення функції:
13 EMBED Equation.3 1415 .(3.2.1)
Нехай
13 EMBED Equation.3 1415 (3.2.2)
де 13 EMBED Equation.3 1415- одиничні вектори.
Для того, щоб вирішити задачу двоїстим симплекс-методом потрібно виконати дві умови. Спочатку необхідно знайти так званий псевдо план задачі. Рішення системи лінійних рівнянь(3.2.2), приймаючи до уваги базис(одиничні вектори), називається псевдопланом задачі, якщо всі умови даної системи задоволені. Потім рішення зводиться до перевірки отриманого псевдоплану. Якщо він оптимальний, то отримане значення і є розв’язком задачі. Якщо ж ні, то потрібно знову встановлювати псевдоплан. Після цього, вибирають рядок, що дозволяє, за допомогою визначення найбільшого по абсолютній величині негативного числа стовпця вектора 13 EMBED Equation.3 1415 і результуючого стовпчика, знаходження найменшого по абсолютній величині відношення елементів (13 EMBED Equation.3 1415) і рядка до відповідного негативним елементам результуючого рядка. Знаходять новий псевдоплан і цикл розв’язку задачі повторюється.
В порівнянні з методами, описаними раніше, двоїстий симплекс-метод дає змогу розв’язувати задачі лінійного програмування, системи обмежень яких при додатньому базисі містять вільні члени будь-якого знаку. Цей метод дозволяє зменшити кількість перетворень системи обмежень, а також розміри симплексної таблиці.
Дана програма написана в Excel. В ній задаються обмеження і значення цільової функції, які можна змінювати. Потім програма проводить розрахунки і в клітинках, яким попередньо були присвоєнні спеціальні імена, записує розв’язок функції мети і значення змінних, при яких цей оптимальний розв’язок був отриманий. Розглянемо всі введення даних детальніше.
Вхідними даними для даної задачі є виражені з обмежень значення кожної змінної 13 EMBED Equation.3 1415 та вираз для обчислення цільової функції. Значення змінних вводяться в поле «Ограничения» в меню інструменту Пошук розв'язку. Вираз значення цільової функції вводиться в комірку робочого аркуша.
Вихідними даними є значення кожної змінної 13 EMBED Equation.3 1415 та максимальне значення цільової функції, які будуть записані у визначених клітинках робочої таблиці.
Щоб отримати розв'язок задачі лінійного програмування за допомогою Excel потрібно виконати наступні дії:
1. В заданій задачі три змінних, тому клітинкам 13 EMBED Equation.3 1415 потрібно присвоїти імена відповідно 13 EMBED Equation.3 1415 - витрати на рекламу по телебаченню; 13 EMBED Equation.3 1415 - витрати на радіорекламу; 13 EMBED Equation.3 1415 - витрати на рекламу у газетах. Для цього викликаємо команду Вставка Имя Присвоить. У вікні, що появилося записуємо ім’я, яке хочемо присвоїти клітинці, для першої клітинки це буде 13 EMBED Equation.3 1415, і натиснути Enter. Для двох решти клітинок, що залишилися виконуємо аналогічні дії у присвоєнні імені. Після цього у клітинці 13 EMBED Equation.3 1415 аналогічно, як і для змінних, присвоюємо ім’я 13 EMBED Equation.3 1415, в ній програма запише розв’язок даної задачі (рисунок 3.1):


Рисунок 3.1– Вікно для присвоєння імені для комірки цільової функції
Після цього у цій же комірці записуємо формулу для обчислення значення цільової функції у наступному вигляді: 13 EMBED Equation.3 1415
Запускаємо програму. Спочатку натискаємо на вкладку Сервис, що знаходиться на панелі інструментів, і в меню, що появилося, вибираємо Поиск решения (рисунок 3.2):


Рисунок 3.2 – Заповнення вікна Поиск решения

В даному діалоговому вікні встановлюємо значення цільової клітинки 13 EMBED Equation.3 1415 та зазначаємо пошук максимуму цільової функції. Задаємо клітинки, в яких буде розв'язок даної задачі діапазон клітинок від 13 EMBED Equation.3 1415 до 13 EMBED Equation.3 1415. За допомогою кнопки Добавить додаємо обмеження у вигляді восьми обмежень (рисунок 3.3):


Рисунок 3.3 – Вікно для додавання обмежень
В меню Параметры відмічаємо, що модель лінійна (рисунок 3.4):


Рисунок 3.4 – Вікно для визначення параметрів

Натиснувши на кнопку Выполнить отримуємо розв'язок задачі (рисунок 3.5):

Рисунок 3.5 – Розв’язок даної задачі

В комірках 13 EMBED Equation.3 1415 отримали відповідні значення 13 EMBED Equation.3 1415, а в комірці 13 EMBED Equation.3 1415 максимальне значення цільової функції.





Основні завдання і запитання для самоперевірки
Сформулюйте математичну постановку задачі завантаження виробничої потужності. Економічна суть цільової функції та обмежень.
Суть симплекс-методу розв”язання задачі лінійного програмування. Економічна інтерпретація значень симплекс-таблиці розв”язку.
Загальна схема розв”язання задачі завантаження виробничої потужності в програмному забезпеченні Mathcad.
Загальна схема розв”язання задачі завантаження виробничої потужності в програмному забезпеченні Excel.
В чому полягає суть двоїстої задачі лінійного програмування?


Лабораторна робота № 3
Тема 3.Оцінка показників кількісного оцінювання ступеня ризику

Завдання1: По вихідним даним (табл. 3.1) тридцятьох спостережень втрат визначеного виду підприємницької діяльності необхідно:
1. Скласти інтервальний ряд (втрати представлені відносним показником у частках від розрахункового виторгу (доходу)); оцінити крапкові характеристики розподілу втрат.
2. Апроксимувати експериментальний розподіл втрат нормальним законом розподілу ймовірностей з перевірками за критеріями Пірсона 13 EMBED Equation.3 1415 і Колмогорова.
3. Вирішити задачу оцінки підприємницького ризику визначенням чотирьох характерних крапок : найбільш ймовірного ризику, припустимого, критичного і катастрофічного (показники двох видів: імовірності визначених втрат; ймовірності перевищення визначених втрат) при наступних допущеннях:
а) втрати в частках від доходу підкоряються нормальному закону розподілу;
б) майно визначається основними й оборотними засобами;
в) прибуток від реалізації дорівнює загальному прибутку;
г) розрахунковий рівень рентабельності, що характеризує ефективність
поточних витрат, дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415
д)розрахункова величина загальної рентабельності дорівнює 13 EMBED Equation.3 1415
Таблиця 3.1 – Витрати підприємницького ризику в частках виторгу (доходу)
Номер
підпр.
Номер варіанта завдання


0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

1
1,50
1,56
1,28
1,58
1,53
1,61
1,84
2,01
2,07
2,27

2
0,45
0,43
0,43
0,43
0,38
0,69
1,92
1,93
2,04
2,11

3
1,38
1,43
1,47
1,54
1,66
2,02
1,46
1,43
1,40
1,32

4
1,33
1,55
1,83
2,15
2,01
0,82
0,85
0,91
0,97
1,08


Продовження таблиці 3.1
Номер
підпр.
Номер варіанта завдання


0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

6
1,11
1,10
1,53
1,70
1,80
1,92
1,24
1,43
1,30
1,21

7
0,48
0,42
1,29
1,25
1,18
1,31
1,26
1,19
1,04
1,01

8
2,24
1,15
1,25
1,27
1,13
1,18
0,69
0,68
0,87
0,89

9
0,84
0,77
0,76
0,85
0,83
0,74
1
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·1
1,69
1,69
1,94
1,95
0,82
0,82
0,84
0,94
1,04

20
0,71
0,81
0,81
0,75
0,74
0,40
0,45
0,47
0,45
0,46

21
1,10
1,07
1,74
1,80
1,97
2,00
1,30
1,42
1,25
1,15

Продовження таблиці 3.1
Номер
підпр.
Номер варіанта завдання


0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

22
0,40
0,40
1,2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Номер
підпр.
Номер варіанта завдання


10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

1
1,67
1,72
1,48
1,74
1,69
1,76
1,97
2,15
2,22
2,43

2
0,48
0,47
0,46
0,47
0,42
1,83
2,06
2,07
2,19
2,27

3
1,52
1,56
1,61
1,68
1,75
2,18
1,58
1,54
1,51
1,54

4
1,50
1,72
2,03
2,36
2,22
0,89
0,91
0,97
1,04
1,17

5
0,78
0,90
0,89
0,90
0,89
0,43
0,44
0,51
0,51
0,52

Продовження таблиці 3.1
Номер
підпр.
Номер варіанта завдання


10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

6
1,23
1,21
1,68
1,86
1,99
2,09
1,32
1,53
1,39
1,29

7
0,54
0,47
1,41
1,37
1,31
1,4
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Закінчення таблиці 3.1
Номер
підпр.
Номер варіанта завдання


10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

22
1,44
0,44
1,40
1,39
1,73
1,31
1,24
1,22
1,06
1,01

23
2,44
1,19
1,36
1,24
1,24
1,18
1,72
0,70
0,89
0,90

24
0,85
1,16
0,87
0,86
0,84
0,88
1,09
0,91
0,78
0,71

2
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Методичні рекомендації до проведення роботи

Визначення системи кількісних оцінок підприємницького ризику.
Побудова інтервальних рядів

Визначаються в ряді спостережень мінімальне і максимільне значення змінної - 13 EMBED Equation.3 1415і 13 EMBED Equation.3 1415
Розмах варіації змінної дорівнює R =
·max -
·min.
Довжина інтервалу визначається по формулі Стеджерса
, де n – обсяг спостережень (вибірки).

Встановлюються границі інтервалів:
X1=Xmin;
X2=X1+h;

Xi=Xi-1+h;
Xk+1=Xk+h
Роблять угруповання результатів спостережень по інтервалах, результати представляють у виді табл. 3.2.
Таблиця 3.2- Результати спостережень по інтервалах











Для цього переглядають усі статистичні дані по ознаці Х в тім порядку, у якому вони були отримані при спостереженні і записують найменування підприємств, значення Хij у перший інтервал, якщо значення Х знаходиться в границях першого інтервалу. Загальна кількість підприємств потрапивших у перший інтервал визначає його частоту. Аналогічно заповнюються стовпчики 3, 4 табл.3.2. інтервалів (X1 - X2) ............... (Xk - Xk+1).
Тому що значення факторної ознаки можуть збігатися з границями інтервалів, то умовляються в кожен інтервал включати ті варіанти, числові значення яких більше нижньої границі і менше або дорівнюють верхній границі інтервалу.
Зауваження: Якщо виходять інтервали з нульовими частотами, те потрібно збільшити ширину інтервалу (особливо якщо це трапляється в середині інтервального ряду).

Таблиця 3.3- Результати спостережень по заданим інтервалам








Обчислення крапкових характеристик розподілу

Заміняємо інтервальний ряд дискретним, для чого всі значення ознаки в межах інтервалу прирівнюємо його серединному значенню Хi* і вважаємо, що частота відноситься до середини інтервалу
13 EMBED Equation.3 1415

Обчислення проводяться по формулах:
Середня арифметична:



Середнє лінійне абсолютне відхилення:




Вибіркова дисперсія:
13 EMBED Equation.3 1415

Середнє квадратичне відхилення:




Коефіцієнт варіації:


Мода інтервального ряду розподілу:




де Xo - нижня границя модального інтервалу , тобто інтервалу, що має найбільшу частоту;
h - величина модального інтервалу;
fm ,fm-1,fm+1 - відповідно частоти модального інтервалу, що передує модальному, наступного за модальним інтервалом.
Медіана інтервального ряду:



де Хе - нижня границя медіанного інтервала;

·f - сума частот (обсяг спостережень);
Sm-1 – cума частот інтервалів, що передають медіанному;

Коефіцієнт асиметрії:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
де М3 - центральний момент третього порядку:
13 EMBED Equation.3 1415
Sx3 - куб середнього квадратичного відхилення.

Ексцес:


де М4 - центральний момент четвертого порядку:
13 EMBED Equation.3 1415
Таблиця 3.4- Результати обчислень характеристик розподілу

i
Iнтервали

fi

Xi*

Xi* fi
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10


x1-x2

xk - xk+1










РАЗОМ:












Оцінка невідомих законів розподілу
Як оцінку щільності ймовірностей випадкової величини Х використовують інтервальний ряд.
Перевірку гіпотези про вид теоретичного розподілу можна провести за допомогою критерію згоди Пірсона
·2 (хі-квадрат), заснованого на статистиці:
13 EMBED Equation.3 1415
яка при виконанні гіпотези про рівність емпіричного закону розподілу теоретичному має розподіл Пірсона
·2 з S = K - r - 1 ступенями свободи,
де r - число оцінюваних параметрів теоретичного розподілу;
K - кількість інтервалів.
Гіпотеза відкидається на рівні значущості
·, якщо обчислене значення
·2 виявиться більше критичного 13 EMBED Equation.3 1415, для рівня значущості
· і числа ступенів свободи S. У противному випадку гіпотеза не відхиляється
Помітимо, що оцінкою імовірності Pi влучення випадкової величини Х в i-ий інтервал є частота 13 EMBED Equation.3 1415, а оцінкою функції розподілу F(Xi) – є розподіл накопиченої частоті 13 EMBED Equation.3 1415
Перевірку гіпотези про рівність експериментального Fо (X) і теоретичного законів F (X) розподілів можна провести і за допомогою критерію згоди Колмогорова, що базується на статистиці D = max Fo (X )
· F (X ) , що при справедливості гіпотези підлегла розподілу Колмогорова з n ступе нями свободи.
На рівні значущості
· гіпотеза відкидається, якщо D >Kn, 1
·
· ,тут Kn, 1
·
·-
критичне значення, що знаходиться по таблицях розподілу Колмогорова.

Розрахунок теоретичних частот mi у припущенні про нормальний закон розподілу.

При розрахунку теоретичних частот за оцінку параметрів µ (математичне сподівання) і
· (середньоквадратичне відхилення) нормального закону розподілу F(X):
13 EMBED Equation.3 1415
приймають значення відповідних вибіркових характеристик, тобто приймають 13 EMBED Equation.3 1415,
· = S. Тут S – оцінка середньоквадратичного відхилення
Розрахунок теоретичних частот mi проводиться відповідно до вираження
13 EMBED Equation.3 1415
де 13 EMBED Equation.3 1415 - стандартна функція щільності нормального розподілу, значення якої визначаються з таблиць: Розрахунки проводяться в табл.3.5.
Таблиця 3.5 – Результати обчислень характеристик розподілу

i

Iнтервали

fi

Xi*



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



1
2
3
4
5
6
7
8



Xk – Xk+1
Xk+1 – (13 EMBED Equation.3 1415








РАЗОМ:







i

Iнтервали


(fi-mi)





1
2
9
10
11
12
13
14



Xk-Xk+1
Xk+1 – (13 EMBED Equation.3 1415







РАЗОМ:






Результати табл.3.5 представляються двома малюнками на кожнім з який розміщаються два графіки. Для перевірки за критерієм Пірсона емпіричний розподіл представляється гістограмою, теоретичне полігоном. Перевірка за критерієм Колмогорова ілюструється двома кумулятами (теоретичного й емпіричного законів).

Оцінка підприємницького ризику.

Основні положення

Задача визначення системи кількісних оцінок підприємницького ризику складається в оцінці найбільш ймовірного (W(Xj)) , допустимого (W(Xдп)) , критичного (W(X КР )) і катастрофічного ризику (W(X кт )) .
Найбільш повний опис підприємницького ризику дає крива щільності розподілу ймовірностей втрат f (x ) . Типова крива такого виду зображена на малюнку 3.1

















Рисунок 3.1 – Типова крива цільності розподілу ймовірностей витрат (ризику)

На кривій щільності розподілу ймовірностей зазначені чотири крапки.
Перша крапка (1) - найбільш ймовірні втрати (Хj), а щільність імовірності їхньої появи - f(Xj).
Величина Хj , обчислювальна в абсолютному вираженні чи у відносному стосовно доходу, що розраховується, асоційована з поняттям найбільш ймовірного ризику.
Друга крапка (2) - втрати рівні величині очікуваного прибутку ХДП, величина щільності імовірності таких утрат f(XДП) асоційована з допустимим ризиком.
Третя крапка (3) - характеризує критичний ризик : ХКР утрати, що дорівнюють розрахованій сумі доходу, щільність таких утрат f(ХКР) називається щільністю критичних втрат.
Четверта крапка (4) - характеризує катастрофічний ризик : ХКТ втрати по величині рівні всьому майну підприємця, щільність імовірності таких утрат - f(ХКТ), що називають щільністю катастрофічних втрат (ризику).
Встановлення диференціального закону (щільності) розподілу ймовірностей втрат дозволяє визначити показники найбільш ймовірного (тільки для дискретних розподілів), припустимого, критичного і катастрофічного ризиків.
Для дискретних рядів розподілів втрат (розглядається ранжирований ряд у порядку зростання Хi:








Визначаються показники підприємницького ризику двох видів:
- ймовірність визначеного рівня втрат Рi = Р(Х=Хi);
- ймовірність перевищення визначеного рівня втрат Р (Х >Хi);

Показники найбільш ймовірного ризику:
V(Xj) - ймовірність утрат, що мають найбільшу імовірність
V(Xj) = P(X = Xj) = max {Pi} .
Показники припустимого ризику:
V(XДП) - ймовірність того, що втрати дорівнюють величині очікуваного прибутку
V(XДП)=P(Xi = XДП) = РiДП
W(XДП) - ймовірність того, що втрати перевищать величину очікуваного прибутку

W(XДП) = Р (Xi > XДП)=

Показники критичного ризику:
V(XКР) - ймовірність того, що втрати дорівнюють величині розрахункового доходу
V(XКР)=P(Xi = XКР) = РiКР;
W(ХКР) - ймовірність того, що втрати перевищать величину розрахункового доходу

W(XКР) = Р (Xi > XКР) =

Показники катастрофічного ризику:
V(XКТ) - ймовірність того, що втрати дорівнюють величині майна підприємця
V(XКТ)=P(Xi = XКТ) = РiКТ;
W(ХКР) - ймовірність того, що втрати перевищать величину майна підприємця

W(XКТ) = Р (Xi > XКТ) =

Для безупинних рядів розподілу втрат поряд із кривою щільності розподілу ймовірностей f (x) важливим є інтегральний закон розподілу ймовірностей F(х)
F (X ) = P(x
· X ) =
· f (x)dx чи W(X) = 1
· F (X) = P(x > X) =
· f (x)dx ,
тобто кривої імовірності перевищення визначеного значення втрат.
На рис. 3.2 зображено типову форму такої кривої:















Для безупинних рядів розподілів утрат визначаються три показники ризику підприємницької діяльності:

Показник допустимого ризику :
W(XДП) - імовірність того, що втрати перевищать величину очікуваного прибутку:

W(X ДП ) = P(X > X ДП ) =

Показник критичного ризику :
W(XКР) - ймовірність того, що втрати перевищать величину розрахункового доходу (доходу):

W(X КР) = P(X > X КР ) =

Показник катастрофічного ризику :
W(XКТ) - ймовірність того, що втрати перевищать величину майна підприємця:

W(X КТ) = P(X > X КТ ) =

Розв’язування задачі підприємницького ризику
Для рішення задачі оцінки системи показників підприємницького ризику при припущеннях завдання необхідно скористатися результатами виконання пунктів завдання 3.1, склавши табл. 3.6.

Таблиця 3.6 - Емпіричний і теоретичний розподіл втрат у частках доходу


і

Iнтервали

Хі*

fi

mi


1
2
3
4
5
6
7


13 EMBED Equation.3 1415







X1-X2















Xk-Xk+1







Xk+1- 13 EMBED Equation.3 1415






Разом








Інтервальный ряд втрат табл. 3.6 можна інтерпретувати як дискретний ряд розподілу втрат (з дискретними значеннями втрат, рівними серединним значенням інтервалів) чи як безупинний.
У силу допущення про нормальний закон розподілу втрат використовуються теоретичні ймовірності влучення випадкової величини Х в відповідний інтервал.

Для визначення координат ХДОП, ХКТ вводяться дві нові випадкові величини:
1) Y - втрати в частках прибутку

де ПОТ - втрати; ПР - очікуваний прибуток від реалізації (балансова)
2) Z - втрати в частках майна




тут Им – майно підприємця.
Прибуток, дохід, майно розглядаються як детерміновані величини. Отже, між випадковими ве- личинами може бути встановлений зв'язок в силу чотирьох наступних допущень задачі (б, в, г, д).
У силу допущень в),г) :
13 EMBED Equation.3 1415


де Зат - поточні витрати.
У силу допущень б), в), д) :



Оскільки
13 EMBED Equation.3 1415 і 13 EMBED Equation.3 1415 звідки 13 EMBED Equation.3 1415

Крім того:

13 EMBED Equation.3 1415
тому що 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Маємо наступний зв'язок між змінними X, Y, Z :
13 EMBED Equation.3 1415






Користаючись властивостями характеристик ряду розподілу випадкової величини, зокрема, якщо збільшити (зменшити) варіанти розподілу в одне і теж число раз, то можна встановити, що для змінних Y і Z буде відрізнятися тільки границями інтервалів, а отже, і середніми значеннями, що збільшаться (зменшаться) в одне і теж число раз.
Це дає можливість визначити координати Х характерних крапок підприємницького ризику Хj, Хдоп, Хкр, Хкат.
Хкр - координата крапки, де втрати відповідають доходу : Пот = Дох, внаслідок чого:


Для координати ХДОП втрати рівні прибутку, тобто ПОТ=ПР, тоді

Для координати ХКТ втрати дорівнюють майну : ПОТ = М,тоді


X=2.222,
Z=2.222.
Інтерпретуючи розподіл втрат як дискретний розподіл, визначають систему показників для дискретного ряду:
V(X j ) ; V(X ДОП ) ; V(X КР ) ; V(XКТ ) ;
W(X ДОП ) ; W(X КР ) ; W(X КТ ) ;
V(X j ) - відповідає max значенню в колонці (7)
V(X ДОП ) - дорівнює значенню стовпчика (7) , що відповідає інтервалу, в який влучає значення Х=0.444
V(X КР ) - дорівнює значенню стовпчика (7) , що відповідає інтервалу, що містить зна чення Х=1.
V(X КР ) - дорівнює значенню стовпчика (7) , що відповідає інтервалу, який містить значення Х=2.222
W(XДОП) - визначається сумою ймовірностей, стовпчик (7) , починаючи з імовірності інтервалу, що містить Х=0.444 і до останнього - (к+2) інтервалу .
W(XКР) - дорівнює сумі ймовірностей, стовпчик (7) , починаючи з ймовірності інтервалу, що містить Х=1.000, і до останнього інтервалу .
W(X КТ ) - дорівнює сумі ймовірностей, стовпчик (7) , починаючи з ймовірності інтервалу, що містить Х=2.222 і до останнього інтервалу.
Система показників для безупинного ряду розподілу витрат відповідає показникам W(XДОП); W(ХКР);W(ХКТ) дискретного ряду.
Результати зручно звести в табл. 3.7.





Таблиця 3.7 – Результати розрахунків

Координата Х
Координати V(X);W(X)

Позначення
значення
Дискретного ряду
Безупинного ряду



V(X)
W(X)
W(X)

Xj





XДОП





XКР





XКТ








Основні питання для самоперевірки

Наведіть приклади показників, що використовуються для кількісного вимірювання ступеня
Що означають терміни "допустимий", "критичний" та "катастрофічний" ризик? Як кількісно оцінити ці величини?
Охарактеризуйте основні методи числового аналізу ступеня економічного ризику.
Побудуйте криву ймовірностей збитків.
Яким критеріям повинен відповідати цикл втрат, за який збирається статистична інформація для побудови кривої ризику.
Дати порівняльну характеристику методів побудови кривої ризику (їх позитивні і негативні сторони, вказати, коли вони застосовуються ).
Для побудови кривої ризику застосовані дані суб'єктивної імовірності. Який метод побудови кривої ризику при цьому був використаний?
Лабораторна робота № 4

Тема 4.Обгрунтування рішень в умовах ризику та невизначеності

Завдання: Підприємство має визначити випуск виробництва деякого виду продукції так, щоб задовольнити потребу споживачів протягом визначеного часу. Конкретна кількість споживачів невідома, але очікується, що вона може становити одне з п’яти значень: 1000, 2000, 3000, 4000, 5000. Для кожного з цих значень існує п’ять відповідних альтернативних рішень. Для кожного з можливих значень існує найкраща альтернатива з погляду можливих прибутків. Відхилення від цих альтернатив призводить до зменшених прибутків через пропозиції на попит або неповного задоволення попиту. Відповідно до цього можливі додаткові витрати через незадоволення попиту 1 грн за одиницю й витрати через перевищення пропозиції на попитом 2 грн за одиницю.
Потрібно знайти оптимальну альтернативу випуску продукції з погляду максимізації прибутків за допомогою критеріїв: Байєса (за умов, що ймовірності виникнення попиту відповідно становитимуть 0,1; 0,2; 0,3; 0,25; 0,15); Лапласа, Вальда, Севіджа за умов повної невизначеності і Гурвіца з коефіцієнтом оптимізму 0,6.
Варіант задається двома цифрами: перша варіант визначення ціни одиниці продукції, друга змінних витрат на одиницю продукції (табл. 4.1).



Таблиця 4.1 – Варіанти для завдання
Варіант
Ціна одиниці продукції, грн
Змінні витрати на одиницю продукції, грн

1
22
12

2
23
12

3
24
11

4
25
13

5
26
12

6
27
12

7
28
16

8
29
13

9
30
13

10
31
17

Методичні рекомендації до виконання роботи
Приклад. Фірма виробляє товар А на продаж до магазинів. Собівартість одиниці товару становить 0,30 грн. Її продають за 0,7 грн.
Попит на добу, од.
10
12
14
16
18

Частота
5
10
15
15
5

Якщо товар виготовлено, але не продано, то додаткові збитки становлять 0,20 грн за одиницю. Зробити висновок, скільки виробляти продукції за кожним правилом.
Для кожного з можливих значень існує найкраща альтернатива з погляду ймовірних прибутків . Відхилення від цих альтернатив призводить до зменшення прибутків через підвищення пропозицій над попитом або неповного задоволення попиту.
Рішення залежить від ситуації на ринку, тобто від конкретної кількості споживачів. Конкретна кількість споживачів наперед невідома й може бути п’яти варіантів: S1,S2, S3, S4, S5. Є можливими п’ять варіантів випуску продукції підприємством: А1, А2, А3, А4, А5. Кожній парі, що залежить від ст ану середовища Sj та варіанта рішення Ai, відповідає значення функціонала оцінювання V(Ai,Sj), що характеризує результат дій .

Таблиця 4.2 – Прибуток від реалізації (матриця прибутків), тис.грн
Варіанти рішень, Аi
Можливий попит, Sj

10
10
12
14
16
18

10
(0,7 – 0,3) · 10 = 4,0
(0,7 – 0,3) · 10 = 4,0
4,0
4,0
4,0

12
0,7 · 10 – 0,3 · 12 – 2 · 0,2 = 3,0
(0,7 – 0,3) · 12 = 4,8
4,8
5,6
4,8

14

1,0
0,7 · 12 – 0,3 · 14 – 2 · 0,2 = 3,8
(0,7 – 0,3) · 14 = 5,6
(0,7 -0,3) · 16 = 6,4
5,6

16
0,0
2,8
4,6
(0,7 -0,3) · 16 = 6,4
6,4

18
0,0
1,8
3,6
5,4
(0,7 – 0,3) · 18 = 7,2

Імовірність
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1

Таблиця 4.3 –Вибір оптимального рішення за критерієм Байєса
Варіанти рішень, Аi
Можливий попит, Sj

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


10
12
14
16
18



10
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0 · 0,1 + 4,0 · 0,2 + 4,0 · 0,3 + 4, 0 · 0,3+4,0 · 0,1 = 4


12
3,0
4,8
4,8
4,8
4,8
3,0 · 0,1 + 4,8 · 0,2 + 4,8 · 0,3 + 4, 8 · 0,3 + 4,8 · 0,1 = 4,62


14
2,0
3,8
5,6
5,6
5,6
4,88
А3

16
1,0
2,8
4,6
6,4
6,4
4,60


18
0,0
1,8
3,6
5,4
7,2
3,78


Імовірність
0,1
0,2
0,3
0,3
0,1
Х



Потрібно знайти оптимальну альтернативу випуску продукції з погляду максимізації прибутку за допомогою критеріїв Байєса за умов відомих імовірностей станів, Лапласа, Вальда, Севіджа за умов повної невизначеності та критерій Гурвіца.
Оптимальну альтернативу за критерієм Байєса можна обчислювати за такими формулами:
для 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; (4.1)
для 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. (4.2)
Ми знаходимо оптимальну альтернативу випуску продукції з погляду максимізації прибутків, тобто функціонал оцінювання має позитивний інгредієнт 13 EMBED Equation.3 1415 тому використовуватимемо відповідні формули (розрахунки наведено в табл. 4.2).
За критерієм Байєса оптимальним буде альтернативне рішення А3, оскільки воно передбачає максимальний очікуваний прибуток.
Критерій Лапласа характеризується невідомим розподілом імовірностей на множині станів середовища та ґрунтується на принципі «недостатнього обґрунтування», який означає: якщо немає даних для того, щоб вважати один зі станів середовища ймовірнішим, то ймовірності станів середовища треба вважати рівними.
Оптимальну альтернативу за критерієм Лапласа можна знайти за формулами

для 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; (4.3)
для 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. (4.4)

За критерієм Лапласа оптимальним буде альтернативне рішення А3.
Розрахунки наведено в табл. 4.3.
Критерій Вальда вважається най обережнішим із критеріїв. Оптимальне альтернативне рішення за критерієм Вальда визначається так:

для 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415; (4.5)
для 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. (4.6)

Таблиця 4.4-Вибір оптимального рішення за критерієм Лапласа
Варіант рішень, Аі
Можливий попит, Sj
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


10
12
14
16
18



10
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
1/5 · (4,0 + 4,0 + 4,0 + 4,0 + 4,0) = 4


12
3,0
4,8
4,8
4,8
4,8
1/5 · (3,0 + 4,8 + 4,8 + 4,8 + 4,8) = 4,4


14
2,0
3,8
5,6
5,6
5,6
1/5 · (2,0 + 3,8 + 5,6 + 5,6 + 5,6) = 4,5
А3

16
1,0
2,8
4,6
6,4
6,4
1/5 · (1,0 + 2,8 +4,6 + 6,4 + 6,4) = 4,2


18
0,0
1,8
3,6
5,4
7,2
1/5 · (0,0 + 1,8 + 3,6 + 5,4 + 7,2) = 3,6





Таблиця 4.5 Вибір оптимального рішення за критерієм Вальда.

Варіанти рішень, Аi
Можливий попит, Sj
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMB
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·За критерієм Вальда оптимальним буде альтернативне рішення А1.
Для того щоб застосувати критерій Севіджа, потрібно побудувати матрицю ризику як лінійне перетворення функціонала оцінювання.
Для побудови матриці ризику використовують такі формули:

для F+ 13 EMBED Equation.3 1415; (4.7)
для 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. (4.8)

Тепер можна застосувати критерій Севіджа до матриці ризику за формулою
(4.9)
Розрахунки результатів за критерієм Севіджа
Таблиця 4.6 – Матриця ризику, тис. грн

Варіанти рішень, Аi
Матриця прибутків (V(Ai,Sj))
Матриця ризику (Rij)


10
12
14
16
18
10
12
14
16
18

10
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0
4,0 – 4,0 = 0,0
4,8 – 4,0 = 0,8
5,6 – 4,0 = 1,6
6,4 – 4,0 = 2,4
7,2 – 4,0 = 3,2

12
3,0
4,8
4,8
4,8
4,8
4,0 – 3,0 = 1,0
0,0
0,8
1,6
2,4

14
2,0
3,8
5,6
5,6
5,6
4,0 – 2,0 = 2,0
1,0
0,0
0,8
1,6

16
1,0
2,8
4,6
6,4
6,4
4,0 – 1,0 = 3,0
2,0
1,0
0,0
0,8

18
0,0
1,8
3,6
5,4
7,2
4,0 – 0,0 = 4,0
3,0
2,0
1,0
0,0

Таблиця 4.7 - Вибір оптимального рішення за критерієм Севіджа

Варіанти рішень, Аi
Можливі втрати, Rij
maxj {Rij}
mini maxj {Rij}


10
12
14
16
18



10
0,0
0,8
1,6
2,4
3,2
3,2


12
1,0
0,0
0,8
1,6
2,4
2,4


14
2,0
1,0
0,0
0,8
1,6
2,0
А3

16
3,0
2,0
1,0
0,0
0,8
3,0


18
4,0
3,0
2,0
1,0
0,0
4,0



За критерієм Севіджа оптимальним буде альтернативне рішення А3, оскільки його реалізація передбачає мінімальні втрати.
Критерій Гурвіца дає змогу встановити баланс між випадками крайнього оптимізму та крайнього песимізму за допомогою коефіцієнта оптимізму (, який визначається від 0 до 1 та показує ступінь схильності людини, що приймає рішення, до оптимізму або песимізму. Якщо ( = 1, то це свідчить про крайній оптимізм, якщо ( = 0 крайній песимізм. За умовою задачі ( = 0,6.
Оптимальну альтернативу за критерієм компромісу Гурвіца можна знаходити за формулами:
для 13 EMBED Equation.3 1415 (4.10)
для 13 EMBED Equation.3 1415 (4.11)
Таблиця 4.8 – Вибір оптимального рішення за критерієм компромісу Гурвіца.

Варіанти рішень, Аi
Матриця прибутків (V(Ai,Sj))
max j {V (Ai,Sj)}
min j {V (Ai,Sj)}
( · ma
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
А5



Оптимальним рішенням за критерієм Гурвіца буде альтернативне рішення А5.
Висновок: Розрахунок за більшістю поданих критеріїв, оптимальним є виробництво продукції згідно з альтернативним варіантом А3.

Основні питання для самоперевірки

1. Що спільного і яка відмінність у прийнятті рішень в умовах ризику та невизначеності?
2. Які критерії покладені в основу прийняття рішень в умовах ризику ?
3. За яких умов використовується критерій Лапласа й на чому він базується?
4. Опишіть алгоритм використання критерію Вальда для прийняття рішень в умовах невизначеності.
5. Між чим і на основі чого встановлює баланс критерій Гурвіца в прийнятті рішень в умовах невизначеності?
6. За яких умов використовується критерій Байєса і яка його розрахункова формула?









Лабораторна робота №5 Лінійна регресія
Завдання: Визначити модель, котра найкраще описує взаємозалежність між факторами х та у, знайти ряд вирівняних значень, провести дослідження знайденої економетричної моделі
Вихідні дані:





1
12.58+N
2.04+N

2
17.40
2.31+N

3
12.45+N
2.56+N

4
11.27+N
3.14+N

5
19.48
4.22

6
14.32+N
4.54

7
15.07+N
5.02+N

8
19.44
5.23

9
18.57
6.18+N

10
19.52+N
6.51

Де N – номер по списку
Методичні рекомендації до виконання роботи

Якщо дано сукупність показників y, що залежать від факторів х, то постає завдання знайти таку економетричну модель, яка б найкраще описувала існуючу залежність. Одним з методів є лінійна регресія. Лінійна регресія передбачає побудову такої прямої лінії, при якій значення показників, що лежать на ній будуть максимально наближені до фактичних, і продовжуючи цю пряму одержуємо значення прогнозу. Процес продовження прямої називається екстраполяцією. Відповідно до цього постає задача визначити цю пряму, тобто рівняння цієї прямої. В загальному вигляді рівняння прямої виглядає:

13 EMBED Equation.3 1415, (4.1)

Коефіцієнт а характеризує точку перетину прямої регресії з лінією координат. при зміні х на одиницю.
Знайшовши значення параметрів розраховують ряд вирівняних значень для відповідних факторів і проводять дослідження знайденої економетричної моделі.
Щоб зробити висновок про доцільність використання знайденої моделі проводять аналіз за наступними напрямками:
1) Розраховують критерій Фішера та перевіряють знайдену модель на
адекватність вихідним даним;

2) Розраховують і аналізують дисперсію показників;

3) Розраховують і аналізують коефіцієнт кореляції;

4) Розраховують та аналізують коефіцієнт еластичності;

5) Розраховують довірчий інтервал для прогнозованих показників.

Критерій Фішера.

Приклад. На основі статистичних даних показника Y та фактора X (стовпчики  та  табл. 4.1), побудувати діаграму розсіювання та її графік, перевірити знайдену модель з ймовірністю р=95% на адекватність вихідним даним, знайти та пояснити значення:
параметрів лінійної регресії та їх довірчого інтервалу;
дисперсій (загальної, пояснювальної, залишкової);
коефіцієнта детермінації;
коефіцієнта кореляції;
коефіцієнта еластичності.
6) довірчого інтервалу
Виконання:
1) на основі вихідних даних х та у будуємо діаграму розсіювання (емпіричну лінію регресії) та визначаємо форму зв'язку між ознаками X та Y (рисунок 4.1).
Зовнішній вигляд емпіричної лінії регресії нагадує графік прямої. Добудувавши лінію тренду (лінійну) і скориставшись функціями програми Excel отримаємо рівняння побудованої лінії у=1,8976х+6,6546. Отже, параметри лінійної регресії становлять:
=1,8976 - показує кут нахилу прямої регресії до осі абсцис і що при зміні фактора на одиницю Yр буде змінюватись на 1,8976 у тому ж напрямку.
=6,6546 - показує значення показника (y) при х=0 і що пряма регресії перетне вісь ординат у точці 6,6546

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рисунок 4.1 –Діаграма розсіювання і побудована лінія регресії

2) для перевірки знайденої економетричної моделі на адекватність знайдено розрахункове значення критерію Фішера Fрозр=503, що є більшим за табличне Fтабл (0,05;1;8)=5,32, знайдене за ймовірності 95% і ступенями вільності k1=m=1, k2=n-m-1=10-1-1=8 (де n - кількість спостережень, m –число включених у регресію факторів, що чинять суттєвий вплив на показник), а отже модель адекватна вихідним даним;
3) за результатами розрахунків загальна дисперсія, тобто рівень відхилень між фактичними значеннями ряду і їх середнім значенням становить ЗД=7,72; пояснювальна дисперсія (частина загальної дисперсії, що пояснюється регресією) становить ПД=7,6; залишкова дисперсія (частина загальної дисперсії, що не пояснюється регресією) ЗалД=0,1.
4) коефіцієнт детермінації R2=0.9843, тобто доля пояснювальної дисперсії у загальній дисперсії становить 0,9843 або 98,43%, що свідчить про тісний зв’язок між фактором і показником.
Коефіцієнт кореляції r=0.9921, тобто наближається до 1, а це значить, що регресія характеризується прямою залежністю показника у та х і при збільшенні фактора значення показника y теж зростатиме.
Таблиця 4.1 - Приклад розрахунку лінійної регресії



X*Y
X2
Yp
(Y-Yp)2
(Y-Yc)2
(Yp-Yc)2
Kel
(X-Xc)2

·Y
Ymax
Ymin

1
10.89
2.06
22.43
4.244
10.56
0.107
16.51
19.27
0.37
5.35
1.04
11.61
9.52

2
11.92
2.58
30.75
6.656
11.55
0.137
9.20
11.58
0.42
3.2148
1.00
12.55
10.55

3
12.45
3.14
39.09
9.86
12.61
0.027
6.27
5.48
0.47
1.5203
0.97
13.58
11.64

4
13.27
3.54
46.98
12.53
13.37
0.010
2.83
2.50
0.50
0.6939
0.95
14.33
12.42

5
14.12
4.18
59.02
17.47
14.59
0.218
0.69
0.13
0.54
0.0372
0.94
15.53
13.65

6
15.25
4.78
72.9
22.85
15.73
0.226
0.09
0.60
0.58
0.1656
0.94
16.67
14.78

7
16.07
5.11
82.12
26.11
16.35
0.079
1.25
1.96
0.59
0.5432
0.95
17.30
15.40

8
17.40
5.67
98.66
32.15
17.41
0.000
5.99
6.06
0.62
1.6822
0.97
18.39
16.44

9
18.68
6.02
112.5
36.24
18.08
0.362
13.89
9.77
0.63
2.7126
0.99
19.07
17.09

10
19.48
6.65
129.5
44.22
19.27
0.043
20.49
18.67
0.65
5.1847
1.04
20.31
18.23

11

7.05
 
 
20.03
 
 
 
0.67
7.1663
1.08
21.11
18.96


·
149.5
43.73
693.9
212.3
150
1.2
77.206
75.995
 
21.105
 
 
 



Критерій









 
Параметри:
Фішера
Дисперсії:
 
 
 
 
 
 
 

 
а1=
1.8976
S2=
0.2
ЗД=
7.72
R2=
0.9843
 
 
 
 
 

 
а0=
6.6546
s2=
76
ПД=
7.6
r=
0.9921
 
 
 
 
 

 
 
 
F=
503
ЗалД=
0.1
S=
0.38854
 
 
 
 
 

5) коефіцієнт еластичності розрахований за формулою 13 EMBED Equation.3 1415,
і показує на скільки відсотків зміниться показник, якщо фактор зміниться на 1%.
6) В результаті розрахунку довірчого інтервалу можна стверджувати, що при значенні фактора Хр =7,05 показник з ймовірністю 95% буде знаходитись в межах від 18,96 (нижня межу довірчого інтервалу 13 EMBED Equation.3 1415) до 21,11 (верхня межу довірчого інтервалу 13 EMBED Equation.3 1415).
При цьому t – табличне значення критерію Студента, що становить t(0.95;8)=2,228, знайдене з таблиць в залежності від ймовірності P=95% і ступеня вільності k=n-m-1=8).

Основні питання для самоперевірки

Запишіть математичну постановку задачі ЛП.
Сформулюйте умову задачі оптимізації випуску продукції.
Алгоритм симплексного методу розв'язування задач ЛП.
Економічна інтерпретація результатів розв'язку задачі ЛП.
Поясніть термін «двоїстості» в лінійному програмуванні. Що таке двоїсті оцінки?
Суть та алгоритм двоїстого симплекс-методу розв'язку задач ЛП
Суть та алгоритм методу Гоморі для розв'язування задач цілочислового програмування.
Сформулюйте умову транспортної задачі. Назвіть всі вхідні дані для розв'язку задачі, що задана табличним виглядом.
Сформулюйте математичну постановку транспортної задачі. Економічна суть цільової функції та обмежень.

Лабораторна робота №6 Нелінійна регресія
Завдання: На основі статистичних даних показника Y та фактора X (стовпчики  та  табл. 6) знайти:
1) оцінки параметрів лінії регресії, якщо припустити, що статистична залежність між фактором X і показником Y має вигляд: ;
2) використовуючи критерій Фішера, з надійністю  оцінити адекватність прийнятої моделі статистичним даним. Якщо із заданою надійністю прийнята математична модель адекватна експериментальним даним, то знайти:
а) з надійністю   довірчу зону базисних середніх;
б) точкову оцінку прогнозу для ;
в) з надійністю   інтервальну оцінку прогнозу;
Вихідні дані:





1
96+N
3,2

2
80
3,1+N

3
104+N
3,8+N

4
86+N
4,4

5
54
4,2+N

6
34+N
7,8+N

7
65+N
4,3

8
36
5,6+N

9
25+N
7+N

10
58
3,5+N


Де N- порядковий номер по списку

Методичні рекомендації до виконання роботи
1) будуємо поле кореляції, емпіричну лінію регресії (у вигляді ламаної) та визначаємо форму зв'язку між ознаками X та Y (рисунок 5.1).
Зовнішній вигляд емпіричної лінії регресії нагадує графік гіперболи
Невідомі параметри економетричної моделі  і  знаходимо із системи нормальних рівнянь:

Для цього у робочій таблиці накопичуємо суми:
, ,

Рисунок 5.1 – Графік емпіричної, теоретичної лінії регресії та довірчих границь базисних середніх і прогнозу
   , ,

і підставляємо їх у систему нормальних рівнянь. Маємо

З останньої системи знаходимо: , .
Таким чином, економетрична модель має вигляд:

.
Розраховуємо теоретичні  та прогнозне  значення результативного показника і будуємо теоретичну лінію регресії.

,
, і т.д.
.

Тіснотy зв’язку між ознаками X та Y оцінюємо кореляційним відношенням:

.
Для розрахунку  у робочій таблиці знайдемо суми  та . Тоді .
Оцінимо значущість кореляційного відношення за t-критерієм Стюдента. Маємо
; .
Таблиця 5.2 – Приклад розрахунку нелінійної регресії












Довірчі

границі


1
80
3,6
0,013
0,0002
0,045
3,515
0,007
2,434
2,706
0,00009
0,406
3,109
3,921

2
75
3,1
0,013
0,0002
0,041
3,657
0,311
4,244
2,258
0,00008
0,404
3,254
4,061

3
102
3,5
0,010
0,0001
0,034
3,055
0,198
2,756
4,433
0,00015
0,413
2,642
3,467

4
82
3,5
0,012
0,0001
0,043
3,463
0,001
2,756
2,880
0,00010
0,406
3,057
3,869

5
50
4,7
0,020
0,0004
0,094
4,796
0,009
0,212
0,133
0,00000
0,395
4,401
5,191

6
30
8,1
0,033
0,0011
0,270
7,073
1,055
8,644
3,659
0,00013
0,410
6,663
7,483

7
60
4,6
0,017
0,0003
0,077
4,227
0,139
0,314
0,871
0,00003
0,398
3,829
4,625

8
32
6,8
0,031
0,0010
0,213
6,717
0,007
2,690
2,425
0,00008
0,405
6,313
7,122

9
19
10
0,053
0,0028
0,526
10,37
0,136
23,426
27,131
0,00093
0,496
9,873
10,865

10
51
3,7
0,020
0,0004
0,073
4,729
1,059
2,132
0,186
0,00001
0,395
4,334
5,124


·
581
51,6
0,221
0,0065
1,415

2,923
49,604
46,681
0,0016




Пр
110

0,009


2,933



0,00017
0,433
2,500
3,366

Табличне значення  критерію Стюдента для рівня значущості  і степенів свободи  становить . Оскільки , то з ймовірністю  можна стверджувати, що кореляційне відношення значуще.
Оцінимо значущість параметрів економетричної моделі  та . Спочатку обчислимо , , . Маємо
; ;
.
Тоді
, .
Оскільки , , то параметри  і  економетричної моделі значущі.
2) Проведемо оцінку адекватності моделі за F-критерієм Фішера. Для цього обчислимо
.
Табличне значення критерію Фішера для рівня значущості  і степенів свободи  і  становить . Оскільки , то економетрична модель адекватно описує економічне явище.
Проведемо оцінку довірчих границь базисних середніх та прогнозу за формулою:
.
Маємо
;
; .
.
Тоді .

Основні питання для самоперевірки

Опишіть загальну постановку задач нелінійного програмування.
У чому суть методу множників Лагранжа для розв'язування задач НЛП?
У чому суть градієнтного методу отримання розв'язку задач НЛП?
Охарактеризуйте суть методу визначення напряму градієнту (методу Зойтендейка).
Дайте коротку характеристику методу апроксимації нелінійних функцій кусково-лінійними відрізками.
Для чого призначені умови Куна-Таккера при розв'язуванні задач НЛП?
Використовуючи запис умов Куна-Таккера, сформулюйте відповідні умови для задачі мінімізації.

Лабораторна робота №7 Дослідження багатофакторної регресії
Завдання: Визначити лінійну залежність між факторами, розрахувати параметри та коефіцієнти багатофакторної регресії, провести дослідження автокореляції моделі. Зробити висновок
Вихідні дані:

Y
X1
X2

1
69,5+N
21,1
52,10

2
75,9+N
23,6+N
57+N

3
79,9
24,4+N
60,7+N

4
84,6+N
24,8+N
65,7+N

5
89+N
27+N
69,9+N

6
95,6+N
28,6+N
74,6+N

7
99,8+N
31+N
77,8

8
103,1+N
33,1
78+N

9
107,5
33,1+N
83+N

10
111,9+N
34,9
88,9+N

11
114,5+N
35,2
89,2

12
120,9+N
36,4+N
94,6+N

13
122,8
37,2
97+N

Методичні рекомендації до виконання роботи

Припустимо, що між показником Y і факторами Х1, Х2, ..., Хm існує лінійна залежність:
13 EMBED Equation.3 1415, (6.1)
Оцінки параметрів регресії знаходимо використовуючи матричні операції за формулою:
13 EMBED Equation.3 1415, (6.2)
де [Х] – матриця пояснюючих змінних Х1, Х2, ..., Хm, доповнена колонкою одиниць,
Y – вектор результативної змінної Y,
[Х]Т – транспонована матриця пояснюючих змінних.
Також можна здійснити розрахунок параметрів та інших коефіцієнтів багатофакторної регресії, скориставшись функціями програми Excel.
Для цього перш за все необхідно перевірити наявність пакету аналізу. В головному меню слід вибрати Сервис-Надстройки і включити пакет аналізу:


Рисунок 6.1 – Вибір пакету аналізу в MS Excel.

Вводимо початкові дані до MS Excel в стовпчики A, B та C:


Рисунок 6.2 – Ввід вихідних даних

В головному меню вибираємо Сервис - Аналіз даних-Регресія. Отримуємо діалогове вікно (рис.6.3).

Заповнюємо діалогове вікно:
Рисунок 6.3 – Діалогове вікно

Таблиця 6.1 – Інтерпретація діалогового вікна
Входной интервал Y:
Діапазон значень залежної змінної.

Входной интервал X
Діапазон значень незалежних змінних. Зауважте, що незалежні
змінні повинні знаходитися в сусідніх стовпчиках.

Метки
Опція, що вказує, чи містить перший рядок назви стовпчиків

Константа -ноль
Опція, що вказує на наявність чи відсутність константи в регресії

Параметри
виводу

Адреса верхньої лівої чарунки для виводу результатів обчислень. Якщо вказується опція «Новый рабочий лист», то
результати виводяться на новий лист.

Отримані результати (таблиця 6.2) дають змогу зробити наступні висновки:
Параметри багатофакторної регресії становлять:
·0= 4,8,
·1=1,02,
·2= 0,82. Відповідно рівняння багатофакторної регресії має вигляд:
y=4,8 +1,02Х1+0,82Х2
Множинний коефіцієнт кореляції (множественный R=0,9325) показує тісноту зв’язку між факторами та показником. Коефіцієнт детермінації (множественный R2=0,8696) показує рівень зміни показника при зміні факторів, а саме 0,8696% зміни показника залежить від зміни факторів.
Оцінка розрахункового критерію Фішера (F=73,3414) дозволяє зробити висновок про адекватність економетричної моделі вихідним даним
(Fрозр=73,3414 > Fтабл(0,95;2;10)=4,1).
Дослідження автокореляції
Одним із показників ступеня близькості одержаної лінії регресії до експериментальних даних є критерій Дарбіна-Уотсона. Він дає відповідь на запитання, чи є істотною автокореляція відхилень від лінії регресії. Іншими словами, з деякою надійністю критерій дає відповідь на запитання, чи виконується умова незалежності відхилень еt.
Автокореляція відхилень – це кореляція відхилень від лінії регресії з відхиленнями від цієї лінії, взятими з деяким запізненням, тобто це кореляція ряду е1,е2, ..., еn з рядом еk+1, еk+2, , еk+n, де k – число, що характеризує запізнення.
Кореляція між сусідніми членами ряду (k=1) називається автокореляцією першого порядку:
13 EMBED Equation.3 1415. (6.3)
Відповідно d-статистика може набувати будь-якого значення з інтервалу (0;4).
Для d-статистики визначені критичні межі (dl – нижня, dn – верхня), які дозволяють із заданою надійністю (Р=0,95; 0,99) дати відповідь, чи можна прийняти гіпотезу про відсутність автокореляції першого порядку чи ні.
Таблиця 6.2 - Результати регресійного аналізу
Регрессионная статистика








Множественный R
0,999136








R-квадрат
0,9982727








Нормированный R-квадрат
0,9979272








Стандартная ошибка
0,7906339








Наблюдения
13


















Дисперсионный анализ









 
df
SS
MS
F
Значимость F




Регрессия
2
3612,672
1806,336
2889,666
1,54E-14




Остаток
10
6,251
0,625102






Итого
12
3618,923
 
 
 














 
Коэффи
циенты
Стандартная ошибка
t-статистика
P-Значение
Нижние
95%
Верхние 95%
Нижние 95,0%
Верхние 95,0%

Y-пересечение
4,849522
1,303660
3,719929
0,003976
1,944787
7,754257
1,944787
7,754257

X1
1,025477
0,246688
4,156976
0,001958
0,475822
1,575133
0,475822
1,575133

X2
0,821052
0,092860
8,841844
0,000005
0,614147
1,027957
0,614147
1,027957


У залежності від значення d приймаємо, що:
при 0при dnпри 4-dlпри dl
Відхилення додатно корельовані
?
Враховується гіпотеза про відсутність автокореляції
?
Відхилення від’ємно корельовані

0 - dl

dn - 4-dn

4-dl - 4


Якщо d-статистика набуває значення з п.4, то для одержання відповіді про наявність автокореляції першого порядку необхідно збільшити число спостережень. Величини dn i dl для двох надійних ймовірностей Р=0,95 і Р=0,99 наведено в таблицях.
При наявності автокореляції відхилень потрібно з’ясувати можливі причини її появи. Можливі причини автокореляції:
У регресію не включений фактор, який має суттєву роль при дослідженні економічного явища.
Вибраний вигляд стохастичної залежності не адекватний експериментальним даним.
При дослідженні явища числові дані отримані з великими похибками.
Для перевірки економетричної моделі на автокореляцію скористаємось вихідними даними з рисунка 6.2 і результатами аналізу даних (таблиця 6.2) та розрахуємо теоретичні значення показника Ур, а також відхилення теоретичних значень від емпіричних та коефіцієнт Дарбіна-Уотсона.
Результати розрахунків подамо у таблиці 6.3.





Таблиця 6.3 - Перевірка властивості автокореляції

Y
X1
X2
Yr
et = Y-Yr
et2
(et-et-1)2

1
69,5
21,1
52,10
69,26
0,24
0,06
 

2
75,9
23,6
57
75,85
0,05
0,00
0,03

3
79,9
24,4
60,7
79,71
0,19
0,04
0,02

4
84,6
24,8
65,7
84,22
0,38
0,14
0,03

5
89
27
69,9
89,93
-0,93
0,86
1,70

6
95,6
28,6
74,6
95,43
0,17
0,03
1,21

7
99,8
31
77,8
100,52
-0,72
0,51
0,79

8
103,1
33,1
78
102,83
0,27
0,07
0,96

9
107,5
33,1
83
106,94
0,56
0,31
0,09

10
111,9
34,9
88,9
113,63
-1,73
2,99
5,24

11
114,5
35,2
89,2
114,18
0,32
0,10
4,19

12
120,9
36,4
94,6
119,85
1,05
1,11
0,54

13
122,8
37,2
97
122,64
0,16
0,03
0,79

(
1275
390,4
988,5
1275,00
0,00
6,25
15,61


Отже, критерій Дарбіна-Уотсона, розрахований за формулою 1.34 становить d=15,61/6,25=2,5. Знайшовши відповідні табличні значення критичних меж Дарбіна –Уотсона: dl=0.861 – нижня межа i dn=1.562 – верхня межа, утворюємо відповідні проміжки

d=2.5
0 dl =0.861 dn =1.562 4-dn =2.438 4-dl =3.139 4

Оскільки розрахункове значення критерію-Дарбіна Уотсона знаходиться в межах від 4-dn до 4-dl, то можна зробити висновок, що критерій не дає відповідь про наявність чи відсутність автокореляції.

Основні питання для самоперевірки


Суть та алгоритм методу Гоморі для розв'язування задач цілочислового програмування.
2 Сформулюйте умову транспортної задачі. Назвіть всі вхідні дані для розв'язку задачі, що задана табличним виглядом.
Сформулюйте математичну постановку транспортної задачі. Економічна суть цільової функції та обмежень.
Загальний алгоритм розв'язання транспортної задачі методом потенціалів.
Загальний алгоритм розв'язання транспортної задачі методом диференційних рент.
Загальна схема розв'язання транспортної задачі та задачі лінійного програмування у програмному забезпеченні Mathcad.
Сформулюйте приклади задач, що розв'язуються транспортними алгоритмами.


Лабораторна робота № 8.Прогнозування економічних показників
Завдання: Провести прогнозування показників за допомогою наступних методів: 1. Трендові моделі (екстраполяція); 2.метод середнього ковзання та ПЕВС; 3. моделювання сезонних коливань рядами Фур’є. Визначити найоптимальнішу модель для проведення прогнозу.
Вихідні дані:
Номер кварталу
Х
Об’єм продаж (тис.грн.)
Y

1
204+N

2
209+N

3
208

4
218+N

5
215

6
222+N

7
244+N

8
234+N

9
253+N

10
263+N

11
255

12
269+N

13
252+N

14
265+N

15
268+N

16
279

17
248+N


Методичні рекомендації до виконання роботи

Метод прогнозування - сукупність способів і прийомів мислення, що дозволяють на основі аналізу ретроспективних, екзогенних (зовнішніх) і ендогенних (внутрішніх) даних, а також їх змін у розглянутому періоді часу вивести судження певної вірогідності відносно майбутнього розвитку об'єкта.
Перед тим як приступити безпосередньо до прогнозування майбутніх значень, прогнозист повинен спочатку зрозуміти ті кількісні закономірності (або хоча б частину з них), які лежать в основі бізнес-процесу. Єдине, чим він для цього володіє, це вихідні дані. Звідси висновок, що спочатку прогнозист повинен створити модель, яка достатньо добре описувала б вихідні дані.
При прогнозуванні на основі отриманої моделі може виникнути ситуація, коли модель перестає бути достовірною в силу будь-яких непередбачуваних змін. Тому цікаво буде знати про те, як наша модель реагувала б на них в минулому. З цією метою і використовують ідею ex-post прогнозування: вихідні дані розбивають на дві підгрупи, так щоб в другій групі були більш пізніші дані, які складають близько 15% всієї інформації. Ці дані будуть потім використані для тестування. При невеликому об’ємі інформації в другій групі можна розглядати 30% вихідних даних. Докладніше процедуру покажемо на прикладі.
В таблиці 7.1 наведені щоквартальні дані по об’ємах продаж за період з 1-го кварталу 1999р. по 1-й квартал 2003р.
Таблиця 7.1 – Дані про об’єми продаж
Номер кварталу
Х
Об’єм продаж (тис.грн.)
Y

1
207

2
209

3
204

4
214

5
215

6
234

7
244

8
254

9
253

10
263

11
259

12
272

13
254

14
265

15
268

16
270

17
248

Слід розбити дані в таблиці наступним чином. До першої групи віднесемо дані за перші 13 кварталів (тобто за період з 1-го квартралу 199р. по 1-й квартал 2002р. включно). А до другої групи – дані за чотири квартали, що залишились: з 2-го кварталу 2002р. по 1-й квартал 2003р. (тобто з 14-го по 17-й квартал). Наступну процедуру можна охарактеризувати як імітацію процесу прогнозування. Ми подумки перенесемося на рік назад відносно часу самого останнього значення ( в нашому випадку воно отримано в кінці 1-го кварталу 2003р.) до кінця 1-го кварталу 2002р.
І почнемо прогнозувати так, як би зараз був кінець 1-го кварталу 2002 року. Прогнози, отримані таким чином, називаються ex post прогнозами. Але спочатку ми повинні задати горизонт прогнозування, тобто визначити, на скільки кроків вперед буде наш прогноз. При цьому кожний раз ми будемо порівнювати отримані значення з фактичними даними. В цьому і полягає основна перевага ex post прогнозування. При звичайному прогнозуванні такої можливості немає. Нижче наведемо детальний алгоритм ex post прогнозування.
Алгоритм
Знаходимо лінію регресії L для перших 13 значень.
З рівняння L визначаємо прогноз на 14-й квартал.
Порівнюємо отриманий прогноз з наявною інформацією за 14-й квартал. Знаходимо похибку.
Повторюємо пунки 1-3 послідовно для перших 14,15 і 16 значень.
В результаті ми отримуємо таблицю, що містить ex-post прогнози і відповідні помилки для останніх чотирьох кварталів (таблиця 7.2)
Таблиця 7.2 – Результати розрахунку
Вихідна
група
Рівняння регресії
Ex-post
прогноз
на наступний
квартал
Вихідні
дані
Помилка


Перші 13
кварталів
Y = 196,31+5,824t
(на 14-й кв.)
Y = 277,85
У14 = 265
-12,85

Перші 14
кварталів
Y = 198,14+5,457t
(на 15-й кв.)
Y = 280,00
У15 = 268
-12

Перші 15
кварталів
Y = 199,74+5,157t
(на 16-й кв.)
Y = 282,25
У16 = 270
-12,25

Перші 16
кварталів
Y = 201,27+4,887t
(на 17-й кв.)
Y = 284,35
У17 = 248
-36,35

Ex post прогноз на 16-й квартал (див.третій рядок таблиці) отримуємо наступним чином:
Визначаємо рівняння регресії для перших 15-ти кварталів. В отримане рівняння Y = 199,74+5,157t підставляємо t=16. Отримуємо значення 282,25 і порівнюємо його з вихідним значенням, рівним 270. Отримана похибка е = -12,25. Таким чином, в нашому випадку ex post пронози – це ті прогнози, які ми отримали на протязі одного року (тобто починаючи з 2-го кварталу 2002р. і закінчуючи 1-м кварталом 2003р.), якщо б почали прогнозувати в кінці 1-го кварталу 2002р.



8.1 ТРЕНДОВІ МОДЕЛІ (ЕКСТРАПОЛЯЦІЯ)

Тренд відображає усереднені тенденції зміни явища у часі. Припускається, що через фактор часу можна виразити вплив усіх основних факторів, іншими словами, хоча час не являється механізмом прояву закономірностей і тенденцій, він мовби акумулює дії основних факторів і виражає їх у рівнянні тренда.
Рівняння тренда може бути описане різними залежностями, серед яких:

лінійна y=a0+a1t
квадратична y=a0+a1t+a2t2
степенева y=aota1
показникова y=aoa1t
логарифмічна y=a1ln(x)+ao та інші.
При виборі виду рівняння необхідно вирішити два питання. По-перше, чи адекватно рівняння відповідає досліджуваним процесам, а у відношенні часового тренда - наскільки воно відображає закономірність тенденції, що склалася. По-друге, чи відповідає воно статистичним критеріям. Ці два питання повинні дати відповідь - наскільки логічно і статистично відібране рівняння відповідає процесам і явищам, що досліджуються.
Вибір виду рівняння проводять за допомогою зображення динамічного ряду на графіку. При цьому основним критерієм вибору найкращої кривої для прогнозування в більшості випадків обирають коефіцієнт детермінації:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (7.1)
де yi – фактичне значення показника (вихідна інформація);
13 EMBED Equation.3 1415 - вирівняне значення показника (розрахункові значення);
13 EMBED Equation.3 1415- середнє значення показника.
Найкращою кривою вважається та, для якої коефіцієнт детермінації є найбільшим.
Визначення майбутнього значення показника здійснюється шляхом підстановки у рівняння тренда значення незалежної змінної t, яка відповідає величині горизонту прогнозування.
Слід зазначити, що екстраполяція тренда може бути застосована лише у тому випадку, якщо розвиток явища достатньо добре описується побудованим рівнянням і умови, які визначають тенденцію розвитку у минулому, не зазнають значних змін у майбутньому.
Таблиця 7.3 – Вихідні дані для прогнозування
Місяці t
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Значення
показника dt
9,66
10,53
11,98
12,09
13,27
14,99
15,21
16,05
17,98
18,37


Для визначення прогнозу за допомогою трендової лінії слід спочатку зобразити вихідні дані на графіку у вигляді діаграми розсіювання. Для цього слід скористатись майстром діаграм, вибравши вид діаграми - точкова. Далі, використовуючи меню "Діаграма", що з’являється на панелі інструментів при виділенні отриманої діаграми, слід вибрати функцію додавання лінії тренду. По черзі, вибираючи різні види ліній тренду та на вкладці "параметри лінії тренду", задавши функції, що дозволяють показувати рівняння регресії та значення коефіцієнта детермінації на діаграмі, отримаємо наступні результати регресійного вирівнювання.
Також, щоб зобразити на графіку прогнозні значення необхідно на вкладці "параметри лінії тренду" в полі Вперед ввести кількість бажаних періодів, протягом яких лінія тренду і буде продовжуватись вперед.

Рисунок 7.1 - Результат регресійного вирівнювання за лінійною залежністю

Рисунок 7.2 - Результат регресійного вирівнювання за поліноміальною залежністю

Рисунок 7.3 - Результат регресійного вирівнювання за степеневою залежністю

Отже, даний ряд динаміки найкраще описує поліноміальна залежність, оскільки коефіцієнт детермінації R2=0,9853 приймає для цієї залежності максимальне значення з трьох розрахованих.
За виведеним рівнянням поліноміальної залежності y=0,0084х2+0,8887х+8,7998 розрахуємо значення показника на наступні періоди:
у11=0,0084*112+0,8887*11+8,7998=19,59
y12=0,0084*122+0,8887*12+8,7998=20,67
Отже, у 11 періоді значення показника становитиме 19,59, у 12 періоді - 20,67.
8.2 МЕТОД СЕРЕДНЬОЇ КОВЗАННЯ

При використанні методу ковзкого середнього (плинної середньої) прогноз будь-якого періоду є не що інше, як отримання середнього показника декількох результатів наглядів тимчасового ряду.
Таким чином методом прогнозування майбутнього значення показника являється усереднене m його минулих значень. Формально його можна визначити так:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (7.2)
Cередня ковзання порядку L - це часовий ряд, що складається з середніх арифметичних L сусідніх значень Yi. Як L вибирається непарне число, зазвичай 3, 5 або 7, і ці схеми називають триточковою, п'ятиточковою і т.д.
При L=3 середнє розраховується по трьох значеннях Yi, одне з яких відноситься до минулого періоду, одне - до шуканого і одне - до майбутнього. Оскільки для i = 1 не існує минулого значення, то в перший період неможливо розрахувати значення mi. Для i = 2 згладжене значення буде середнім арифметичним Yi при i = 1, 2, 3; для i = 3 середнє арифметичне береться для 2-го, 3-го і 4-го значень Yi; у останній точці початкового інтервалу ковзаюче середнє також неможливо розрахувати через відсутність майбутнього значення по відношенню до того, що розраховується (таблиця 3.4). Отже, для того, щоб почати процес середнього ковзання, необхідно мати в запасі n-1 минулих значень спостережень.

Таблиця 7.3 - Прогнозування методом середньої ковзання
A
B
C
D
E
F

1
Місяці
(t)
Значення
показника (dt)
Прогноз Ut
L=3
Прогноз Ut
L=5
Прогноз Ut
L=7

2
1
8.71
-
-
-

3
2
7.64
7.75
-
-

4
3
6.9
6.94
7.16
-

5
4
6.28
6.49
6.33
6.33

6
5
6.28
5.7
5.59
5.56

7
6
4.55
4.92
4.87
4.93

8
7
3.94
3.93
4.26
4.25

9
8
3.3
3.49
3.43
-

10
9
3.23
2.89
-
-

11
10
2.15
-
-
-

Значення прогнозу розраховується таким чином:
клітинка D3 - формула матиме вигляд (С2+С3+С4) / 3
D4 = (С3+С4+С5) / 3 і т.д.
E4 = (С2+С3+С4+С5+С6) / 5 і т.д.
F5 = (С2+С3+С4+С5+С6+С7+С8) / 7 і т.д.


Рисунок 7.4 - Прогнозування методом середньої ковзання
Для розрахунку прогнозу за методом середньої ковзання також можна скористатись функцією Аналіз даних, що міститься в меню Сервіс програми Excel. (Для встановлення даної функції слід вибрати Сервіс - Надбудови - Пакет аналізу). У діалоговому вікні Аналіз даних, в якому містяться всі доступні функції аналізу даних слід вибрати інструмент аналізу - ковзне середнє (скользящее среднее), що дозволяє визначити середню ковзання при заданих L=3,5 чи 7.

Приклад 1. Розрахувати плинн( середн(, використовуючи дан( про денний випуск продукц(ї. Результати розрахунк(в звести в таблицю.

Для будь-якого (нтервалу згладжування k плинну середню розраховуємо за формулою:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (7.3)
де 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - (-й р(вень ряду динам(ки ((=1, 2, 3, ..., n);
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - k -а плинна середня при (нтервал( згладжування р [k=1, 2,..., n-(n-1)].
Наприклад, для р=3 четверта плинна дор(внюватиме
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (7.4)

а остання плинна середня

13 EMBED Equation.DSMT4 1415, (7.5)
У табл. 7.4 наведено плинн( середн( триденна й п’ятиденна. Вих(дний та зр(вняний динам(чн( ряди (за допомогою п’ятиденної плинної середньої) зображен( на рис.7.5. Таблиця 7.4 - Згладжування ряду динам(ки за допомогою плинної середньої

Показники
Робочі дні


1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

1.Обсяг виробництва
продукції, тис.грн.

58

55

56

70

69

74

72

76

75

82

78

84

81

89

91

2. Плинна
сумма, тис. грн..
3-денна
-
169
181
195
213
214
222
223
233
235
244
243
254
261
-


5-денна
-
-
308
324
341
361
366
378
383
395
400
414
423
-
-

3. Плинна
середня, тис.грн.
3-денна
-
56,3
60,3
65,0
71,0
71,3
77,0
75,7
82,7
76,7
84,3
80,7
67,7
87
-


5-денна
-
-
61,6
64,8
68,2
722
73,2
75,6
76,6
79,0
80,0
82,8
84,6
-
-


13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415
Рисунок 7.5  Граф(к виробництва продукц(( 8.3 МЕТОД ПРОСТОЇ ЕКСПОНЕНЦІАЛЬНО ЗВАЖЕНОЇ СЕРЕДНЬОЇ (ПЕВС)

Даний метод використовується для короткострокового прогнозування шляхом розрахунку зваженої середньої поточних даних і даних минулих періодів та найчастіше застосовується для прогнозування попиту.
Формула Брауна або основне рівняння, що визначає просту експоненціально зважену середню наступне:
13 EMBED Equation.3 1415, (7.6)
де Ut - прогноз на поточний період
dt - фактичне значення показника за аналогічний минулий період
( - константа згладжування (0<(<1)
Значення константи згладжування вибирає укладач прогнозу. Якщо величина константи згладжування вибирається рівною нулю, то прогноз на наступний період буде рівний прогнозу на поточний період, тобто прогноз повністю заснований на даних минулого періоду і не враховує найпізніші із наявних фактичних даних.
З другого боку, якщо константа ( приймається рівною 1, то даним минулих періодів не приділяється ніякого значення, і прогноз повністю залежить від фактичних значень показника на поточний період. Такий підхід приймається, якщо йдеться про відкриття нового супермаркету, - зрозуміло, що в подібному випадку дані минулих періодів для складання прогнозу відсутні.
Аналітики більшості фірм при обробці рядів використовують "свої" традиційні значення (. Так в аналітичному відділі Kodak традиційно використовують значення 0.38, а на фірмі Ford Motors - 0.28 або 0.3. Взагалі для фірм, що динамічно розвиваються, і ринків характерні вищі значення константи згладжування (, чим для консервативних компаній і стабільних ринків. Проте реальність така, що вибір коефіцієнта ( був і залишиться украй суб'єктивним.
Якщо записати значення прогнозу для періоду t=1, то отримаємо:
13 EMBED Equation.3 1415, (7.7)
де U0 – початковий рівень згладжування, який можна задати наступними методами:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 - приймається рівним першому значенню із ряду фактичних значень,
2) 13 EMBED Equation.3 1415 - середнє фактичних значень ряду,
3) 13 EMBED Equation.3 1415- середнє m фактичних значень ряду,
4) 13 EMBED Equation.3 1415 - експертна оцінка.

Експоненціально зважена середня має ряд переваг перед традиційною середньою ковзання.
для побудови прогнозу по експоненціально зваженому середньому необхідно задати лише початкову оцінку прогнозу; подальше прогнозування можливе одразу ж при поступленні свіжих даних. Таким чином, немає необхідності заново будувати процедуру обчислення прогнозу, як це було необхідно по методу середньої ковзання.
2) чутливість експоненціально зваженого середнього з метою підвищення адекватності прогностичної системи може бути в будь-який момент часу змінена шляхом зміни величини
· (чутливість прогнозу – це здатність прогнозу реагувати на появу нових факторів). Чим вище значення
·, тим вище чутливість середнього; чим нижче
·, тим стійкішою стає експоненціально зважена середня. Чутливість методу середньої ковзання залежить від довжини ряду, а чутливість методу експоненціального згладжування – тільки від
·.







Таблиця 7.5 - Прогнозування за методом ПЕВС при (=0,6 та U0 = d1 (приклад розрахунку в MS Excel)
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L

1
Місяці (t)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

2
Значення
показника (dt)
8,71
7,64
6,90
6,28
6,28
4,55
3,94
3,3
3,23
2,15

3
a*dt
5,23
4,58
4,14
3,77
3,77
2,73
2,36
1,98
1,94
1,29

4
(1-a)Ut-1
3,48
3,48
3,23
2,95
2,69
2,58
2,12
1,80
1,51
1,38

5
Прогноз (Ut)
8,71
8,07
7,37
6,71
6,45
5,31
4,49
3,78
3,45
2,67





Розрахунок прогнозу також можна здійснити використовуючи функцію Експоненціальне згладжування, що міститься в меню Сервіс - Аналіз даних.
Основна ідея методу ПЕВС полягає в тому, що кожен новий прогноз виходить за допомогою переміщення попереднього прогнозу в напрямі, який дав би кращі результати в порівнянні зі старим прогнозом. Константа згладжування є величиною, що самокоректується. Іншими словами, кожен новий прогноз є сумою попереднього прогнозу і поправочного коефіцієнту, який і пересуває новий прогноз в такому напрямі, що робить попередній результат більш точним.
Згладжування є дуже корисним в тих випадках, коли у тимчасовому ряді спостерігаються істотні відмінності в рівнях даних. Методи прогнозування, що використовують константу згладжування враховують ефекти стрибка функції набагато краще, ніж способи, що використовують регресивний аналіз.


8.4 МОДЕЛЮВАННЯ СЕЗОННИХ КОЛИВАНЬ ЕКОНОМІЧНИХ ЯВИЩ РЯДАМИ ФУР’Є

Значна частина економічних явищ, таких як попит на товари та послуги, пасажиропотоки, виробництво в цукровій та консервній промисловості носить сезонний характер.
Для аналізу та прогнозування таких сезонних явищ використовують ряд Фур’є, який представляє сезонне явище у вигляді гармоніки.
У загальному вигляді ряд Фур’є можна записати так:
,               (7.8)
де , ,  – параметри моделі,
t – фактор часу,
k – порядковий номер гармоніки,
m – кількість гармонік.
В економетричних дослідженнях кількість гармонік ряду Фур’є приймають не більшою 4, а потім визначають, яка із гармонік найбільш адекватно описує сезонні коливання економічних явищ.
Параметри ряду Фур’є , ,  визначаються методом найменших квадратів. Формули для розрахунку цих параметрів мають вигляд:
,, ,  (7.9)
де n – кількість періодів часу, за які розглядається явище (місяців, днів, кварталів, років).
Для побудови економетричної моделі необхідно зробити перехід для фактора часу від натурального масштабу до радіанного або градусного. Цей перехід можна здійснити за формулою:
,                                             (7.10)
де n – кількість спостережень (або кількість інтервалів часу, за який аналізується сезонне явище), ti – фактор часу у радіанному (градусному) вираженні, n`i– натуральний ряд чисел від 0 до n-1 (0,1,2,,n-1).
Запишемо місяці у радіанній формі (таблиця 7.6).





Таблиця 7.6 – Радіанна форма місяців
січень
0
 
липень


лютий

 
серпень


березень

 
вересень


квітень

 
жовтень


травень

 
листопад


червень

 
грудень


Для визначення параметрів моделі  та  необхідно скласти таблицю значень тригонометричних функцій  (табл. 7.8).
  Таблиця 7.8 – Значення тригонометричних функцій

, рад.





1
0
1
1
0
0

2

0,866
0,5
0,5
0,866

3

0,5
-0,5
0,866
0,866

4

0
-1
1
0

5

-0,5
-0,5
0,866
-0,866

6

-0,866
0,5
0,5
-0,866

7

-1
1
0
0

8

-0,866
0,5
-0,5
0,866

9

-0,5
-0,5
-0,866
0,866

10

0
-1
-1
0

11

0,5
-0,5
-0,866
-0,866

12

0,866
0,5
-0,5
-0,866

Приклад. У таблиці 7.9 (стовп. 1, 3) наведено статистичні дані реалізації зимової одежі по місяцях. Описати сезонні коливання реалізації зимової одежі рядами Фур’є та вибрати гармоніку, яка найбільш адекватно описує ці сезонні коливання.
Розв’язання. За статистичними даними визначимо параметри моделі для першої гармоніки. Маємо


;

.
Запишемо ряд Фур’є для першої гармоніки:

.
Знаходимо теоретичні значення . Замість значень  та  у ряд Фур’є підставимо їх значення із таблиці 3.14.
Розраховуємо тісноту зв’язку (кореляційне відношення) для першої гармоніки. Для цього потрібно сформувати наступні стовпці: , . Тоді кореляційне відношення для 1-ої гармоніки
.
Розрахуємо параметри ряду Фур’є по другій гармоніці; для цього необхідно сформувати два стовпчики:  та .
Таким чином, маємо дані для розрахунку параметрів  та :
,
Таблиця 7.9 - Статистичні дані реалізації зимової одежі по місяцях
Місяці
, рад.











січень
0
37
37,000
0,000
34,96
4,161
81
37
0,000
37,88
0,769

лютий

40
34,641
20,000
39,31
0,479
36
20
34,641
39,64
0,128

березень

44
22,000
38,105
45,45
2,101
4
-22
38,105
42,87
1,286

квітень

52
0,000
52,000
51,74
0,069
36
-52
0,000
48,82
10,104

травень

46
-23,000
39,837
56,49
110,023
0
-23
-39,837
56,16
103,142

червень

70
-60,622
35,000
58,43
133,869
576
35
-60,622
61,01
80,764

липень

60
-60,000
0,000
57,04
8,762
196
60
0,000
59,96
0,002

серпень

48
-41,569
-24,000
52,69
22,013
4
24
41,569
53,03
25,252

вересень

46
-23,000
-39,837
46,55
0,303
0
-23
39,837
43,97
4,132

жовтень

38
0,000
-38,000
40,26
5,116
64
-38
0,000
37,35
0,429

листопад

36
18,000
-31,177
35,51
0,239
100
-18
-31,177
35,18
0,677

грудень

35
30,311
-17,500
33,57
2,044
121
17,5
-30,311
36,15
1,331


·
 
552
-66,239
34,428
552,0
289,180
1218
17,5
-7,794
552,0
228,014

.
Ряд Фур’є для другої гармоніки матиме вигляд:
.
  Визначаємо тісноту зв’язку для другої гармоніки
.
Оскільки , то ряд Фур’є по другій гармоніці більш адекватно описує сезонні коливання явища.
Будуємо графік сезонних коливань продажу зимової одежі (рис. 3.12).






Основні питання для самоперевірки

1. Сформулюйте задачу динамічного програмування.
2. Опишіть суть принципу поетапної побудови оптимального управління.
3. Сформулюйте задачу вибору шляху/визначення найкоротших відстаней за заданою зв'язаною мережею шляхів.
4. У чому полягає суть етапу і кроку при розрахунку задачі вибору шляху?
5. Алгоритм розрахунку задачі вибору шляху.
6. Суть методу функціональних рівнянь.

Рекомендована література.
Економіко-математичне моделювання. Навчальний посібник / Ю.В.Брагін. – К.: УМКВО, 1990. – 196с.
Пономаренко О.І., Пономаренко В.О. Системні методи в економіці, менеджменті та бізнесі. – К.:Либідь, 1995 – 240с.
Андрейчиков А.В., Андрейчикова О.Н. Анализ, синтез и планирование решений в экономике. – М.: Финансы и статистика. – 2001. – 368с.
Чарковський В.М., Хвостіна І.М., Запухляк І.Б. Математичне моделювання в економіці. – Івано-Франківськ: «Факел», 2004. – 128с.
Побігун С.А., Боднарук І.Р., Даляк Н.А., Артем’єв В.В. Використання економетричних, економіко-математичних моделей і методів прогнозування в економічних розрахунках: Навч.посібник - Івано-Франківськ: Факел, 2009. - 208с.
Орлова И.В., Половников В.А. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учеб.пособие. - М.: Вузовский учебник, 2009. - 365с.
Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб.пособие для вузов/В.В.Федосеев, А.Н.Гармаш, И.В.Орлова и др.; Под ред. В.В.Федосеева. - М.:ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 304с.
Вітлінський В.В., Наконечний С.І. Ризик у менеджменті. К.: ТОВ Борисфен-М.: - 1996. - 366с.
Вітлінський В.В., Наконечний С.І., Шарапов О.Д. Економічний ризик і методи його вимірювання: Підручник.К.:ІЗМН, 1196. - 400с.
Лук'яненко І., Краснікова Л. "Економетрика: підручник". - К.:"Знання", 1998р. - 493с. ;
Лук'яненко І., Краснікова Л."Економетрика - практикум з використанням компютера". - К.:"Знання", 1998р. - 217с.;
Толбатов Ю.А. "Економетрика: підручник". - К.:"Четверта хвиля", 1997р. - 318с.;








13PAGE 15


13 PAGE \* MERGEFORMAT 143015


13PAGE 15


13 PAGE \* MERGEFORMAT 146115


13PAGE 15


13 PAGE \* MERGEFORMAT 1410315






































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































































13 EMBED Equation.3 1415




i



Інтервали



Номер спостереження

Втрати в частках доходу
Хij

1

2

3

4

1

X1 - X2







РАЗОМ:


·


·

2

X2 - X3







РАЗОМ:


·


·



................................................................................
.....................

K

Xk - Xk+1







РАЗОМ:


·


·

i


Інтервали


Частоти fi


Накопичені частоти
13 EMBED Equation.3 1415

1
2

K

X1 - X2
X2 - X3
.......................
Xk - Xk+1





РАЗОМ:


· fi



*




· X i fi

X =

.


· fi





*




· X i
·

fi

d

=


· fi

X





13 EMBED Equation.3 1415

S

V = .

X

fm
· fm
·1

;

M o = X o + h (

) (

)

fm
· fm
·1 + fm
· fm +1



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

f(X)

f(Xj)

1

f(Xdn)

2

f(Xкp)

f(Xкт)

4

Xj Xdn Xкp Xкт

X











3



















Можливий рівень втрат (Хi)

X1, X2, X3,....... , Xn

Ймовірність появи даного рівня втрат (Рi)

P1, P2, P3, ....... , Pn

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

W(X)
1.0

W(Xj)

W(Xкр)

W(Xкт)

0

Xj

Xdn

Xкp

Xкт

X





W(Xdn)























13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Y = Пот

,

П р



Z = П ОТ

,

И М



П

р

RОБ =

= 0.2 .

И м



Y = Пот =

Пот

1

1

= Z = Z = 5Z

П р R об
· Им

R об

0.2


·


·

R


·
·

1

p

X =
·


·
·
·
·
· Z
· 2.222Z

,


· 1 + R p
·


· R об
·













13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Діаграма розсіювання

y = 1.8976x + 6.6546

0.00

5.00

10.00

15.00

20.00

25.00

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

X

Y

Ряд фактичних даних

Лінійний ряд (теоретичний)

=С3 + С4

=(1-0,6)*U0


=(1-0,6)*С 5

=0,6*С2

Рисунок 7.6 – Графік сезонних коливань




Приложенные файлы

  • doc 15885597
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий