Типовой вариант ИДЗ Числовые и функциональные р..


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Индивидуальное домашнее задание на тему
«Числовые и функциональные ряды»
Типовой вариант
Найти сумму ряда
Вычислить сумму знакочередующегося ряда
1
1
2
1
n
n
с точностью
,
0
Исследовать сходимость чис
ловых рядов
а)
; б)
; в)
Исследовать на абсолютную и условную сходимость знакопеременный
ряд
Найти область сходимости функционального ряда
1
2
2
3
5
n
n
x
оказать равномерную сходимость функционального ряда
1
2
4
n
x
на отрезке
Вычислить определенный интеграл
с точностью
на линейные множители:
Тогда общий член данного ряда можно записать в виде
3
1
5
3
1
5
3
4
3
5
3
4
3
5
3
4
3
9
n
n
n
n
n
n
n
n
u
Используя полученное пре
дставление общего члена ряда, преобразуем его
ую части
ную сум
4
3
1
5
3
1
1
3
1
8
3
1
2
3
1
11
3
1
5
3
1
14
3
1
k
k
k
k
k
k
k
k
По определению сумма ряда есть предел последовательности частичных
сумм
. Имеем:
Таким образом, сумма данного ряда
равна
39
S
Для приближенного вычисления суммы знакочередующегося ряда с
требуемой точностью
следует вычислять и суммировать члены ряда до тех
пор, пока модуль очередно
го члена не станет меньше
При этом все пр
межуточные вычисления следует проводить с одним запасным десятичным
знаком.
Имеем:
,
0
9
5
3
2
3
1
,
33
,
1
3
4
3
2
2
1
,
3
3
2
1
1
3
1
3
3
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
u
u

Так как
, вычисление членов ряда
прекращаем. Просуммируем
полученные члены и округлим окончательный результат до одного знака п
сле запятой:
а) Воспользуемся признаком Даламбера в предельной форме. Имеем:


Так как
12
1
D
, то по признаку Даламбера данный ряд
сходится
б) Воспользуемся
радикальным
признаком Коши в предельной форме:
3
2
1
3
2
3
lim
3
2
3
lim
5
5
n
n
n
n
n
C
n
n
n
n
Здесь использован известный предел
Поскольку
, то
по признаку Коши данный ряд
расходится
в) Так как
5
2
ln
2
1
3
1
5
2
ln
6
1
~
5
2
ln
1
6
1
3
3
n
n
n
n
n
n
u


сравним данный ряд с рядом
Учитывая, что

1
3
1
lim
lim
n
n
n
n
n
n
v
v
u
L
Так как
, то исходный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся
одновременно.
Для исследования сходимости ряда (1) воспользуемся инт
гральным призн
ком Коши
Маклорена. Поскольку функция
определена, непрерывна
, положительна и убывает на промежутке
, то
вопрос о сходимости ряда (1) эквивалентен вопросу о сходимости несобс
венного интеграла
Имеем:
ln
1
5
2
ln
1
lim
4
1
5
2
ln
1
4
1
5
2
ln
2
1
2
1
2
1
2
1
2
x
x
7
ln
4
1
7
ln
1
0
4
1
2

Так как несобственный интеграл сходится, то по интегральному признаку ряд
(1) также сходится. Но тогда
сходится
и исходный ряд.
Сначала исследуем данный ряд на абсолютную сходимость. Для этого
рассмотрим соответствующий ему ряд,
составленный из модулей
Поскольку
сравним ряд () с рядом
Имеем:
Следовательно, ряды () и () ведут себя одинаково. Сходимость ряда () и
с-
следуем с п
мощью интегрального признака. Имеем:
Так как интеграл расходится, то по интегральному признаку ряд () также
расходится. Но т
гда расходится и ряд (). Для исходного знакопеременного
ряда это означает, что он не о
бладает абсолютно
й сходимостью.
Исследуем обычную сходимость исходного ряда. Поскольку он является
знакочередующимся, воспользуемся признаком Лейбница. Для этого пров
рим выполнение двух условий, которым должна удовлетворять последов
тельность модулей членов этого ряда, т.е. последовательность
Имеем:


2)
ln
1
1
lim
lim
n
v
n
n
Таким образом, последовательность
является монотонно убывающей и
бесконечно малой
. В силу признака Лейбница такой ряд сходится.
Итак, данный ряд сходится, но, как мы выяснили выше,
он
не обладает
абсолютной сходимостью. Следовательно, он
сходится условно
Воспользуемся признаком Даламбера для произвольных рядов. Имеем:
Тогда
Рассмотрим три случая.
1) Если
то согласно признаку Даламбера данный ряд сходится абсолютно. Решим н
равенство (4):
5
3
5
3
5
3
3
5
3
5
x
x
x
x
Итак, при
5
;
3
5
x
данный ряд
сходится абсолютно.
) Если
5
3
1
x
то данный ряд расходится. Решая неравенство (5), находим:
Таким образом, при
данный ряд расходится.
) Осталось исследовать сходимость ряда в двух т
очках:
. В
точке
исходный функциональный ряд превращается
в числовой ряд
1
1
1
2
1
1
2
2
1
3
1
1
2
3
3
3
1
1
2
3
3
1
2
3
5
3
5
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
Так как
n
n
1
2
1
2
1
~
1
2
1
то, сравнивая полученный ряд с гармоническим рядом, л
егко доказать его
расходимость. Итак, при
данный функциональный ряд расходится.
В точке
данный ряд превращается в числовой ряд
который, очевидно, также расходится.
Окончательно получае
м, что
при
5
;
3
5
x
данный ряд абс
лютно сх
дится, а при
он расходится
Для всех
, очевидно,
имеют место неравенства
равносильные одному неравенству
4
x
Тогда для всех
имеют место оценки
Рассмотрим числовой ряд
1
2
5
n
и исследуем его сходимость с помощью признака Даламбера. Имеем:
Следовательно, ряд (6) сходи
тся. Тогда по признаку Вейерштрасса исходный
функци
нальный ряд
равномерно сходится на отрезке
1;
E
Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции
1
ln

Этот ряд сходится к функции
1
ln
при
. Заменяя в нем
на
получим разложение в ряд Маклорена функции

2
1
2
1
ln
n
n
n
x
Этот ряд сходится при всех
удовлетворяющих неравенствам
1
x
т.е. при
;
1
x
. Умножая последний ряд почленно на
, находим разл
жение в ряд подынт
гральной функции

Ясно, что
полученный ряд по
прежнему сходится при
. Проинте
рируем его п
членно
на отрезке

Найдем приближенное значение суммы полученного знакочередующегося
ряда с точн
стью
. Для этого достаточно вычислять и складывать
члены ряда до тех пор, пока модуль очередного члена не станет меньше, чем
. Пусть
общий член ряда. Производя вычисления с
одним з
пас
ным знаком, получаем:
,
0
768
1
2
3
2
1
,
0156
,
0
64
1
2
2
1
1
2
5
0
1
u
u

Так как
,
0
u
, вычисление членов ряда прекращаем. Найдем сумму п
лученных членов и округлим ее до третьего знака после запятой:
,
0
0145
,
0
0002
,
0
0013
,
0
0156
,
0
2
1
u
u
u
Итак, окончат
ельно получаем, что с точностью
xln
Приложение.
Приведем разложения в ряды Маклорена некоторых элементарных
функций с указанием областей сходимости соответствующих разложений к
рождающим их функциям.

2.


3.


4.


5.

arctg

6.

если
если
если

Приложенные файлы

  • pdf 15857444
    Размер файла: 154 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий