Основні властивості числових нерівностей


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Тема 5. Нерівності


Урок 1. Основні властивості числових нерівностей

Цілі: Домогтися засвоєння основних властивостей числових нерівностей.

Завдання:
сформувати вміння
застосовуват
и

основні

властивості числових
нерівностей
під час розв’язування задач та дов
едення нерівностей; сформувати вміння
оцінювати значення виразів, застосовуючи властивості числових нерівностей.


І.
Основні властивості числових нерівностей
:

1.

Якщо
a

˃

b
, то
а


b

˃ 0
,

якщо
a

˂

b
, то
а


b

˂ 0
.

2.

Якщо
a

˂

b
,
b

˂
c
, то
а ˂ с.

3.

Якщо
a

˂

b
, а с



будь
-
яке число, то
а  с ˂
b

 с

( якщо до обох частин
нерівності додати одне й те саме число, то отримаємо правильну нерівність).

4.

Якщо
a

˂
b
, с ˃ 0,
то

a
с ˂
b
с і

˂

(

якщо обидві частини нерівності
помножити

або поділити на одне й те саме додатне число ,то отримаємо
правильну нерівність).


Якщо
a

˂
b
, с ˂ 0,
то

a
с ˃
b
с і


˃


(нерівність змінює знак на
протилежний).

5.

Якщо
b

˃ а ˃ 0,
то

˃
.

6.

Якщо
a

˂

b

і с ˂
d
,
то

а  с ˂

b

+
d

(нерівності з однаковими знаками можна
почленно додавати)

7.

Якщо
a

˂
b

і с ˂
d

і а ˃ 0,
b

˃ 0, с ˃ 0,
d

˃ 0,
то

ас ˂
bd
.

8.

Якщо
a

˂
b

 с,
то

а


с ˂
b

( доданок можна переносити з однієї части
ни
нерівності в іншу, змінюючи знак доданка на протилежний)


Приклад
. Відомо, що
a

˂
b
. Порівняємо
2а  3
і

2
b

+ 5.


Розв'язання

а



b

п
омножимо обидві частини нерівності

на

2;

оскільки 2



0, то

за
четвертою властивістю

2
а



2
b

додамо до обох частин нерів
ності 3, отже за
третьою властивістю

2
а 
3



2
b

+

3.

Оскільки
3



5


то за третьою властивістю

2
b

+
3 2
b

+

5.

Отже за
другою властивістю


2
а

+ 3



2
b

+ 5.


ІІ
.

Застосування властивостей числових нерівностей

1.

Для оцінювання значення

виразу.

Приклад.

Відомо, що
6 ˂ х ˂ 7 і 10 ˂ у ˂ 12
. З’ясуйте яких значень можуть
набувати наведені вирази (оцініть ці вирази)
:

а) 3х  2у; б) у


х
; в) 5ху; г)
.

Розв’язання

а)

За умовою
6 ˂ х ˂ 7
, п
омножимо всі частини нерівності н
а 3, щоб знайти
вираз


(оцінити

)


3 ˂ 3·х ˂ 7·3

18 ˂ 3х ˂ 21

Оцінимо
2у:

20 ˂ 2у ˂ 24

Оцінимо
3х  2у:





18 ˂ 3х ˂ 21





+







20 ˂ 2у ˂ 24






38 ˂ 3х  2у ˂

45

Відповідь:
38 ˂ 3х  2у ˂ 45

б)

За умовою
6 ˂ х ˂ 7
, помножимо всі частини нерівності на



1
(знаки
нерівності

зміняться на пр
отилежні), отримаємо:





7 ˂


х ˂


6

Оцінимо

у


х: 10 ˂ у ˂ 12




+





7 ˂


х ˂


6

3 ˂ у


х ˂ 6

Відповідь:
3 ˂ у


х ˂ 6


в) За умовою
6 ˂ х ˂ 7
, помножимо всі частини нерівності на 5:


30 ˂ х ˂ 35

Оцінимо
5ху:

30 ˂ х ˂ 35



˟



10 ˂ у ˂ 12

300 ˂ 5ху ˂ 420

Відповідь:
300 ˂ 5ху ˂ 420


г) За умовою
6 ˂ х ˂ 7,


оцінимо
:

˂

˂

Оцінимо
, помноживши у на
:
˂

˂
,

отже

˂
˂ 2.

Відповідь:

˂
˂ 2

2.

Для доведення нерівностей:



Метод різниці

Щоб довести, що А ˃ В, досить довести, що А


В ˃ 0.

Щоб довести, що А ˂ В, досить довести, що А


В ˂ 0.

Приклад
. Довести, що
а(а


2) ˃ 6(а


3)

Розв’язання

Покажем
о, що
а(а


2)


6(а


3) ˃ 0

а(а


2)


6(а


3)  а
2






6а  18  а
2



8а  18

(виділимо з тричлена
квадрат двочлена)
а
2



2·4а  16  2

 (а


4)
2

+ 2
.




4)
2

≥ 0

при будь
-
якому а, тому



4)
2

+ 2

˃ 0.

Оскільки

а(а


2)


6(а


3)  (а


4)
2

 2 ˃ 0, то а(а


2) ˃ 6(а


3).



Метод спрощення нерівності

Приклад
. Довести, що

1
, де

Розв’язання



Нерівність, що доводиться, набуває вигляду

і стає очевидною.



Метод нерівності Коші для двох чисел.


для
а

≥ 0 і
b

≥ 0, або

-

нерівність Коші


(сума двох обернених чисел більше або дорівнює нулю).

Приклад.

Доведіть, що коли
a

� 0
, і
b

� 0,
то

Застосовуючи нерівність Коші:

;

отже,



Формули середніх величин.

Середнє арифметичне
-

,

a

� 0,
b

� 0

Середнє квадратичне
-


Середнє геометричне
-


Середнє гармонічне

-







ІІІ.
Завдання для самостійної роботи:

1.

Відомі

межі довжини
а

і ширини
b

прямокутника
(у см):


5,6

a
5
,7
і 4,8 ˂
b

˂ 4,9.

Оцініть з точністю до десятих: а) периметр прямокутника; б) площу
прямокутника.

2.

З
найдіть межу значення виразу



3у,

якщо 3,13 ˂
х ˂
3,14 і 7,28˂
у ˂
7,29.

3.

Доведі
ть, що при будь
-
якому значенні змінної, нерівності є правильними:

а)
х
2



12х  38 ˃ 0,

б)
х
2

 5у
2

 2ху  4у  3 ˃0,

в)
(а  2)
2



5 ˃2(а


6)

4. Відомо, що
а ϵ [0;1],
b

ϵ [0;1] і а 
b



.

Доведіть

.

5.


Доведіть, що для
а ˃0,
b

˃ 0
виконується нерівність

2

+
b
)(
+
) ≥ 4

6.

Доведіть, що для
а ˃0,
b

˃ 0, с ˃0
виконується нерівність

а
b(
a

+
b



2
c
) +
bc
(
b

+
c



2
a
) +
ac
(
a

+
c



2
b
) ≥ 0




Приложенные файлы

  • pdf 15857347
    Размер файла: 230 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий