Лабораторная робота_5_числ_мет

Лабораторная робота №5.
Тема: Численное дифференцирование.
Цель: Научиться использовать формулы интерполирования (многочлена Лагранжа и Ньютона) для нахождения первой и второй производных функции, заданной таблично.
Ход работы:
Запустите МаthCad.
Дифференцирование с помощью интерполяционной формулы Лагранжа.
Найти первую и вторую производные функции 13 EMBED Equation.3 1415, заданной таблично на отрезке [2; 3], используя формулы Лагранжа

и первую или вторую формулы Ньютона

или

соответственно.
Решение.
Постройте таблицу значений на заданном отрезке (рис. 2.8.1).
a:= 2 b:=3 h:=0.1 13 EMBED Mathcad 1415 n=10 i:=0..n
13 EMBED Mathcad 1415

Рис. 2.8.1. Ввод данных задачи
Запишите интерполяционную формулу Лагранжа (1.5.9) при дифференцировании функции с равноотстоящими узлами (рис. 2.8.2).

13 EMBED Mathcad 1415
Рис. 2.8.2. Интерполяционная формула Лагранжа
Найдите значения первой производной для заданных значений 13 EMBED Equation.3 1415 (рис. 2.8.3).

Рис. 2.8.3. Вычисление значений производной полинома Лагранжа
Полученные значения проверьте, используя функцию нахождения первой производной (рис. 2.8.4).

Рис. 2.8.4. Вычисление точных значений производной
Графически изобразите полученные значения первой производной 13 EMBED Equation.3 1415и значения, полученные по интерполяционной формуле Лагранжа (рис. 2.8.5).

Рис. 2.8.5. Визуализация значений производной, вычисленных по точной формуле
и с помощью интерполяционного полинома Лагранжа
Для оценки погрешности необходимо воспользоваться аналитическим выражением таблично заданной функции (рис. 2.8.6).

Рис. 2.8.6. Погрешность по формуле Лагранжа
13 EMBED Mathcad 1415
Погрешность для интерполяционной формулы Лагранжа вычисляется по формуле, представленной на рис. 2.8.7.

Рис. 2.8.7. Вычисление погрешности
интерполяционной формулы Лагранжа
Здесь Мах_pro максимальное значение (n+1)-ой производной заданной функции на отрезке [2; 3]. Результат вычисления погрешности представлен на рис. 2.8.8.

Рис. 2.8.8. Погрешность вычислений
Постройте график полученных значений погрешностей для характеристики вычислительного процесса (рис. 2.8.9).

Рис. 2.8.9. Зависимость погрешности от номера шага итерационного процесса
Зависимость шага от полученного значения погрешности показывает, что на концах отрезка значения производной отличаются больше, чем в середине. Значит, в середине отрезка значения получили более точно.
Задание к лабораторной работе № 5.
Вычислить значение первой производной функции, заданной таблично, используя интерполяционные многочлены Лагранжа и Ньютона, и оценить погрешности методов. Составить функцию, позволяющую находить значение первой производной в данных точках х, и в любой промежуточной точке.





В отчете к лабораторной работе № 5 ответьте на вопросы по теме:

В каких случаях используют численное дифференцирование?
В чем особенность задачи численного дифференцирования?
Графическая интерпретация численного дифференцирования.
Интерполяционная формула Лагранжа для равноотстоящих узлов.
Формула численного дифференцирования на основе интерполяционной формулы Лагранжа.
Формула для оценки погрешности численного дифференцирования по формуле Лагранжа.
Формула численного дифференцирования на основе интерполяционных формул Ньютона.
Формула для оценки погрешности численного дифференцирования по формулам Ньютона.
Как влияет на точность численного дифференцирования величина шага h?









13PAGE 15


13PAGE 14415







Root Entry

Приложенные файлы

  • doc 15846356
    Размер файла: 237 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий