Алгебра случайных событий

АЛГЕБРА СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Алгебра случайных событий
Случайное событие это факт, который может как произойти, так и не произойти при выполнении определенного комплекса условий.
Достоверным называется такое событие, которое обязательно произойдет в результате данного эксперимента.
Невозможным называется такое событие, которое никогда не произойдет в результате данного эксперимента.
Например, при бросании игральной кости, достоверное событие – выпадение числа очков в пределах о 1 до 6.
Невозможным будет событие, состоящее в появлении 5 тузов при извлечении 5 карт из колоды.
Несколько событий составляют полную группу, если в результате эксперимента обязательно произойдет хотя бы одно из этих событий.
Например, при бросании игральной кости может появиться более трех очков или менее пяти очков. Эти события составляют полную группу.
Два события называются несовместными, если происхождение одного из них исключает происхождение остальных в результате эксперимента.
Группа событий будет группой несовместных событий, если любые два события этой группы – несовместны.
Например, при извлечении двух карт из колоды могут произойти несовместные события: появление двух тузов, появление двух королей, появление двух десяток. Это группа несовместных событий.
События называют равновозможными, если условия, в которых ставится эксперимент, позволяют считать, что ни одно из событий не будет происходить чаще другого при многократном повторении испытания.
Пространство элементарных исходов эксперимента это множество всех взаимоисключающих исходов эксперимента. Тогда случайные события – подмножества пространства элементарных исходов. Элементарные исходы, принадлежащие событию А называются благоприятствующими исходами для события А.
Суммой событий А и В называется событие А+В, которое происходит тогда и только тогда, когда произойдет хотя бы одно из этих событий, то есть или А или В или а и В одновременно.
Произведением событий А и В называется событие АВ, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят события А и В одновременно.
Разностью событий А и В называется событие А–В, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В.
Событием, противоположным к А называется событие 13 EMBED Equation.3 1415, которое происходит тогда и только тогда, когда событие А не происходит.
Пример. При бросании игральной кости пространство элементарных исходов эксперимента – множество 13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 – элементарный исход, состоящий в том, что выпало i очков. Тогда, событие 13 EMBED Equation.3 1415 – выпало нечетное число очков; событие В=13 EMBED Equation.3 1415; событие С= 13 EMBED Equation.3 1415 – выпало не более трех очков.
Тогда суммой событии А и В будет событие А+В=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 – выпало некоторое число очков от одного до шести. Это событие, очевидно, достоверное. Суммой событий А и С будет событие А+С= 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 – не выпало ни четырех, ни шести очков.
Произведением событий А и В будет событие АВ= 13 EMBED Equation.3 1415=Ш. Это событие невозможное. Произведением событий В и С будет событие ВС= 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 – выпало два очка.
Разностью событий А и В будет событие А–С=13 EMBED Equation.3 1415.
Событием, противоположным к А будет событие 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, то есть событие В. Противоположным к событию С будет событие 13 EMBED Equation.3 1415 – выпало более трех очков.
Элементы комбинаторики
Комбинаторика – ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов, общие законы комбинирования и образования различных конфигураций объектов возникла в XVII в. С задачами, в которых приходится выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди расположений наилучшие люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшие расположения охотников во время охоты, воинов во время битвы, инструментов во время работы. Определенным образом располагались украшения на одежде, узоры на керамике, перья в оперении стрелы. По мере усложнения производственных и общественных отношений все шире приходилось пользоваться общими понятиями о порядке, иерархии, группировании. В том же направлении действовало развитие ремесел и торговли.
В первом приближении можно сказать, что комбинаторика изучает способы выборки и расположения предметов, свойства различных конфигураций, которые можно образовать из элементов, причем элементами могут быть числа, точки, отрезки, шахматные фигуры и т. д. Характерной чертой комбинаторных задач является то, что в них речь идет всегда о конечном множестве элементов. Чтобы устранить влияние конкретного вида выбираемых и располагаемых предметов, надо воспользоваться общим языком теории множеств, говорить о множествах и их подмножествах (частях), об объединении нескольких множеств и их пересечении (образовании общей части).
Правило суммы.
Пример. Если множество А состоит из букв (элементов) 13 EMBED Equation.3 1415, а множество В = 13 EMBED Equation.3 1415, то их пересечение 13 EMBED Equation.3 1415.Тогда, количество элементов их объединения найдется по правилу суммы:
13 EMBED Equation.3 1415.
По правилу суммы легко найти элементы некоторого множества U, не принадлежащие ни одному из подмножеств 13 EMBED Equation.3 1415 этого множества. Сначала надо найти количество элементов в объединении 13 EMBED Equation.3 1415, а затем вычесть это число из числа элементов U.
Пример. В классе обучаются 42 ученика.
Из них 16 участвуют в секции по легкой атлетике, 24– в футбольной секции, 15 – в шахматной секции, 11 – и в секции легкой атлетики и в футбольной секции, 8 – в легкоатлетической и шахматной, 12 – в футбольной и шахматной, 6 – во всех трех секциях. Остальные увлекаются только туризмом. Сколько школьников являются туристами?
Решение. Обозначим через U множество всех учащихся, через А – членов легкоатлетической секции, В – футбольной, С – Шахматной, D – туристической. По условию задачи имеем:
13 EMBED Equation.3 1415,
причем
13 EMBED Equation.3 1415 Ш
и
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда по формуле (5) получаем, что
13 EMBED Equation.3 1415
и потому
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, туризмом занимаются 12 школьников.
Правило произведения
Пусть имеем несколько конечных множеств 13 EMBED Equation.2 1415, причем 13 EMBED Equation.2 1415.
По теореме о мощности прямого произведения множеств, число векторов 13 EMBED Equation.2 1415, которые можно составить из элементов данных множеств, равно 13 EMBED Equation.2 1415, так как
13 EMBED Equation.DSMT4 1415= 13 EMBED Equation.2 1415.
Полученный результат – один из важнейших в комбинаторике. Есть лишь одна тонкость. Иногда множество 13 EMBED Equation.2 1415 бывает не задано, а определяется после выбора 13 EMBED Equation.2 1415, а множество 13 EMBED Equation.2 1415 определяется после выбора элементов 13 EMBED Equation.2 1415 и 13 EMBED Equation.2 1415 и т. д. Но при этом, как бы мы ни выбирали 13 EMBED Equation.2 1415, выбор элемента 13 EMBED Equation.2 1415 возможен 13 EMBED Equation.2 1415 способами; при любом выборе 13 EMBED Equation.2 1415 и 13 EMBED Equation.2 1415 на третье место имеется некоторое число 13 EMBED Equation.2 1415 претендентов и т. д. И в этом случае ответ получится тот же самый:
13 EMBED Equation.2 1415.
Пример. Сколько восьмизначных чисел можно построить из цифр (символов) (0, 1, 2 . . . 9), так чтобы цифры не повторялись?
Так как речь идет именно о восьмизначном числе, а не о последовательности из 8 знаков, то, следовательно, 1-ая цифра не может быть нулем.
Тогда множество 13 EMBED Equation.2 1415 - кандидатов на 1-ое место содержит 9 элементов (1, 2,
. . . , 9);
после выбора первой цифры множество 13 EMBED Equation.2 1415 содержит снова 9 элементов - те цифры, которые не равны первой;
если первая цифра 1, то (0, 2, 3 . . . 9);
2, то (0, 1, 3 . . . 9);
3, то (0, 1, 2, 4 . . . 9) . . .
Множество 13 EMBED Equation.2 1415 после выбора 13 EMBED Equation.2 1415 и 13 EMBED Equation.2 1415 содержит 8 элементов - те цифры, которые не равны 13 EMBED Equation.2 1415 и 13 EMBED Equation.2 1415.
Ответом является число 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Размещения без повторений
Решим задачу: имеется множество Х, состоящее из m элементов (m-множество). Сколько векторов размерности k можно составить из элементов этого множества, если координаты вектора должны быть различными (не должны повторяться).
Число таких векторов (размещений без повторений из m элементов по k) будем обозначать 13 EMBED Equation.2 1415. Будем рассуждать так: на первое место – имеем n претендентов. После того, как оно заполнено, на второе остается n–1 претендент, на третье – n–2 претендента и т. д.
На k-ое место имеется n – (k – 1) кандидат (т. к. после того, как из m предложенных элементов уже выбрали k - 1, то остался n – (k – 1) =  n – k + 1 претендент на k-ое место). Применяя правило произведения, находим:
13 EMBED Equation.3 1415.
Умножив числитель и знаменатель на (n–k) . . . 313 EMBED Equation.2 1415213 EMBED Equation.2 14151, получим окончательный вид формулы:
13 EMBED Equation.3 1415 .
Пример. Сколько слов длины 4 можно составить из 33 букв русского алфавита, при условии, что все буквы различны.
13 EMBED Equation.2 1415.
Размещения с повторениями
Множества 13 EMBED Equation.2 1415, из элементов, из которых составляются вектора, в правиле произведения могут иметь общие элементы. В частности, все они могут совпадать с одним и тем же множеством Х, содержащим m элементов.
Вектора длины k, составленные из элементов m - множества Х называют размещениями с повторениями (словами длины k в алфавите Х), а их число обозначают 13 EMBED Equation.2 1415.
Из правила произведения сразу вытекает, что
13 EMBED Equation.3 1415
k раз
Пример. Сколько слов длины 6 можно составить из 26 букв английского алфавита?
13 EMBED Equation.2 1415.

Перестановки без повторений
Решим задачу: сколькими способами можно переставить между собой (поменять местами) сразу все m элементов множества Х?
Число 13 EMBED Equation.2 1415- перестановок без повторений из n элементов – это число способов, сколькими по n местам можно расставить n элементов. Оно легко получается из формулы для размещений без повторений при условии, что размерность создаваемых векторов k равна количеству элементов всего множества n:
13 EMBED Equation.3 1415 .
0! по определению равен 1.
Сочетания без повторений
Решим задачу: сколькими способами из множества 13 EMBED Equation.2 1415 можно составить всевозможные подмножества по k элементов каждое?
Число таких подмножеств будем называть числом сочетаний без повторений из m элементов по k и обозначать 13 EMBED Equation.2 1415. Решить ее проще всего тоже исходя из понятия вектора. Если бы мы искали число упорядоченных k - подмножеств без повторений, составленных из множества Х в m элементов, то оно было бы равно
13 EMBED Equation.3 1415.
Но нас не интересует порядок элементов, выбранный в вектор длины k, а интересует лишь состав. Тогда среди 13 EMBED Equation.2 1415 различных векторов k! штук имеют одинаковые компоненты и отличаются лишь их порядком. Таким образом, сочетаний будет в k! раз меньше, чем размещений
13 EMBED Equation.3 1415 .
Число сочетаний без повторений 13 EMBED Equation.2 1415обладает следующими свойствами:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Удобно, также помнить, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример.
Из 1, 2, 3, 4 упорядоченных пар можно составить 13 EMBED Equation.2 1415.
12 13 14 23 24 34
21 31 41 32 42 43
При таком расположении заметно, что эти пары можно составить, выбрав сначала в пару какие-то 2 элемента, а затем составить все возможные векторы, переставив данный состав 2! различными способами. Значит, если считать пары, отличающиеся только составом, то их будет в 2! раз меньше, чем 13 EMBED Equation.2 1415.
Пример. Сколько существует различных способов заполнения карточек “Спортлото” 6 из 49? Нам надо выбрать неупорядоченные подмножества размерности k = 6 из множества Х, n= 49.
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415.
ЗАДАЧИ
1. Определить, обладает ли следующая группа событий свойствами группы случаев:
Испытание состоит в бросании 2х монет.
А13 EMBED Equation.3 1415- выпал хотя бы один герб;
А13 EMBED Equation.3 1415- выпала хотя бы одна решка.
Испытание состоит в 2х выстрелах по мишени.
А13 EMBED Equation.3 1415- ни одного попадания;
А13 EMBED Equation.3 1415- ровно одно попадание;
А13 EMBED Equation.3 1415- ровно два попадания.
Испытание состоит в бросании игральной кости.
А13 EMBED Equation.3 1415- выпало нечетное число очков;
А13 EMBED Equation.3 1415- выпало четное число очков.
Испытание состоит в бросании 3х монет.
А13 EMBED Equation.3 1415- не выпало гербов;
А13 EMBED Equation.3 1415- выпал один герб;
А13 EMBED Equation.3 1415- выпало два герба;
А13 EMBED Equation.3 1415- выпало 3 герба.
Испытание состоит в извлечении 2х карт из колоды.
А13 EMBED Equation.3 1415- выпали две черные карты;
А13 EMBED Equation.3 1415- выпали две красные карты.
Испытание состоит в бросании игральной кости.
А13 EMBED Equation.3 1415- выпало не более 2х очков;
А13 EMBED Equation.3 1415- выпало больше 2х и меньше 5и очков;
А13 EMBED Equation.3 1415- выпало больше 4х очков.
Испытание состоит в бросании 3х монет
А13 EMBED Equation.3 1415- выпало два герба;
А13 EMBED Equation.3 1415- выпало две решки.
Испытание состоит в извлечении 2х карт из колоды.
А13 EMBED Equation.3 1415- выпали две черные карты;
А13 EMBED Equation.3 1415- выпала дама;
А13 EMBED Equation.3 1415- выпал туз.
Среди студентов, собравшихся на лекцию по ТВ, выбирают наудачу одного. Событие А = (выбран юноша(; В =((не курит(; С =((живет в общежитии(.
а) Описать событие 13EMBED Equation.31415.
б) При каком условии будет иметь место тождество АВС = А?
в) Когда будет справедливо соотношение 13EMBED Equation.31415?
г) Может ли быть верным равенство 13EMBED Equation.31415, если все юноши курят?
Мишень состоит из 10 кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусом 13EMBED Equation.31415, причем 13EMBED Equation.31415. Пусть событие 13EMBED Equation.31415 (((попадание в круг радиуса 13EMBED Equation.31415(. Что означают события:13EMBED Equation.31415; 13EMBED Equation.31415; 13EMBED Equation.31415?
Брошены две монеты. Рассматриваются события:
А – выпал «герб» на первой монете;
В – выпала «решка» на первой монете;
С – выпал «герб» на второй монете;
D – выпала «решка» на второй монете;
E – выпал хотя бы один «герб»;
F – выпала хотя бы одна «решка»;
G – выпали два «герба»;
H – выпал ровно один «герб»;
I – не выпало «гербов».
Какими событиями этого списка являются события:
а) А+C; б) АС; в) B+D; г) BD; д) A+E; е) AE; ж) В+F; з) DF; и) AD+BC.
Пусть А, В, С ( три произвольных события. Записать выражения для событий, состоящих в том, что из событий А, В, С:
а) произошло только А;
б) произошло А и В, но С не произошло;
в) все три события произошли;
г) произошло, по крайней мере, одно из этих событий;
д) произошло, по крайней мере, два события;
е) произошло одно и только одно событие;
ж) произошло два и только два события;
з) ни одно событие не произошло;
и) произошло не более двух событий.
В отделе научно-исследовательского института работают несколько человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. 6 человек из них знают английский, 6 – немецкий, 7 – французский, 4 – английский и немецкий, 2 – английский и французский, 3 – немецкий и французский, 1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе? Сколько из них знает только английский язык? Сколько человек знает только один язык?
Староста одного класса дал следующие сведения об учащихся: ”В классе учатся 45 школьников, в том числе 25 мальчиков. 30 школьников учатся на хорошо и отлично, в том числе 16 мальчиков. Спортом занимаются 28 учеников, в том числе 18 мальчиков и 17 учеников, учащихся на хорошо и отлично. 15 мальчиков учатся на хорошо и отлично и занимаются спортом.”
Докажите, что в этих сведениях есть ошибка.
Сколько чисел среде первых 100 натуральных чисел не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7?
На железнодорожной станции имеется 10 путей. Сколькими способами можно расставить на них 3 состава?
Десять человек случайным образом рассаживаются за круглый стол. Сколькими способами это можно сделать? Сколькими способами это можно сделать так, что бы два определенных человека А и В оказались сидящими рядом? Что бы три определенных человека А, В и С оказались сидящими рядом?
Служащий банка утратил 5-значный код одного из сейфов, состоящий из различных цифр. Сколько вариантов он должен перепробовать, чтобы открыть сейф?
Слово составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Сколькими способами это можно сделать? Сколькими способами это можно сделать так, чтобы карточки с буквами располагались в порядке следования букв заданного слова: а) «событие»; б) «статистика».
На карточках написаны буквы: А, Е, У, У, К, К, К, Р. Карточки перемешаны и разложены в ряд. Какова вероятность, что получится слово “кукареку”.
Монета брошена дважды. Сколькими способами это можно сделать? Сколькими способами это можно сделать так, что хотя бы один раз появиться герб.
Монета брошена три раза. Сколькими способами это можно сделать? Сколькими способами это можно сделать так:
что хотя бы один раз появиться герб;
что герб появится только один раз;
что решка появится ровно два раза.
Из 30 букв алфавита составлено слово длины 6. Сколькими способами это можно сделать? Сколькими способами это можно сделать так, чтобы:
в слове была ровно одна буква А;
в слове было ровно две буквы А;
в слове было ровно 5 букв А;
в слове была хотя бы одна буква А.
Четверо студентов сдали экзамены. Сколькими способами им могут быть поставлены отметки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной отметки?
Имеется три волчка с 6, 8 и 10 гранями соответственно. Сколькими различными способами они могут упасть? Сколько способов выпадения, если, по крайней мере, два волчка упали на сторону, помеченную “1”?
Сколько чисел меньших миллиона можно написать с помощью цифр:
а) 9,8,7;
б) 9,8,0 (цифра “0” не должна быть первой)?
Во скольких десятизначных числах сумма цифр равна 3 (первая цифра отлична от нуля)?
Сколько можно составить различных пятизначных чисел, делящихся на 25 и не содержащих цифры “0”, если каждая цифра в записи числа может встречаться несколько раз?
Сколькими способами среди первых 100 натуральных чисел можно выбрать двузначное число, делящееся:
а) на 8;
б) на 8 и на 3;
в) на 2 , 4 и 6.
Монета бросается до тех пор, пока “герб” или “решка” не появится во второй раз. Сколько существует различных результатов данного эксперимента?
На карточках разрезной азбуки написано слово “Абакан”. Сколькими способами можно сложить эти карточки случайным образом так, чтобы согласные буквы шли в алфавитном порядке ?
У переплетчика 12 различных книг и три цвета переплетной бумаги: красный, зеленый и синий. Сколькими способами он может переплести книги так, чтобы:
все книги были переплетены в один цвет;
все книги, кроме одной были переплетены в красный цвет, а одна в синий;
все книги, кроме одной были переплетены в синий цвет;
все книги были переплетены в красный или синий цветa;
все книги были переплетены в красный и синий цвета;
все книги были переплетены в два каких-нибудь цвета;
в каждый цвет была переплетена хотя бы одна книга.
Во скольких десятизначных числах сумма цифр равна 5 (первая цифра отлична от нуля)?
10 спортсменов выступают на соревнованиях по спортивной гимнастике. После их выступления трое судей, не сговариваясь, располагают их по 10 местам, согласно месту, которое, по мнению каждого судьи, спортсмен занял. Таким образом, получается три списка спортсменов. Первый приз будет присужден тому, кого назвали первым хотя бы двое из судей. Если этого не произойдет, то судейство считается не состоявшимся и приз не присуждается никому. В какой доле случаев приз будет получен?
Куб, все грани которого окрашены, распилен на 1000 кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Сколько среди этих кубиков имеют окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три: г) ни одной.
Человек забыл последнюю цифру телефонного номера. Сколькими способами он может сделать набор, для того чтобы попасть в нужное место не более, чем с третьего раза?
Из тщательно перемешанного полного набора домино в 28 костей наудачу извлечена одна кость. Сколькими способами можно приставить к первой наудачу извлеченную вторую кость можно, если первая кость была:
а) дублем;
б) не дублем.
Тридцать пять учащихся класса по итогам года имели “5” по
математике – 14 человек;
физике – 15 человек;
химии – 18 человек;
математике и физике – 7 человек;
математике и химии – 9 человек;
физике и химии – 6 человек;
по всем трем предметам – 14 человек;
Сколько учеников данного класса
не имеет “5” по указанным предметам;
имеет “5” только по математике;
имеет “5” не менее, чем по 2-м предметам.
В барабане револьвера 7 гнезд. В пяти из них – патроны, а остальные пусты. Барабан приводится во вращение, в результате чего, напротив ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. Затем нажимается курок. Если гнездо пустое – выстрела не произойдет, если в нем патрон – выстрел не произойдет. Сколькими способами можно раскрутить барабан 2 раза так, что:
выстрелов не будет;
первый выстрел будет, а второго нет;
первого выстрела не будет, а второй будет;
произойдут оба выстрела.
Сколько13 EMBED Equation.3 1415 слов можно получить переставляя буквы слова “парабола”, “метаморфоза”, “обороноспособность”?
Сколькими способами можно расставить на первой горизонтали шахматной доски короля, ферзя, две ладьи, двух слонов и двух коней? Каким будет ответ, если Фигур будет меньше 8, например, 3 пешки и две ладьи?
У мамы было 2 одинаковых яблока, 3 одинаковые груши и 4 одинаковых апельсина. Каждый день она давала своему ребенку по одному фрукту. Сколькими способами это возможно сделать?
Для премии на математической олимпиаде выделено 3 экземпляра одной книги, 4 экземпляра другой и 8 экземпляров третьей. Сколькими способами могут быть распределены эти книги между 30 участниками, если каждому вручается не более одной книги?
Найдите сумму четырехзначных чисел, получаемых при всевозможных перестановках цифр 1, 1, 4, 4. То же самое для цифр 0, 0, 4, 4.
Сколькими способами можно переставить буквы слова “огород”, чтобы три буквы “о” не шли подряд?
Сколькими способами можно переставить буквы слова “обороноспособность”, чтобы две буквы “б” не шли подряд?

КЛАССИЧЕСКОЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Классическое определение вероятности
Если пространство элементарных исходов 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 конечно и его исходы равновозможны, то вероятность события А Р(A) находится как отношение числа благоприятствующих этому событию исходов m к общему числу всех исходов эксперимента n, т.е.:
Р(A) =13EMBED Equation.DSMT41415.
Геометрическое определение вероятности
Геометрическая вероятность используется в случае, когда число равновозможных исходов бесконечно. Геометрической вероятностью, характеризующей вероятность появления случайной точки внутри некоторой области, называется отношение размера этой области к размеру всей области, в которой может появляться данная точка
13EMBED Equation.DSMT41415 , где
Рd - вероятность попадания случайной точки в область Sd;
S - общая область, где может появляться случайная точка.
Пример. Выпущено 100 лотерейных билетов, причем установлены призы, из которых 8 по 1 руб., 2- по 5 руб. и 1-10 руб. Найти вероятность того, что купленный билет выиграл: а) 5 рублей; б) не более 5 рублей.
Решение: а) Для определения искомой вероятности используем формулу классического определения вероятности Р(A)=13EMBED Equation.DSMT41415. Определим общее число исходов n. Оно равно числу выпущенных билетов-100. Определим благоприятное число исходов m. Оно равно числу лотерейных билетов с выигрышем в 5 рублей, т.е. 2. Тогда искомая вероятность равна : Р(А)=13EMBED Equation.DSMT41415=13EMBED Equation.DSMT41415=0,02.
б) Условие выигрыш “не более 5 рублей” означает, что купленный билет должен иметь либо выигрыш, равный 1 рублю (таких билетов 8), либо выигрыш, равный 5 рублям (таких билетов 2).В данном случае общее число исходов, как и в пункте а) равно 100, а число благоприятных исходов равно 10=8+2. Тогда искомая вероятность равна: Р(А)=13EMBED Equation.DSMT41415=13EMBED Equation.DSMT41415=0,1.
Пример. В цехе работают шесть мужчин и четыре женщины. По табельным номерам наудачу отобраны семь человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся три женщины.
Решение. Для решения указанной задачи воспользуемся классическим определением вероятности Р(A)= 13EMBED Equation.DSMT41415, где А - событие, состоящее в том , что отобраны по табельным номерам три женщины и четверо мужчин; m- число исходов, благоприятствующих появлению событию А; n- общее число исходов. Общее число возможных исходов испытания равно числу способов, которыми можно отобрать семь человек из десяти. Число способов определяется по выражению: 13EMBED Equation.DSMT41415.
Число исходов, благоприятствующих появлению события А, определяется числом способов, которым можно отобрать трех женщин из четырех, т.е. 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415 и четырех мужчин из шести, т.е. 13EMBED Equation.DSMT41415. Следовательно, число исходов, благоприятствующих появлению события А: m=13EMBED Equation.DSMT41415.
Искомая вероятность:
Р(A)= 13 EMBED Equation.3 1415=13EMBED Equation.DSMT41415=13EMBED Equation.DSMT41415=0,5.

Пример. В квадрат со сторонами равными а наудачу бросается точка. Определить вероятность того, что точка попадет внутрь вписанного в квадрат круга. Данная задача решается с использованием формулы геометрического определения вероятности. Мерой пространства элементарных событий 13EMBED Equation.DSMT41415 является площадь квадрата13EMBED Equation.DSMT41415. Площадь круга - мера события А. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Тогда искомая вероятность будет определяться по формуле 13EMBED Equation.DSMT41415.

ЗАДАЧИ

Лотерея состоит из 1000 билетов, среди них 150 выигрышных. Наугад вынимается 1 билет из 1000. Чему равна вероятность того, что этот билет выигрышный?
Студент знает ответы на 20 вопросов из 30. Какова вероятность того, что он вытащит на экзамене известный ему вопрос?
В студенческой группе 15 девушек и 10 юношей. Случайным образом (по жребию) выбирают одного. Найти вероятность того, что отобран будет юноша.
При броске игральной кости вычислить вероятности следующих событий:
а) выпало 2 очка;
б) выпало 5 очков;
в) выпало простое число очков;
г) число выпавших очков кратно трем;
д) выпало нечетное число очков.
Участники жеребьевки тянут из ящика жетоны с номерами от 1 до 10. Найти вероятность того, что номер первого наудачу извлеченного жетона:
а) не содержит цифру 5;
б) делится без остатка на число 10;
в) делится без остатка на число 7.
Найти вероятность того, что наудачу выбранное двузначное число делится:
а) на 8;
б) на 8 и на 3;
в) на 2 , 4 и 6.
В урне 6 белых и 4 черных шара. Какова вероятность того, что среди 5 шаров наудачу взятых из урны, будет:
а) 2 белых и 3 черных шаров;
б) 3 белых и 2 черных шаров;
в) 5 белых шаров.
В ящике 10 деталей, среди которых две нестандартны. Найти вероятность того, что в наудачу отобранных:
а) двух деталях одна нестандартна;
б) четырех деталях не более двух нестандартных;
в) шести деталях окажется не более одной нестандартной детали.
Библиотечка состоит из десяти различных книг. Причем пять книг стоят по 4 рубля каждая, три книги – по одному рублю и две книги – по 3 рубля. Найти вероятность того, что взятые наудачу:
а) две книги стоят 5 рублей;
б) три книги стоят 6 рублей;
в) одна книга стоит 4 рубля.
Какова вероятность того, что вынутые из колоды в 36 карт:
а) 2 карты окажутся тузами;
б) 4 карты окажутся тузами;
в) 3 карты окажутся разной масти;
г) 4 карты окажутся разных мастей;
д) 4 карты окажутся одной масти;
е) среди извлеченных 4 карт будет ровно одна дама и ровно один туз.
В замке на общей оси пять дисков. Каждый диск разделен на шесть секторов, на которых написаны различные буквы. Замок открывается только в том случае, если каждый диск занимает одно определенное положение относительно корпуса замка. Найти вероятность того, что при произвольной установке дисков замок можно будет открывать.
Из 33 букв русского алфавита составляется наугад 5 буквенное слово. Найти вероятность того, что:
а) последняя буква в слове – «а»;
б) последняя буква – гласная;
в) в слове ровно одна бука «а»;
г) в слове ровно одна гласная;
д) в слове ровно две буквы «а»;
е) в слове ровно две гласные.
Из 10 арабских цифр составляют наугад 4-хзначное число. Найти вероятность того, что:
последняя цифра «2»;
число делится на 5;
число составлено из разных цифр;
число составлено из нечетных цифр;
в числе ровно 1 нуль;
в числе ровно 3 цифры «3».
В мешочке имеется пять одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: О,П,Р,С,Т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных в одну линию кубиков можно прочесть слово “ спорт”.
Из слова “НАУГАД” выбирается одна буква случайным образом. Какова вероятность того, что это буква Я? Какова вероятность того, что это гласная?
Из карточек разрезной азбуки сложено слово «ОБОРОНОСПОСОБНОСТЬ». Карточки перемешиваются и раскладываются в ряд случайным образом. Какова вероятность того, что получится слово «НОООБСРПОСТЬСБОООН»
В лотерее 100 билетов, из них 40 выигрышных. Какова вероятность того, что когда сначала юноша, а потом девушка вытянут по одному билету, то окажется:
а) что юноша взял выигрышный билет, а девушка – нет;
б) что у девушки оказался выигрышный билет;
в) что у обоих билеты не выигрышные.
Студент пришел на экзамен, зная лишь 20 вопросов из 25. Какова вероятность того, что студент вытянет знакомый вопрос, если он тянет билет:
а) первым;
б) вторым;
в) третьим.
За круглым столом случайно рассаживаются 6 мужчин и 6 женщин. Какова вероятность того, что мужчины и женщины будут чередоваться друг с другом?
Восемь туристов выходят из автобуса и становятся в очередь в кафетерий случайным образом. Найти вероятность того, что два определенных человека А и В окажутся:
а) рядом;
б) отделены друг от друга одним лицом;
в) отделены друг от друга двумя лицами.
Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется:
а) внутри вписанного в круг квадрата;
б) за пределами вписанного в круг квадрата.
На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг , попадет:
а) в кольцо, образованное построенными окружностями;
б) в малый круг.
Внутрь круга радиуса R брошена точка. Найти вероятность, что точка окажется внутри вписанного в круг:
а) квадрата;
б) правильного треугольника.
Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < а. Найти вероятность того, что монета не пересеет ни одной прямой.
Плоскость разграфлена сетью квадратов прямых, отстоящих друг от друга на расстоянии 2а. На плоскость наудачу брошена монета радиуса r < а. Найти вероятность того, что монета не пересеет ни одной стороны квадрата.
На отрезок АВ длины L наудачу брошена точка С с координатой х. Найти вероятность того, что меньший из отрезков АС и ВС имеет длину большую, чем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
На отрезок ОА длины L числовой оси ОХ наудачу брошены две точки В(х) и С(у), причем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше длины отрезка ОВ.
На отрезок ОА длины L числовой оси ОХ наудачу брошены две точки В(х) и С(у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС меньше расстояния от точки О до ближайшей к ней точки.
На отрезок ОА длины L числовой оси ОХ наудачу брошены две точки В(х) и С(у). Найти вероятность того, что длина отрезка ВС окажется меньше, чем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

УСЛОВНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ
ТЕОРЕМЫ УМНОЖЕНИЯ И СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.
Условная вероятность
Условной вероятностью события А при условии В (обозначается 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ) называется вероятность, вычисленная при условии, что событие В уже произошло и, тем самым, изменило ход эксперимента. Формула для нахождения условной вероятности имеет вид:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
События называются зависимыми, если происхождение или непроисхождение одного из них изменяет вероятности другого.
События называются независимыми, если происхождение или непроисхождение одного из них не изменяет вероятности другого.
Для независимых событий А и В справедливы равенства:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Теорема умножения зависимых событий
Р(АВ)=Р(А)Р(B/А),
где Р(B/А) вероятность наступления события В при условии, что произошло событие А; А и В – зависимые события.
Следствие.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
где A1, A2,..., An – зависимые события.
Теорема умножения независимых событий
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
где А и В независимые события.
Следствие.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
где Ai, i=1,...,n – независимые в совокупности события.
Теорема сложения вероятностей совместных событий
13EMBED Equation.DSMT41415,
где А и В - совместные события.
Теорема сложения несовместных событий
Р(A+B)=Р(A)+Р(B),
где А, В - несовместные события.
Следствие 1. 13EMBED Equation.DSMT41415, где Аi, i=1, ..., n – попарно-несовместные события.
Следствие 2. Если A1 ,A2 13EMBED Equation.DSMT41415... , An полная группа событий, то
13EMBED Equation.DSMT41415.
Следствие 3. Если А и 13EMBED Equation.DSMT41415 противоположные события, то
Р(А)+Р(13EMBED Equation.DSMT41415)=1
Следствие (из теорем сложения и умножения). Вероятность появления хотя бы одного из событий 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, i =1 ,..., n , независимых в совокупности
Р(А)=1 – 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 .
Если Р(13 EMBED Equation.DSMT4 1415) =q , то Р(А)=1 – qn.

Пример. В читальном зале имеется 6 учебников по теории вероятностей , из которых три в переплете . Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что оба учебника окажутся в переплете.
Решение. Рассмотрим следующие события :
А1– первый взятый учебник в переплете ;
A2– второй взятый учебник в переплете .
Событие, состоящее в том, что оба взятых учебника в переплете 13EMBED Equation.DSMT41415. События А1 и А2 являются зависимыми, так как вероятность наступления события А2 зависит от наступления события А1 . Для решения указанной задачи воспользуемся теоремой умножения вероятностей зависимых событий:
13EMBED Equation.DSMT41415.
Вероятность наступления события А1 p(A1) в соответствии с классическим определением вероятности:
P(A1) = 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415 = 0,5.
Вероятность наступления события А2 определяется условной вероятностью наступления события А2 при условии наступления события А1, т.е.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13EMBED Equation.DSMT41415 =0,4 .
Тогда искомая вероятность наступления события:
P(A)=0,513EMBED Equation.DSMT414150,4=0,2 .

Пример. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первого стрелка – 0,9; второго стрелка – 0,8. Найти вероятность того, что:
а) в мишень попадет только один стрелок;
б) мишень будет поражена.
Решение:
а) Пусть событие А - в мишень попадет только один стрелок. Введем события: 13EMBED Equation.DSMT41415- в мишень попадет первый стрелок; 13EMBED Equation.DSMT41415- в мишень попадет второй стрелок. Согласно условию: 13EMBED Equation.DSMT41415;13EMBED Equation.DSMT41415.
Заметим, что событие А означает следующее: в мишень попадет только первый стрелок (то есть первый попадет и второй не попадет) или в мишень попадет только второй стрелок (то есть второй попадет и первый не попадет). Тогда 13EMBED Equation.DSMT41415. События 13EMBED Equation.DSMT41415 и 13EMBED Equation.DSMT41415 несовместны, так как имеют множители, являющиеся противоположными событиями. Значит, к ним применима теорема сложения вероятностей для несовместных событий. События 13EMBED Equation.DSMT41415 и 13EMBED Equation.DSMT41415 независимы, значит, наступление 13EMBED Equation.DSMT41415 не изменяет вероятности 13EMBED Equation.DSMT41415. Из этого следует, что и ненаступление 13EMBED Equation.DSMT41415 (то есть наступление 13EMBED Equation.DSMT41415) не меняет вероятности 13EMBED Equation.DSMT41415. Значит, независимы 13EMBED Equation.DSMT41415 и 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415 и 13EMBED Equation.DSMT41415, и к этим парам событий применима теорема умножения независимых событий. Учитывая, что 13EMBED Equation.DSMT41415, имеем:
13EMBED Equation.DSMT41415=
=0,9(1-0,8)+(1-0,9)0,8=0,913EMBED Equation.DSMT414150,2+0,113EMBED Equation.DSMT414150,8=0,18+0,08=0,26.
б) Пусть событие В - мишень будет поражена. Это произойдет, если в мишень попадет хотя бы один стрелок: или только первый, или только второй, или оба (и первый, и второй). Значит 13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415. Рассуждая аналогично пункту а), имеем:
13EMBED Equation.DSMT41415
Найти вероятность события В можно, используя теорему сложения совместных событий 13EMBED Equation.DSMT41415 и 13EMBED Equation.DSMT41415. Согласно определению суммы событий 13EMBED Equation.DSMT41415.
13EMBED Equation.DSMT41415=
= 0,9+0,8-0,913 EMBED Equation.DSMT4 14150,8 = 1,7- 0,72 = 0,98.
Найти вероятность события В можно, используя подход “от противного”. Событием, противоположным к В, является событие 13EMBED Equation.DSMT41415 - ни один стрелок не попадет в мишень. Тогда имеем:
13EMBED Equation.DSMT41415
ЗАДАЧИ
Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение часа первый станок не потребует внимания рабочего равна 0,3; второй - 0,4 ; третий - 0,7 ; четвертый - 0,4. Найти вероятность того, что ни один станок в течение часа не потребует внимания рабочего.
Для сообщения об аварии установлено два независимо работающих сигнализатора - автомата. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна 0,95; второй - 0,9. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал: а) хотя бы от одного сигнализатора; б) только от одного сигнализатора.
Заводом послана машина за различными материалами на четыре базы. Вероятность наличия материала на первой базе - 0,9; на второй - 0,95; на третьей и четвертой - 0,6. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.
В студии телевидения три телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0,6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.
Пусть вероятность того, что покупателю необходима обувь сорок первого размера, равна 0,2. Найти вероятность того, что пять первых покупателей потребуют обувь сорок первого размера.
В мешке смешаны нити, среди которые 30% белых, а остальные красные. Определить вероятность ого, что вынутые наудачу две нити будут: а) одного цвета; б) разных цветов.
Два орудия ведут стрельбу по танку. Вероятность попадания для первого орудия - 0,5; для второго - 0,4. Найти вероятность хотя бы одного попадания в танк, если из каждого орудия сделано по 3 выстрела.
Четыре охотника договорились стрелять в дичь в определенной последовательности. Следующий охотник производит выстрел лишь в случае промаха предыдущего. Вероятности попадания в цель каждым из охотников одинаковые и равны по 0,8. Найти вероятность того, что будет произведено: а) один; б) два; в) три; г) четыре выстрела.
Абонент забыл последнюю цифру номера телефона и поэтому набирает ее наудачу. Определить вероятность того, что ему придется звонить не более, чем в три места.
Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью большей 0,9 можно было ожидать, что «шестерка» появится хотя бы на одной кости?
Вероятность попадания в мишень 0,8. Сколько можно произвести выстрелов, что бы с вероятностью большей 0,5 можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?
Из группы туристов, отправляющихся за границу, 60 % владеют английским языком, 40 % - французским и 10 % - обоими языками. Найти вероятность того, что наугад взятый турист не будет знать ни одного языка.
В течение года две фирмы имеют возможность, независимо друг от друга, обанкротиться с вероятностями 0,06 и 0,09. Найти вероятность того, что в конце года обе фирмы будут функционировать.
Среди поступающих в ремонт часов 40 % нуждаются в общей чистке механизма. Какова вероятность того, что из 5 взятых наугад часов все нуждаются в чистке механизма?
Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с первого, пять со второго, семь с третьего и четыре с четвертого. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или с третьего склада?
В порт приходят корабли только из трех пунктов отправления. Вероятность появления корабля из первого пункта равна 0,2, из второго пункта – 0,6. Найти вероятность прибытия корабля из третьего пункта.
Вероятность правильного оформления счета на предприятии составляет 0,95. Во время аудиторской проверки были взяты два счета. Какова вероятность того, что только один из них оформлен правильно?
Вероятность правильного оформления накладной при передаче продукции равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех накладных только две оформлены правильно.
В городе находятся 15 продовольственных и 5 непродовольственных магазинов. Случайным образом для приватизации были отобраны три магазина. Найти вероятность того, что третий по счету магазин – непродовольственный.
На предприятие поступают заявки от нескольких торговых пунктов. Вероятности поступления заявок от пунктов А и В равны соответственно 0,5 и 0,4. Найти вероятность поступления заявок от пункта А или от пункта В, считая события поступления заявок от этих пунктов независимыми, но совместными.
Инвестор вложил капитал в ценные бумаги двух финансовых фирм. При этом он надеется получить доход в течение обусловленного времени от первой фирмы с вероятностью 0,9; от второй – с вероятностью 1. Однако есть возможность банкротства фирм независимо друг от друга, которая оценивается для первой фирмы вероятностью 0,1; для второй – 0,02. В случае банкротства фирмы инвестор получает только вложенный капитал. Какова вероятность того, что инвестор получит прибыль?


ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА
Формула полной вероятности
13EMBED Equation.DSMT41415,
где H1, H2 ,..., Hn - группа гипотез о происхождении события А. Они составляют полную группу несовместных событий.
Формула Байеса
13EMBED Equation.DSMT41415,
Формула используется для пересчета априорных вероятностей гипотез H1, H2,..., Hn при условии, что событие А уже произошло.
Пример. Имеется три урны с различным составом шаров в каждой. В первой - 5 белых и 5 черных, во второй - 3 белых и 3 черных, в третьей - 2 белых и 4 черных. Из случайно выбранной урны извлекается шар. Он оказался белым. Определить вероятность того, что он был вынут из третьей урны.
Решение:
Введем обозначения для рассматриваемых событий.
Пусть А - извлечен белый шар. 13EMBED Equation.DSMT41415- выбрана первая урна.
13EMBED Equation.DSMT41415- выбрана вторая урна. 13EMBED Equation.DSMT41415- выбрана третья урна.
13EMBED Equation.DSMT41415- вероятность извлечения белого шара из первой урны.
13EMBED Equation.DSMT41415- вероятность извлечения белого шара из второй урны.
13EMBED Equation.DSMT41415- вероятность извлечения белого шара из третьей урны.
Определим вероятности, соответствующие этим событиям . Так как все урны одинаковы, то
13EMBED Equation.DSMT41415.
13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415, 13EMBED Equation.DSMT41415.
Тогда, используя формулу полной вероятности, получим:
13 EMBED Equation.DSMT4 141513EMBED Equation.DSMT41415.
Пересчитаем вероятность третьей гипотезы с условием, что произошло рассматриваемое событие, используя формулу Байеса.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415=13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
ЗАДАЧИ
В урну, содержащую два шара, опущен белый шар. После чего из нее наудачу извлечен шар. Найти вероятность того, что извлеченным окажется белый, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
В ящик, содержащий три одинаковые (не различимые на ощупь) детали, брошена стандартная деталь, а затем наудачу извлечена одна деталь. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь, если равно вероятны все возможные предположения о числе стандартных деталей, первоначально находящихся в ящике.
В двух ящиках имеются радиолампы. В первом ящике содержится 12 ламп, из них 1 нестандартная, во втором - 10 ламп, из них тоже одна нестандартная. Из первого ящика наудачу взята лампа и переложена во второй. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная из второго ящика лампа будет нестандартной.
Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, переложили в урну с 4 белыми и 4 черными шарами 2 шара. После чего из второй урны вынули один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар оказался белым.
В первом ящике содержится 20 деталей, из них 15 стандартных; во втором - 30 деталей, из них 24 стандартных; в третьем - 10 деталей, из них 6 стандартных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика - стандартна.
Сборщик получил три коробки деталей, изготовленных заводом №1 и две коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна, равна 0,8 , а завода №2 - 0,9. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.
На строительство объекта поступают железобетонные плиты из 4 цементных заводов в количестве 50, 10, 40 и 30 штук соответственно. Каждый из заводов допускает при изготовлении плит брак (несоответствие ГОСТ), равный в процентном отношении соответственно 1, 5, 2 и 3. Какова вероятность того, что наугад взятая плита будет удовлетворять требованиям ГОСТ?
С первого станка на сборку поступает 40%, со второго - 30%, с третьего - 20%, с четвертого - 10% всех деталей. Среди деталей первого станка 0,1% бракованных, второго - 0,2%; третьего - 0,25%, четвертого - 0,5%. Найти вероятность того, что поступившая на сборку деталь бракованная.
В специализированную больницу поступает в среднем 50% больных с заболеванием К, 30% - с заболеванием L , 20% - с заболеванием М. Вероятность полного излечения болезни К равна 0,7; болезни L - 0,8; болезни М - 0,9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием К.
Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
В данный район изделия поставляются тремя фирмами в соотношении 5:8:7. Среди продукции первой фирмы стандартные изделия составляют 90 %, второй – 85 %, третьей – 75 %. Найти вероятность того, что: а) приобретенное изделие окажется нестандартным; б) приобретенное изделие оказалось стандартным. Какова вероятность того, что оно изготовлено третьей фирмой?
В вычислительной лаборатории имеется 6 клавишных автоматов и 4 полуавтомата. Вероятность того, что за время выполнения некоторого расчета автомат не выйдет из строя, равна 0,95. Для полуавтомата эта вероятность равна 0,8. Студент производит расчет на наудачу выбранной машине. Найти вероятность того, что до окончания расчета машина не выйдет из строя.
В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
Две перфораторщицы набили по одинаковому комплекту перфокарт. Вероятность того, что первая перфораторщица допустит ошибку, равна 0,05. Для второй перфораторщицы эта вероятность равна 0,1. При сверке перфокарт была обнаружена ошибка. Найти вероятность того, что ошиблась первая перфораторщица.
Из пяти стрелков двое попадают в цель с вероятностью 0,4 , а трое с вероятностью 0,5. Наудачу выбранный стрелок попал в цель. Что вероятнее, принадлежал ли он к двум первым или трем последним стрелкам.
Экономист считает, что вероятность роста стоимости акции компании в следующем году составит 0.75, если экономика страны будет на подъеме, и 0.30, если экономика не будет успешно развиваться. По мнению экспертов, вероятность экономического подъема равна 0,6. Оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в следующем году.
На предприятии установлена система аварийной сигнализации. Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал появляется с вероятностью 0,95. Однако сигнал может возникнуть и без аварийной ситуации с вероятностью 0,001. Реальная вероятность аварийной ситуации равна 0,005. Чему равна вероятность аварийной ситуации, если сигнализация сработала?
При хороших метеоусловиях вероятность благополучной посадки самолета равна 0,9999, при плохих – 0,9991. Для данного аэропорта в 80 % случаев погода считается летной. Найти вероятность благополучного приземления самолета.
Курс доллара повышается в течение квартала с вероятностью 0,9 и понижается с вероятностью 0,1. При повышении курса доллара фирма рассчитывает получить прибыль с вероятностью 0,85; при понижении – с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что фирма получит прибыль.
В магазине имеются телевизоры с импортными и отечественными трубками в соотношении 2:9. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока телевизора с импортной трубкой равна 0,005; с отечественной – 0,01. Найти вероятность того, что купленный в магазине телевизор выдержит гарантийный срок.
Вероятность изготовления изделия с браком на данном предприятии равна 0,04. Перед выпуском изделие подвергается упрощенной проверке, которая в случае бездефектного изделия пропускает его с вероятностью 0,96, а в случае изделия с дефектом – с вероятностью 0,05. Определить: а) какая часть изготовленных изделий выходит с предприятия? б) какова вероятность того, что изделие, выдержавшее упрощенную проверку, бракованное?
Имеются три урны с одинаковым составом шаров: 4 белых и 6 черных. Из первой урны наудачу берут шар и перекладывают во вторую. Затем из второй урны наудачу берут шар и перекладывают в третью. Затем из третьей урны наудачу извлекают шар. Найти вероятность того, что он белый.




ПОВТОРЕНИЕ ИСПЫТАНИЙ
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться (то есть появится событие13EMBED Equation.DSMT41415). При этом вероятность события А в каждом испытании одна и та же и равна р. Требуется вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз.
Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p, событие А наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности ) равна:
13EMBED Equation.DSMT41415, где q=1– p.
Формула Пуассона. В том случае, когда вероятность появления события p мала ( p < 0,1 ), а число независимых испытаний велико, для оценки вероятности появления события ровно k раз в n независимых испытаниях используется асимптотическая формула Пуассона:
13EMBED Equation.DSMT41415 , где 13EMBED Equation.DSMT41415.
Значения 13EMBED Equation.DSMT41415 при фиксированных k и 13EMBED Equation.DSMT41415 можно найти с помощью таблицы 1 приложения.
Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если число независимых испытаний велико, а вероятность появления события А в каждом из них постоянна и равна p (0 < p < 1), то вероятность того, что в n независимых испытаниях, событие наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n ):
13EMBED Equation.DSMT41415
где 13EMBED Equation.DSMT41415
Значения функции 13EMBED Equation.DSMT41415 можно найти с помощью таблицы 2 приложения. Данная формула, в отличие от формулы Бернулли, используется при больших n и k.
Интегральная теорема Лапласа. Если число независимых испытаний велико, а вероятность появления события А в каждом из них постоянна и равна p (0 < p < 1), то вероятность того, что в n независимых испытаниях событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна
Pn(k113 EMBED Equation.DSMT4 1415k2) ( Ф( x () – Ф( x(),
где 13EMBED Equation.DSMT41415 – функция Лапласа (смотри приложение, таблицу 3);
13EMBED Equation.DSMT41415
Замечание. Если функция Лапласа задана выражением:
Ф*(x)=13EMBED Equation.DSMT41415, то Ф*(x) = 0,5 + Ф(x).
Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р (013EMBED Equation.DSMT41415
Вероятность появления хотя бы одного события. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p, событие наступит хотя бы один раз, равна
Pn(k13 EMBED Equation.DSMT4 14151) = 1 – qn , где q = 1 – p.
Пример. Игральная кость брошена четыре раза. Найти вероятность того, что шестерка появится не более двух раз.
Решение:
Пусть событие В - шестерка появится не более двух раз. В является суммой несовместных событий
13EMBED Equation.31415– шестерка не появится ни разу;
13EMBED Equation.31415– шестерка появится ровно один раз;
13EMBED Equation.31415– шестерка появится ровн

2
,0о два раза.
Вероятность события можно найти по формуле Бернулли. Рассуждаем так.
Произведенное испытание – бросание игральной кости.
Событие А (успех) – выпадение шестерки. Событие 13EMBED Equation.31415 (неудача) – выпадение любого числа очков, кроме шести. По классическому определению вероятности имеем:
13EMBED Unknown1415.
Таких испытаний, согласно условию, производится четыре. Тогда вероятность того, что в 4-х независимых испытаниях будет 0 успехов, найдем так:
13EMBED Unknown1415.
Аналогично рассуждая, получим:
13EMBED Unknown1415,
13EMBED Unknown1415.
Используя теорему сложения несовместных событий, получим:
13EMBED Unknown1415=13EMBED Unknown1415.
Пример. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,04.
Решение. По условию задачи задано, что: n=625; p=0,8; (=0,04.
Отсюда q =1– p = 0,2. Требуется найти вероятность:
13EMBED Equation.31415?
Для решения указанной задачи воспользуемся формулой, определяющей оценку отклонения относительной частоты от постоянной вероятности, т.е.:
13EMBED Unknown1415
Ф(х) – интегральная функция Лапласа. Найдем аргумент функции Лапласа:
х = (13EMBED Unknown1415=0,0413EMBED Unknown1415=2,5
По таблице 3 приложения для функции Лапласа найдем, что Ф(2,5)=0,4983, т.е. 2Ф(х)=0,9876. Итак, искомая вероятность:
P13EMBED Unknown1415
ЗАДАЧИ
Монета бросается 5 раз. Какова вероятность того, что герб появится:
ровно 3 раза;
не более двух раз;
хотя бы один раз.
Что вероятнее: выиграть у равносильного противника 2 партии в шахматы из пяти или 3 из семи?
Машина экзаменатор содержит восемь вопросов, на каждый из которых предполагается 3 варианта ответов. Положительная оценка выставляется в том случае, когда экзаменующийся правильно отвечает не менее чем на 6 вопросов. Какова вероятность получить положительную оценку, выбирая ответы наудачу?
В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные красные. Определить вероятность того, что вынутые наудачу две нити будут: а) одного цвета; б) разных цветов.
Вероятность выживания бактерий после радиоактивного облучения равна 0.004. Найти вероятность того, что после облучения из 500 бактерий останется не менее 3 бактерий.
Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение одной минуты равна 0.004. Найти вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.
Коммутатор учреждения обслуживает 100 абонентов. Вероятность того, что в течение одной минуты абонент позвонит на коммутатор, равна 0.02. Какое из двух событий вероятнее: в течение одной минуты позвонит 3 абонента или 4 абонента?
Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0.01. Телефонная станция обслуживает 800 абонентов. Какова вероятность, что в течение часа позвонят не менее 5 абонентов?
На факультете учатся 500 студентов. Найти вероятность того, что первое сентября является днем рождения:
а) трех студентов; б) не менее трех студентов.
Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.2. Найти вероятность того, что событие наступит 20 раз в 100 испытаниях.
Монета бросается 100 раз. Вычислить вероятность того, что число появлений герба будет заключаться между 40 и 60 .
При вытачивании болтов наблюдается в среднем 10 % брака. Исследуется партия в 400 болтов. Какова вероятность того, что отклонение относительной частоты события “болт с дефектом” от вероятности этого события не превысит 0.05?
Бросают монету, требуется определить число опытов, достаточное для того, чтобы с вероятностью, большей 0.9, можно было ожидать, что относительная частота будет отличаться от вероятности выпадения ”герба”, не более, чем на 0.2 по абсолютной величине.
Монету бросают 1000 раз. В каком интервале с вероятностью 0.97 будет находиться частота выпадения «герба»?
К пульту охранной системы предприятия подключено 2000 датчиков, причем вероятность появления тревожного сигнала на каждом из них равна 0.0005. Определить вероятность тревоги (для чего достаточно хотя бы одного сигнала).
При передаче сообщения вероятность искажения одного знака равна 0.01. Определить вероятность того, что сообщение из 100 знаков содержит ровно три искажения.
Вероятность госпитализации пациента при эпидемии гриппа равна 0.002. Найти вероятность того, что из 2000 заболевших поликлиника направит на госпитализацию не более 5 пациентов.
В студии телевидения 3 телевизионные камеры. Для каждой камеры вероятность того, что она включена в данный момент, равна 0.6. Найти вероятность того, что в данный момент включена хотя бы одна камера.
Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.2. Произведено 900 испытаний. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклоняется от его вероятности не больше, чем на 0.04.
Всхожесть семян данного растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 4-х посеянных семян взойдут: а) три; б) не менее трех.
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбита, равна 0.003. Найти вероятность того, что магазин получил разбитых бутылок: а) ровно две; б) не менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.
В хлопке число длинных волокон составляет 80%. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу 5 волокон длинных окажется: а) три; б) не более двух.
Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет повреждено изделий: а) ровно три; б) менее трех; в) более трех; г) хотя бы одно.
Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления события в каждом испытании равна 0,25. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течение времени Т равна 0.002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.
Учебник издан тиражом 100 000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован неправильно, равна 0.0001. Найти вероятность того, что тираж содержит не менее пяти бракованных книг.
Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0.001. Найти вероятность попадания в цель двух и более пуль, если число выстрелов равно 5000.
В обществе из 500 человек найти вероятность того, что у двух человек день рождения придется на Новый год. Считать, что вероятность рождения в фиксированный день равна 1/365.
Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0.8. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0.95 можно было ожидать отклонения относительной частоты появления события от его вероятности не более чем на 0.02?
Чему равна вероятность того, что при бросании трех игральных костей 6 очков появится хотя бы на одной кости.
Отдел технического контроля проверяет партию из 100 деталей. Вероятность того, что деталь стандарта равна 0.75. Найти вероятность того, что стандартных деталей в партии окажется ровно 80.
Пусть вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0.2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров: а) не более одного потребуют ремонта; б) хотя бы один потребует ремонта.
Игральная кость подброшена 200 раз. Найти вероятность того, что цифра «6» выпала более 30 раз, но не более 40 раз.
Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изготовленная деталь окажется бракованной, равна 0.01. Найти вероятность того, что среди 200 деталей окажется ровно 4 бракованных.
Вероятность неточной сборки прибора равна 0.2. Найти вероятность того, что среди 500 приборов окажется от 410 до 430 (включительно) точных.
Игральную кость бросают 600 раз. В каких границах будет находиться число выпадений «6» с вероятностью 0.9876?
На факультете 20 % студентов выходцы из сельской местности. В каких пределах с вероятностью 0.9 находится число городских жителей среди студентов из группы в 28 человек?


ДИСКРЕТНЫЕ И НЕПРЕРЫВНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ.
ДВУМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Дискретными случайными величинами называются случайные величины, принимающие только отдаленные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить.
Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Рядом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.
Функцией распределения дискретной случайной величины называют функцию:
13EMBED Equation.DSMT41415,
определяющую для каждого значения аргумента x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее этого x.
Свойства функции распределения:
1. 13EMBED Equation.DSMT41415.
2. F(x) – неубывающая функция, т.е.
13EMBED Equation.DSMT41415, если 13EMBED Equation.DSMT41415.
3. Вероятность того, что случайная величина примет значение, заключенное в интервале [а, b):
13EMBED Equation.DSMT41415.
4. Если возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то
13EMBED Equation.DSMT41415
Биномиальный закон распределения
Биномиально распределенной с параметрами n и p дискретной случайной величиной Х называется величина, характеризующая число появлений события А в n независимых испытаниях Бернулли, в каждом из которых вероятность появления события А равна р. Вероятность того, что Х примет свое значение k задается формулой Бернулли, т.е.
13EMBED Equation.DSMT41415,
где q = 1 – p; k = 0, 1, ..., n.
Закон распределения Пуассона
Распределенной по закону Пуассона с параметром ( дискретной случайной величиной X называется случайная величина, значения которой – целые неотрицательные числа. Вероятность того, что Х примет свое значение k задается формулой Пуассона, т.е.:
13EMBED Equation.DSMT41415,
где ( - параметр распределения; k=0, 1, ..., n, ... .
Математическое ожидание дискретной случайной величины
13EMBED Equation.DSMT41415,
где 13EMBED Equation.DSMT41415 – значение дискретной случайной величины; 13EMBED Equation.DSMT41415 – вероятности принятия случайной величиной X значений 13EMBED Equation.DSMT41415.
Если случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то:
13EMBED Equation.DSMT41415.
Математическое ожидание биномиально распределенной с параметрами n и p случайной величины:
13EMBED Equation.DSMT41415,
где p - вероятность наступления события.
Дисперсия дискретной случайной величины:
13EMBED Equation.DSMT41415
или 13EMBED Equation.DSMT41415.
Дисперсия биномиально распределенной с параметрами n и p случайной величины:
13EMBED Equation.DSMT41415,
где p - вероятность наступления события.
Среднеквадратическое отклонение дискретной случайной величины:
13EMBED Equation.DSMT41415.
Свойства математического ожидания:
1. M(С) = C, где С – постоянная величина.
2. M(СX) = CM(X) , где С – постоянный множитель.
3. M(X+Y) = M(X) + M(Y).
4. M(XY) = M(X) ( M(Y), где X, Y – независимые случайные величины.
Свойства дисперсии:
1. D(C) = 0, где С – постоянная величина.
2. 13EMBED Equation.DSMT41415, где С – постоянный множитель.
3. D(X+Y) = D(X) + D(Y), где X, Y – независимые случайные величины.
4. D(C+X) = D(X), где С – постоянная величина.
5. D(XY) = D(X)D(Y) + 13EMBED Equation.DSMT41415, где X, Y независимые случайные величины.
Пример. В партии 10% нестандартных деталей. Наудачу отобраны 2 детали. Написать биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х - числа нестандартных деталей среди двух отобранных.
Решение. Дискретная случайная величина Х – число нестандартных деталей среди двух отобранных принимает следующие значения:
х1=0 – все детали стандартны из двух отобранных;
х2=1 – одна из двух отобранных деталей не стандартна;
х3=2 – обе отобранные детали нестандартны. Так как вероятность отбора нестандартной детали p = 0,1 постоянная, то для определения вероятностей в соответствии с биномиальным законом распределения воспользуемся формулой Бернулли:
Pn(k)=13EMBED Unknown1415 pk qn-k , где q = 1 – p = 0,9.
P2(0)= C13EMBED Unknown1415 (0,1)0 (0,9)2=0,81,
P2(1)=C13EMBED Unknown1415 0,1 0,9=0,18,
P2(2)=C13EMBED Unknown1415(0,1)2(0,9)0=0,01.
Проверяем условие нормировки 13EMBED Unknown1415=1.
Имеем, что 0,81+0,18+0,01=1.
Искомый биномиальный закон распределения дискретной случайной величины Х имеет вид:

х
0
1
2


p
0,81
0,18
0,01

По формуле:
13EMBED Unknown1415.
Тот же результат можно было получить, используя формулу
13EMBED Unknown1415 для нахождения математического ожидания биномиально распределенной дискретной случайной величины X.
n = 2 – число испытаний;
p = 0,1 – вероятность успеха в каждом испытании;
M(X) = 2 ( 0,1 = 0,2.
Дисперсию найдем по формуле:
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415.
По формуле для дисперсии биномиального закона:
13EMBED Unknown1415.
Пример. Дискретные случайные величины X и Y независимы и заданы распределениями:
X
0
1


Y
1
2

p
0,4
0,6


p
0,2
0,8

Найти распределение случайной величины Z = X + Y.
Решение. Найти закон распределения дискретной случайной величины, значит перечислить все ее возможные значения и рассчитать вероятности, с которыми она эти значения принимает. Значения случайной величины Z получаются путем сложения всех возможных попарных комбинаций значений случайных величин Х и Y.
0 + 1 = 1 0 + 2 = 2 1 + 1 = 2 1 + 2 = 3.
Таким образом, Z принимает три возможных значения: 1, 2 и 3. Найдем вероятности принятия величиной Z этих значений.
Так как Z принимает свое значение 1, тогда и только тогда, когда Х принимает значение 0, а Y – значение 1, то случайное событие «Z = 1» является произведением независимых (из-за независимости Х и Y по условию) случайных событий «Х = 0» и «Y = 1». Используя теорему умножения вероятностей независимых событий имеем:
P(Z=1)=P{(X=0)(Y=1)}=P(X=0)P(Y=1)=0,413EMBED Unknown14150,2=0,08=13EMBED Unknown1415.
Так как Z принимает свое значение 2 либо когда X=0, а Y=2, либо когда X=1, а Y=1, причем одновременно это происходить не может, то событие «Z=2» – является суммой несовместных событий (X=0)(Y=2) и (X=1)(Y=1), и его вероятность можно найти с помощью теоремы сложения вероятностей несовместных событий:
P(Z=2)=P{(X=0)(Y=2)+(X=1)(Y=1)}=P{(X=0)(Y=2)}+P{(X=1)(Y=1)}=
=P(X=0)P(Y=2)+P(X=1)P(Y=1)=0,413EMBED Unknown14150,8+0,613EMBED Unknown14150,2=0,32+0,12=0,44=13EMBED Unknown1415 .
Рассуждая аналогично, найдем:
P(Z=3)=P{(X=1)(Y=2)}=P(X=1)P(Y=2)=0,613EMBED Unknown14150,8=0,48=13EMBED Unknown1415.
Проверим выполнение условия нормировки: 13EMBED Unknown1415=0,08+0,44+0,48=1.
Таким образом, искомый ряд распределения имеет вид:
Z
0
1
2

p
0,08
0,44
0,48


Непрерывными случайными величинами называются случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток.
Функцией распределения непрерывной случайной величины называют функцию F(x), определяемую также как и функция распределения дискретной случайной величины, т.е.
F(x) = P(X < x).
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется первая производная от функции распределения, т.е.:
13 EMBED Equation.3 1415,
при этом функция F(x) непрерывно дифференцируемая функция для непрерывных случайных величин.
Свойства плотности распределения:
1. Плотность распределения неотрицательная функция, т.е.
13EMBED Equation.DSMT41415.
2. Условие нормировки: 13EMBED Equation.DSMT41415.
3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в заданный интервал (а, b) определяется формулой:
13EMBED Equation.DSMT41415.
4. Через известную плотность распределения непрерывной случайной величины можно найти ее функцию распределения по формуле:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины:
13EMBED Equation.DSMT41415.
Дисперсия непрерывной случайной величины:
13EMBED Equation.DSMT41415
или
13EMBED Equation.DSMT41415.
Примечание. Свойства математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины совпадают со свойствами этих характеристик для дискретных случайных величин.
Пример. Случайная величина X задана плотностью распределения:
13EMBED Unknown1415
Найти:
1.Коэффициент А, при котором f(x) будет плотностью распределения.
2. Функцию распределения F(x).
3. Вероятность того, что в результате испытания X примет значение
а) меньше 0,2; б) меньше 3.
4. Найти математическое ожидание.
5. Найти дисперсию.
Решение:
1. 13EMBED Unknown1415
Так как по условию нормировки 13EMBED Unknown1415, вычислим А из этого соотношения:
13EMBED Unknown141513EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415.
Откуда 13EMBED Unknown1415.
2. Функция распределения непрерывной случайной величины X при известной плотности распределения f(x) определяется из формулы:
13EMBED Unknown1415.
Данная подынтегральная функция принимает три различных вида на промежутке от - ( до (.
Рассмотрим отдельно каждую ситуацию:
а) при 13EMBED Unknown1415:
13EMBED Unknown1415;
б) при 13EMBED Unknown1415:
13EMBED Equation.21415;
в) при 13EMBED Unknown1415:
13EMBED Equation.21415
13EMBED Unknown1415.
Таким образом:
13EMBED Unknown1415
3. По определению:
13EMBED Unknown1415, тогда
13EMBED Unknown1415.
13EMBED Unknown1415.
4. Математическое ожидание непрерывной случайной величины X ищем по формуле:
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415.
5. Дисперсию X ищем по формуле:
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415.

Система двух случайных величин
Системой двух случайных величин (Х,Y) называется случайная величина, возможные значения которой определяются двумя числами.
Законом распределения системы двух случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы двух случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.
Таблицей распределения системы двух дискретных случайных величин (Х,Y) называется перечень ее возможных значений, т.е. пар чисел 13EMBED Equation.DSMT41415 и их вероятностей 13EMBED Equation.DSMT41415, где 13EMBED Equation.DSMT41415. В общем виде таблица распределения приведена в табл. 1.
Таблица 1.
X
Y

13E
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·DSMT41415

13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415
13EMBED Equation.DSMT41415


Функцией распределения двух случайных величин (X,Y) называется функция двух аргументов F(x,y) равная вероятности совместного выполнения двух неравенств ХF(x,y) = P{XСвойства функции распределения:
1. Функция распределения F(x,y) есть неубывающая функция по каждому ее аргументу, т.е.:
13EMBED Equation.DSMT41415, если 13EMBED Equation.DSMT41415,
13EMBED Equation.DSMT41415, если 13EMBED Equation.DSMT41415.
2. 13EMBED Equation.DSMT41415,
13EMBED Equation.DSMT41415.
3. 13EMBED Equation.DSMT41415.
4. 13EMBED Equation.DSMT41415.
5. Вероятность попадания системы двух случайных величин (Х,Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, то есть
13EMBED Equation.DSMT4141513EMBED Equation.DSMT41415.
Составляющие X и Y системы двух случайных величин (X,Y) называются независимыми, если их совместная функция распределения представляется произведением функций распределения составляющих:
13EMBED Equation.DSMT41415
Плотность распределения f(x,y) системы двух непрерывных случайных величин (Х,Y) называют вторую смешанную частную производную от функции распределения F(x,y), т.е.
13EMBED Equation.DSMT41415.
Отсюда
13EMBED Equation.DSMT41415.
Свойства плотности распределения:
1. 13EMBED Unknown1415.
2. 13EMBED Unknown1415.
3. Вероятность попадания системы двух непрерывных случайных величин (Х,Y) в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, т.е.
13EMBED Unknown1415.
Из совместной плотности распределения f(x,y) можно найти плотности распределения составляющих:
13EMBED Unknown1415
Математические ожидания составляющих 13 EMBED Equation.2 1415 для системы двух непрерывных случайных величин
13 EMBED Equation.2 1415 ,
13 EMBED Equation.2 1415
Дисперсии составляющих 13 EMBED Equation.2 1415 системы двух непрерывных случайных величин
13 EMBED Equation.2 1415 ,
13 EMBED Equation.2 1415 .
Математические ожидания составляющих 13 EMBED Equation.2 141513EMBED Unknown1415для системы двух дискретных случайных величин (Х,Y):
13 EMBED Equation.2 1415; 13 EMBED Equation.2 1415
где
13 EMBED Equation.2 1415; 13 EMBED Equation.2 1415.
Дисперсии составляющих 13 EMBED Equation.2 1415 системы двух дискретных случайных величин
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
Среднеквадратические отклонения составляющих находятся по формулам:
13 EMBED Equation.2 1415; 13 EMBED Equation.2 1415
Корреляционным моментом 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 системы двух случайных величин (Х,Y) называется математическое ожидание произведения центрированных случайных величин Х и Y, то есть:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Для системы двух непрерывных случайных величин (Х,Y)
13EMBED Equation.2141513EMBED Equation.21415,
а для системы двух дискретных случайных величин (Х,Y)
13EMBED Equation.21415.

Коэффициентом корреляции 13EMBED Equation.21415 системы двух случайных величин (Х,Y) называется отношение корреляционного момента 13EMBED Equation.21415 к произведению средне-квадратических отклонений составляющих 13EMBED Equation.21415 и 13EMBED Equation.21415, то есть: 13EMBED Equation.21415
Свойства 13EMBED Equation.21415 и 13EMBED Equation.21415
1. Для системы двух независимых случайных величин (Х,Y)
13EMBED Equation.21415=13EMBED Equation.21415=0.
2. Абсолютная величина 13EMBED Equation.21415 не превышает среднего геометрического их дисперсий, то есть
13 EMBED Equation.2 1415.
3. Абсолютная величина коэффициента корреляции 13EMBED Equation.21415 не превышает единицы, то есть 13 EMBED Equation.2 1415.

Пример. Задана плотность вероятности совместного распределения системы двух случайных величин:
13 EMBED Equation.2 1415
Найти:
1. Коэффициент а.
2. F(x,y).
3. 13 EMBED Equation.2 1415.
4. 13 EMBED Equation.2 1415.
Решение.
1. Согласно условию нормировки
13 EMBED Equation.2 1415.
Так как f(x,y) не равно нулю лишь в первом квадранте координатной плоскости, то пределы интегрирования сужаются, и условие нормировки приобретает вид:
13 EMBED Equation.2 1415.
Учитывая, что 13 EMBED Equation.2 1415, рассчитаем отдельно каждый интеграл, входящий в указанное произведение.
13 EMBED Equation.2 1415.
Аналогично
13 EMBED Equation.2 1415.
Откуда 13 EMBED Equation.2 1415.
2. Согласно формуле 13 EMBED Equation.2 1415.
Рассмотрим поведение F(x,y) в каждом квадранте плоскости. Так как подынтегральная функция f(x,y) не равна нулю лишь при 13 EMBED Equation.2 1415, то F(x,y) тоже не равна нулю только при этих условиях.
При 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
3. Для нахождения 13 EMBED Equation.2 1415 необходимо знать плотности распределения составляющих.
13 EMBED Equation.2 1415
Аналогично находится 13 EMBED Equation.2 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.2 1415 найдется по формуле:
13 EMBED Equation.2 1415.
Получившийся интеграл легко решается по частям:
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.2 1415. Аналогично находится 13 EMBED Equation.2 1415.
Найдем дисперсию 13 EMBED Equation.2 1415, используя формулу:
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415.
Интеграл 13 EMBED Equation.2 1415, разрешенный с помощью правила интегрирования по частям (примененного дважды) даст следующий результат:
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415.
Откуда
13 EMBED Equation.2 1415.
4. Для расчета корреляционного момента используем формулу:
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415.
Откуда, очевидно, равен нулю и коэффициент корреляции:
13 EMBED Equation.2 1415.
Заметим, что так, как данные случайные величины X и Y независимы, то имеет место равенство:
13 EMBED Equation.2 1415 ,
то во всех двойных интегралах использовалась возможность разбиения их на произведение интегралов по каждой переменной в отдельности.
Пример. Дана система дискретных случайных величин (X,Y), заданная своей таблицей распределения.
X
Y

-1

0

1

1
0,15
0,3
0,35

2
0,05
0,05
0,1

Найти:
1. Таблицы распределения составляющих.
2. 13 EMBED Equation.2 1415.
3. 13 EMBED Equation.2 1415.
4. 13 EMBED Equation.2 1415.
Решение.
1. Найти таблицу распределения одномерной случайной величины (составляющей), значит перечислить все ее возможные значения и указать вероятности, с которыми эти значения принимаются.
Так случайная величина Х принимает значения 13 EMBED Equation.2 1415. Так как событие Х= –1 происходит только совместно с событием13 EMBED Equation.2 1415 или с событием 13 EMBED Equation.2 1415, которые, в свою очередь, являются несовместными, то
13 EMBED Equation.2 1415=
13 EMBED Equation.2 1415.
Аналогично
13 EMBED Equation.2 1415=
13 EMBED Equation.2 1415.
13 EMBED Equation.2 1415=
13 EMBED Equation.2 1415.
Тогда таблица распределения Х имеет вид:
Х
-1
0
1

p
0,2
0,35
0,45

Проверим условие нормировки:
13 EMBED Equation.2 1415.
Рассуждая аналогично, получим закон распределения составляющей Y.
Y
1
2

p
0,8
0,2

13 EMBED Equation.2 141513 EMBED Equation.2 1415.
2. Чтобы найти математические ожидания составляющих, воспользуемся формулами:
13 EMBED Equation.2 1415 ;
13 EMBED Equation.2 1415 .
3. Чтобы найти дисперсии составляющих, воспользуемся формулами:
13 EMBED Equation.2 1415
Откуда 13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
Откуда 13 EMBED Equation.2 1415
4. Для нахождения корреляционного момента 13 EMBED Equation.2 1415 и коэффициента корреляции 13 EMBED Equation.2 1415 воспользуемся формулой:
13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415
Аналогично примеру 1, коэффициент корреляции 13 EMBED Equation.2 1415 так же оказывается равным нулю.
ЗАДАЧИ
В магазине имеются 10 телевизоров, из которых 4 дефектные. Пусть Х – случайная величина – число исправных телевизоров среди трех выбранных. Найти закон распределения X, M(X) и D(X).
В магазин поступила обувь с двух фабрик в соотношении 2:3. Куплено 4 пары обуви. Случайная величина Х – число пар обуви, изготовленных первой фабрикой среди купленных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой величины.
В экзаменационном билете 3 задачи. Вероятность правильного решения студентом первой задачи равна 0,8, второй – 0,6 и третьей – 0,4. Найти математическое ожидание и дисперсию числа правильно решенных задач.
Для рекламы фирма вкладывает в каждую 10-ю единицу продукции приз в 1000 руб. Пусть Х – случайная величина – размер выигрыша при 3 сделанных покупках. Изобразить график функции распределения Х и М(Х).
Вероятность выигрыша по облигации равна 0,05. Пусть Х – случайная величина, число выигрышных облигаций из 5. Найти М(Х) и D(X).
Случайная величина Х принимает значения 13 EMBED Equation.DSMT4 1415и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 с вероятностями 0,2 и 0,8 соответственно. Известны ее математическое ожидание М(Х) = 1,3 и дисперсия D(X) = 0,16. Найти значения случайной величины.
Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятностью 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этой случайной величины.
Найти закон распределения числа пакетов акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из трех пакетов равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.
Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4. Составить закон распределения числа телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен поступающий сдает только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа экзаменов, сдававшихся поступающим в институт. Найти математическое ожидание этой случайной величины.
Даны законы распределения случайных величин Х и Y – прибыли двух филиалов фирмы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0
100
200
300

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,1
0,5
0,3
0,1


13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0
50
100

13 EMBED Equation.DSMT4 1415
0,3
0,5
0,2

Составить закон распределения суммарной прибыли Z = X + Y.
Плотность распределения непрерывной случайной величины задана с точностью до неизвестной константы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Найти: неизвестную константу А, функцию распределения случайной величины Х, ее математическое ожидание и дисперсию. Построить графики дифференциального и интегрального законов распределения.
Функция распределения случайной величины Х:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Найти M(X) и D(X).
Плотность случайной величины 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и p(x) = 0 при 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Найти M(X) и D(X).
Показать, что функция
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
является функцией распределения некоторой случайной величины Х. Найти вероятность p = P(X >1) и M(X).
Случайная величина распределена равномерно на некотором промежутке. Найти концы этого промежутка, если ее математическое ожидание равно 5, а дисперсия равна 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
р 
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Ю
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·

Приложенные файлы

  • doc 15799222
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий