16.Перпендикулярність прямої і площини. Перпенд..

Root EntryПлан-конспект уроку
з геометрії
для груп Р-11, Е-11, М-11, Д-11, С-11, В-11
Тема: Перпендикулярність прямої і площини. Перпендикуляр і похила. Розв’язування задач.
Мета: формувати навички застосування вивчених теорем, розвивати навички самостійної розумової діяльності, культури математичного мислення.
Обладнання. Стереометричний ящик, картки.

ХІД УРОКУ
І. Організаційний момент.
II. Актуалізація опорних знань.
Сформулювати теорему про властивість площини, перпендикулярної до однієї з двох паралельних прямих.
III. Розв'язування задач.
Задача (колективне розв'язування біля дошки з коментуванням). У
· АВС кут А дорівнює 45°, ВС = 12 см. Точка М, віддалена від площини трикутника на 6 см, знаходиться на однаковій відстані від усіх вершин трикутника. Знайти довжини МА, МВ і МС.
Дано:
·АВС, 13 EMBED Equation.3 1415А = 45°, ВС = 12 см,
МО 13 EMBED Equation.3 1415 АВС, МО = 6 см, МА = МВ = МС.
Знайти: МА, МВ, МС.
Розв'язання
Якщо МА = МВ = МС, то О – центр кола, описаного навколо
·АВС, ОВ – радіус описаного кола.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415(см).


R = 613 EMBED Equation.3 1415 см.
Якщо МО 13 EMBED Equation.3 1415 (АВС), то MO 13 EMBED Equation.3 1415 ОВ. З
· МОВ (13 EMBED Equation.3 1415 МОВ = 90°) знайдемо МВ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 Відповідь. МА = МВ = МС = 13 EMBED Equation.3 1415см.
Задача 13
Дано: АВСD – квадрат, ВМ 13 EMBED Equation.3 1415 (АВС).
Довести: АD 13 EMBED Equation.3 1415 (АВМ); СD 13 EMBED Equation.3 1415(ВСМ).
Доведення
1) ВС 13 EMBED Equation.3 1415 ВМ і ВС 13 EMBED Equation.3 1415 ВА.
Отже, ВС 13 EMBED Equation.3 1415 (АВМ) .
АD || ВС, тому за теоремою 3.3 АD 13 EMBED Equation.3 1415 (АВМ).


2) АВ 13 EMBED Equation.3 1415 ВМ і АВ 13 EMBED Equation.3 1415 ВС.
Отже, АВ 13 EMBED Equation.3 1415 (ВСМ).
СD || АВ, тому СD 13 EMBED Equation.3 1415 (BСM).

Задача 1. Побудувати переріз куба площиною, що проходить через середину його ребра а і перпендикулярна до цього ребра. Знайти площу перерізу.
Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, АВ = а, М 13 EMBED Equation.3 1415 С1D1,
МС1 = МD1.
Побудувати:
· 13 EMBED Equation.3 1415С1D1.
Знайти: площу перерізу.
Розв'язання
У грані DD1C1С проведемо МN 13 EMBED Equation.3 1415 D1С1, у грані A1B1C1D1 проведемо МК 13 EMBED Equation.3 1415С1D1. Через прямі МN і МК проходить площина
· 13 EMBED Equation.3 1415 СD, перерізом є квадрат МЕРК.


Знайдемо його площу: S = МN2 = а2.
Відповідь. S = а2.
Задача 2. Побудувати переріз правильного тетраедра АВСD площиною, що перпендикулярна до ребра АВ і проходить через його середину. Знайти площу перерізу, якщо АВ = 12 см.
Дано: АВСD – тетраедр, АВ = 12 см, МА = МВ.
Побудувати: а 13 EMBED Equation.3 1415 АВ. Знайти: площу перерізу.
Розв'язання
У площині
· АВС через точку М проведемо СМ 13 EMBED Equation.3 1415 АВ. У площині
· АВD через точку М проведемо DМ 13 EMBED Equation.3 1415 АВ.

· DМС є шуканим перерізом тетраедра АВСD .

· АВС =
· АBD, тому СМ = DМ. Довжина відрізка СМ дорівнює АС
·13 EMBED Equation.3 1415см; СМ = 613 EMBED Equation.3 1415 см.
Знайдемо площу
· DМС за формулою Герона: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 (см).
13 EMBED Equation.3 1415 (см2).
Відповідь. 13 EMBED Equation.3 1415см2.

Задача 3. АВСDАІВ1С1D1 – куб. Довести, що пряма АС перпендикулярна до площини, яка проходить через точки В, В1, і D.
Дано: АВСDА1В1С1D1 – куб.
Довести: АС 13 EMBED Equation.3 1415 (BB1D1).

Задача № 27 (§ 3 підручника).
Дано:
·АВС, 13 EMBED Equation.3 1415АСВ = 90°, АВ ||
·, АА1 13 EMBED Equation.3 1415
·, ВВ1 13 EMBED Equation.3 1415
·, АА1 = ВВ1 = 1 м,
А1С = 3 м, СВ1 = 5 м.
Знайти: АВ.
Розв'язання
АA1 13 EMBED Equation.3 1415
·, тоді АA1 13 EMBED Equation.3 1415 СА1 і 13 EMBED Equation.3 1415АА1С = 90°.
З
· АА1С знайдемо AС: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (м).
BB1 13 EMBED Equation.3 1415
·, тоді ВB1 13 EMBED Equation.3 1415 СB1, 13 EMBED Equation.3 1415BB1С = 90°.
BB1С знайдемо BC: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (м).
З
·АВС знайдемо АB: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (м).
Відповідь. АВ = 6 м.

Задача № 28 (§ 3 підручника).
Дано: АВСD – ромб, BC ||
·, BВ1 13 EMBED Equation.3 1415
·, СС1 13 EMBED Equation.3 1415
·,
ВВ1 = СС1 = 4 м, В1D = 2 м, AС1 = 8 м.
Знайти: АВ1 = DС1, B1C1.
Розв'язання
З
·BB1D (13 EMBED Equation.3 1415BB1D = 90°) знайдемо BD:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (м).
З
·AСС1 (13 EMBED Equation.3 1415AС1C = 90°) знайдемо АС:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415(м).
У ромбі АВСD: АС2 + BD2 = 4АВ2, (13 EMBED Equation.3 1415)2 + (13 EMBED Equation.3 1415)2 = 4АB2, 4АB2 = 100, АВ2 = 25 , AB = 5 м.
З
· DC1C знайдемо DС1: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 (м).
Відповідь. АВ1 = DС1 = 3 м, B1C1 = 5 м.

Задача № 30 (§ 3 підручника).
Дано:
· ||
·, ХХ1 13 EMBED Equation.3 1415
·, YY1 13 EMBED Equation.3 1415
·.
Довести: ХХ1 = YY1.
Доведення
Нехай X і Y дві довільні точки площини
·. Їх відстані до площини
· – це XX1 і YY1 , де ХХ1 13 EMBED Equation.3 1415
· і YY1 13 EMBED Equation.3 1415
·.
ХХ1 || YY1 (за теоремою 3.4).
(ХХ1Y) 13 EMBED Equation.3 1415
· = ХY, (ХХ1Y) 13 EMBED Equation.3 1415
· = Х1Y1. ХY || X1Y1.
Отже, XYY1X1 – паралелограм і ХХ1 = YY1.

Задача № 43 (§ 3 підручника).
Дано: АD 13 EMBED Equation.3 1415
·, АB і AC – похилі,
АВ = АС = 2 м, 13 EMBED Equation.3 1415ВАС = 60°, ВD 13 EMBED Equation.3 1415 DС.
Знайти: АD.
Розв'язання

· ВАС – рівнобедрений, оскільки АВ = АС, тоді 13 EMBED Equation.3 1415ABC = 13 EMBED Equation.3 1415ACB = (180° – 60°) : 2 = 60°.
Отже, АВ = АС = BС = 2 м. Якщо похилі рівні, то їх проекції також рівні: DВ = DС, тому прямокутний трикутник ВDС – рівнобедрений.
З
· ВDС знайдемо BD = DС: ВС2 = 2ВD2, ВD2 = 2, ВD = DС = 13 EMBED Equation.3 1415 (м).
АD 13 EMBED Equation.3 1415
·, тому АD 13 EMBED Equation.3 1415 DВ, АD 13 EMBED Equation.3 1415 DC.
З
·ADB знайдемо АD: 13 EMBED Equation.3 1415(м).
Відповідь. АD = 13 EMBED Equation.3 1415 м.

IV. Самостійна робота.
1-й варіант
Пряма АВ утворює з площиною
· кут 60°. Знайти довжину проекції похилої АВ на площину
·, якщо АВ = 48 см.
Сторона квадрата АВСD дорівнює 6 см, точка М знаходиться на відстані 6 см від кожної з його вершин. Знайти кут між прямою МА і площиною квадрата.
До площини квадрата АВСD проведено перпендикуляр DМ довжиною 12 см. Сторона квадрата 5 см. Знайти довжини похилих МА, МВ, МС.

2-й варіант
Довжина похилої АВ дорівнює 50 см, точка А віддалена від площини на 25 см. Знайти кут між похилою і площиною.
Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 3a, точка М віддалена від кожної з його вершин на 2а. Під якими кутами нахилені прямі МА, МВ, МС до площини цього трикутника?
Точка М віддалена від кожної вершини квадранта на 13 дм. Знайти відстань від точки M до площини квадрата, якщо його сторона дорівнює 613 EMBED Equation.3 1415дм.
3-й варіант
Довжини перпендикуляра і проекції похилої дорівнюють по 15 см. Знайти кут між похилою і площиною.
Точка М знаходиться на відстані 10 см від вершини рівностороннього трикутника зі стороною 613 EMBED Equation.3 1415 см. Знайти відстань від точки М до площини трикутника.
Через точку О перетину діагоналей квадрата зі стороною 4 см проведено перпендикуляр ОМ = 213 EMBED Equation.3 1415 см до площини квадрата. Знайти відстань від точки M до вершин квадрата.

V. Домашнє завдання.
Розв'язати задачу: відрізок АМ перпендикулярний до площини рівнобедреного трикутника АВС. Знайти периметр і площу трикутника МВС, якщо АВ = 3 см, АМ = 4 см.








13PAGE \* MERGEFORMAT14115




Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 15749271
    Размер файла: 205 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий