31.Логарифмічна функція. Логарифмічні рівняння…


План-конспект уроку
з алгебри та початків аналізу
для групи С-21
Тема уроку: Логарифмічна функція, її графік і властивості. Логарифмічні рівняння.
Мета уроку: Ознайомити учнів з логарифмічною функцією, її властивостями і графіком. Формування умінь учнів розв'язувати логарифмічні рівняння.
І. Перевірка домашнього завдання.
1. Самостійна робота.
Варіант 1
1. Побудувати графік функції та знайти точку перетину цього графіка з віссю ординат.
2. Розв’язати рівняння:1) ; 2) .
3. Розв’язати нерівність: 1) ; 2) .
Варіант 2
1. Побудувати графік функції та знайти точку перетину цього графіка з віссю ординат.
2. Розв’язати рівняння:1) ; 2) .
3. Розв’язати нерівність: 1) ; 2) .
II. Засвоєння властивостей логарифмічної функції та її графіка.
!
Функція виду у = loga x, де а — задане число, а > 0, а ≠ 1 називається логарифмічною функцією.
Логарифмічна функція має такі властивості:
Область визначення функції — множина всіх додатних чисел. Ця властивість випливає із означення логарифма, оскільки вираз loga х має смисл тільки при х > 0.
Область значень логарифмічної функції — множина R усіх дійсних чисел. Ця властивість випливає з того, що для будь-якого дійсного числа b є таке додатне число х, що loga x = b, тобто рівняння loga x = b має єдиний корінь. Такий корінь існує і дорівнює х = аb, оскільки loga аb = b.
Логарифмічна функція на всій області визначення зростає (при а > 1) або спадає (при 0 < а < 1).
Якщо а > 1, то функція у = loga x приймає додатні значення при х > 1, від'ємні — при 0 < х < 1. Якщо 0 < а < 1, то функція у = loga x приймає додатні значення при 0 < х < 1, від'ємні — при х > 1.
Рис. 163
Ця властивість випливає з того, що функція у = loga x приймає значення, рівне нулю, при х = 1 і є зростаючою на проміжку х > 0, якщо а > 1, і спадною, якщо 0 < а < 1. Спираючись на доведені властивості, неважко побудувати графік функції у = loga x (рис. 163).
Графіки показникової функції і логарифмічної функції, які мають однакові основи, симетричні відносно прямої у = х (рис. 164), бо функції у = 0х і у = loga x є взаємнооберненими.
Рис. 164
Логарифмічна функція
1. D(y) = ....
2. Е(у) = .... a > 1
3. Якщо х1 < x2 то
…………………..
4. loga x > 0, якщо .....
loga х = 0, якщо .....
loga x < 0, якщо ..... 0 < а < 1
3. Якщо х1 < x2 то
…………………..
4. loga x > 0, якщо .....
loga х = 0, якщо .....
loga x < 0, якщо .....
Засвоєння поняття найпростіших логарифмічних рівнянь та методів їх розв'язування.
!
Логарифмічними рівняннями називають рівняння, які містять змінну під знаком логарифма.
Приклади логарифмічних рівнянь:
lg х = 1 + lg2x, log3(x + 3) = 9, = і т. д.
Розв'язати логарифмічне рівняння — це означає знайти всі його корені або довести, що рівняння коренів не має.
Найпростіше логарифмічне рівняння має вигляд logа х = b, де а > 0, а ≠ 1, х > 0. За означенням логарифма випливає, що х = аb.
Інший вигляд найпростішого логарифмічного рівняння такий: loga x = loga b, де а > 0, а ≠ 1, х > 0, b > 0.
Із цього рівняння випливає, що х = b.
Найпростішим логарифмічним рівнянням є рівняння logx a = b, де х > 0, х ≠ 1, а > 0.
За означенням логарифма маємо: хb = а, звідси х = .
В основному, всі логарифмічні рівняння, які ми будемо розв'язувати, зводяться до розв'язування найпростіших рівнянь.
Приклад 1. Розв'яжіть рівняння log3 (2x + 1) = 2.
Розв'язання
За означенням логарифма маємо:
2х + 1 = 32, 2х = 8, х = 4.
Перевірка: log3(2 · 4 + 1) = log39 = 2.
Відповідь: 4.
Приклад 2. Розв'яжіть рівняння log3x = log3(6 – х2).
Розв'язання
Із рівності логарифмів чисел випливає: х = 6 – х2; х2 + х – 6 = 0;
х1 = -3, х2 = 2.
Перевірка:
Число -3 не є коренем даного рівняння, бо вираз log3(-3) – не визначений;
log3x = log32; log3(6 – х2) = log3(6 – 22) = log32.
Відповідь: 2.
Приклад 3. Розв'яжіть рівняння logх+1 (2х2 + 1) = 2.
Розв'язання
За означенням логарифма маємо:
2х2 + 1 = (х + 1)2; 2х2 + 1 = х2 + 2х + 1; х2 – 2х = 0; х1 = 0, х2 = 2.
Перевірка:
1) Значення х1 = 0 не є коренем даного рівняння, оскільки основа логарифма х + 1 не повинна дорівнювати 1.
2) logх+1(2·22 + l) = log39 = 2.
Відповідь: 2.
Відзначимо, що в описаних прикладах використовуються тільки такі перетворення, які не приводять до втрати коренів, але можуть привести до одержання сторонніх коренів. Тому перевірка кожного із одержаних коренів обов'язкова, якщо немає впевненості в рівносильності рівнянь.
Колективне розв'язування вправ № 53 (1; 3; 9), 54 (1), 52 (6; 13).
Сприймання і усвідомлення різних методів розв'язування логарифмічних рівнянь.
1. Метод зведення логарифмічного рівняння до алгебраїчного.
Приклад. Розв'яжіть рівняння log х – 3log2 x = 4.
Розв'язання
Позначимо log2 x через у. Дане рівняння набере вигляду:
у2 – 3y = 4; у2 – 3у – 4 = 0; у1 = 4; у2 = -1.
Звідси log2 x = 4, log2 x =-1;
x = 24; x = 2-1;
x = 16, x = .
Перевірка: 1) log 16 – 3 log2 16 = 16 – 12 = 4;
2) log – 3 log2 = -1 + 3 = 4.
Відповідь: 16; .
2. Метод потенціювання.
Приклад. Розв'яжіть рівняння log5(x – 1) + log5(x – 2) = log5(x + 2).
Розв'язання
Пропотенціюємо дану рівність і одержимо:
log5((x – 1)(х – 2)) = log5(x + 2); (х – 1)(х – 2) = х + 2; x2 – 2х – х + 2 = х + 2;
x2 – 4х = 0; х(х – 4) = 0; х = 0 або х = 4.
Перевірка:
Значення х = 0 не є коренем рівняння, тому що вирази log5(x – 1) і log5(x – 2) не мають смислу при х = 0.
log5(x–1) + log5(x–2) = log5(4–1) + log5(4–2) = log53 + log52 = log5(2·3) = log56.
log5(x + 2) = log5(4 + 2) = log56.
Отже, х = 4 — корінь.
Відповідь: 4.
3. Метод зведення логарифмів до однієї і тієї ж основи.
Приклад. Розв'яжіть рівняння log3 х – 2х = 3.
Розв'язання
log3 x – 2x = 3; log3 х – 2 · = 3;
log3 x – 2· = 3; log3 x + 2log3 x = 3;
3log3 x = 3; log3 x = 1; x = 3.
Перевірка: log3 3 – 23 = 1 + 2 = 3. Отже, х = 3 — корінь.
Відповідь: 3.
4. Метод логарифмування.
Приклад. Розв'яжіть рівняння х lgx = 100х.
Розв'язання
Прологарифмуємо обидві частини рівності (х > 0), одержимо:
lgx lgx = lg(100x); lgx lgx = lg 100 + lgx;lg2x – lg x – 2 = 0.
Замінимо lg х = у. Рівняння прийме вигляд: у2 – у – 2 = 0; y1 = 2, y2 = -1.
Тоді: 1) lg х = 2; х = 102; х = 100.2) lg x = -1; x = 10-1; x = 0,1.
Перевірка: 1) xlgx = 100 lg100 = 1002 ; 100х = 100 · 100 = 1002.
520827018542000Отже, x = 100 — корінь.
2) xlgx = 0,1lg0,1 = 0,1-1 = = 10; 100х = 100 · 0,1 = 10.
Отже, x = 0,1 — корінь.
Відповідь: 100; 0,1.
5. Графічний метод розв'язування логарифмічних рівнянь.
Приклад. Розв'яжіть рівняння lg x = 1 – х графічно.
Розв'язання
В одній і тій самій системі координат будуємо графіки функції у = lg x і у = 1 – х (рис. 165). Абсциса точки перетину побудованих графіків дорівнює 1. Отже, х = 1 — корінь даного рівняння. Відповідь: 1.
IІІ. Підведення підсумків уроку.
ІV. Домашнє завдання: Розділ VІ § 1-3. № 26—31. Вправи № 5 (а), 23 (2, 4, 9, 17, 28).

Приложенные файлы

  • docx 15749148
    Размер файла: 77 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий