3.Дійсні числа та обчислення


План-конспект уроку
з алгебри та початків аналізу
для групи Е-11
Тема: Дійсні числа та обчислення. Розв’язування вправ.
Мета: Формування поняття дійсного, раціонально, ірраціонального та комплексного чисел; десяткової та двійкової системи числення. Засвоєння учнями законів додавання та множення для дійсних чисел.
Хід уроку
І. ОРГАНІЗАЦІЙНИЙ МОМЕНТ
Вступ до курсу: ознайомлення зі структурою курсу, змістом підручника, вимогами до оцінювання знань учнів, ведення робочих зошитів, перевірка відсутніх на уроці.
ІІ. ВИВЧЕННЯ НОВОГО МАТЕРІАЛУ
Важливу роль у математиці відіграють числа. Найпростіші з них – натуральні числа 1, 2, 3, 4, 5,..., які використовують під час лічби. Вони були відомі ще в доісторичні часи. Зрозуміло, що називали і записували їх раніше не так, як тепер.
Не слід ототожнювати числа із цифрами. Цифри - це значки, якими позначають числа. Натуральних чисел існує безліч, а цифр - тільки десять: 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Такі цифри називають арабськими або індійськими. Іноді числа позначають також римськими цифрами І, V, X, L, С, D, М, які відповідають числам 1, 5, 10, 50, 100, 500 і 1000. Наприклад, число 1998 римськими цифрами записується так: МСМХСVІІІ. Якщо тисяч багато, їх відокремлюють від одиниць літерою т. Запис ХХVІІmССLХХХІV означає число 27284.
Існують спеціальні позначення чисел в азбуці Морзе. А в рельєфно-точковому шрифті Брайля цифри позначають різними конфігураціями точок (мал. 1).

Мал. 1
Згадаємо, як називають і позначають великі числа:
мільярд - 1 000 000 000 = 109;
трильйон - 1 000 000 000 000 = 1012;
квадрильйон - 1 000 000 000 000 000 = 1015;
квінтильйон - 1 000 000 000 000 000 000 = 1018.
У різних країнах великі числа називають по-різному. Наприклад, трильйоном у США, Франції називають число 1012, а в Англії, Німеччині 1018. Ми словами «мільярд» і «більйон» називаємо одне й те саме число 109, а в Німеччині більйоном прийнято називати число 1012. Варто звернути увагу також на те, що ми число 0 не вважаємо натуральним, а в Італії, Франції та деяких інших країнах 0 відносять до натуральних чисел.
4362450-190500Десятьма різними цифрами записують числа у десятковій системі, у якій рахують одиницями, десятками, сотнями та іншими степенями числа 10. Існують також недесяткові системи числення. Найпростіша з них - двійкова, у якій рахують одиницями, двійками, четвірками та іншими степенями числа 2. Для позначення чисел у двійковій системі досить двох цифр: 0 і 1. Наприклад, записане в десятковій системі число 137 (або1∙102+3∙10+7) можна подати у вигляді суми 1•27 + 1•23 + 1. Тому в двійковій системі його записують так: 10001001.
Навчившись записувати натуральні числа за допомогою лише двох цифр 0 і 1, учені одержали можливість позначати їх електричним струмом: цифра 0 - струм не проходить, 1 - проходить. Уявіть, наприклад, блок з десяти лампочок. Якщо в ньому увімкнено тільки першу, п'яту, восьму і дев'яту лампочки (мал. 2), то вважають, що позначено число 1000100110. Переключати такі блоки, тобто «записувати і витирати» числа, а отже, додавати і віднімати їх, можна за тисячні частки секунди. Удосконалюючи такі «суматори», фахівці створили швидкодіючі електронні обчислювальні машини. Об'єднавши ЕОМ з телевізорами, створили комп'ютери. В основі цього - запис числа тільки двома цифрами!
76200381001 0 0 0 1 0 0 1 1 0
Крім натуральних, відомі також числа цілі, раціональні, дійсні та інші. Множина цілих чисел містить усі натуральні числа, усі протилежні їм числа і 0, тобто це числа
-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... .
Цілі числа разом з дробовими утворюють множину раціональних чисел. Раціональним називають кожне число, яке можна подати у вигляді дробу mn, де m - число ціле, а n- натуральне. Кожне раціональне число можна записати у вигляді скінченного або нескінченного періодичного десяткового дробу.
Існують числа, відмінні від раціональних. Наприклад, обчислюючи значення 2, 10, π, дістають нескінченні неперіодичні десяткові дроби:
2=1,4142135…., 10=3,1622776…, π=3,1415926Ці числа - не раціональні.
Числа, які зображуються нескінченними неперіодичними десятковими дробами, називають ірраціональними. Ірраціональний - значить не раціональний (лат. іг відповідає заперечувальній частці не).
Ірраціональними називають числа, які не можна виразити у вигляді відношення двох цілих чисел. Усі раціональні й ірраціональні числа разом називають дійсними числами. Кожному дійсному числу на координатній прямій відповідає єдина точка і кожній точці координатної прямої - єдине дійсне число.
Уявіть, що на координатній прямій позначено дві довільні точки А і В з раціональними координатами а і b (мал. 3). Скільки на відрізку АВ існує точок з раціональними координатами? Безліч. А точок з ірраціональними координатами? Значно більше, ніж з раціональними!
Множини натуральних, цілих, раціональних, дійсних і комплексних чисел позначають відповідно літерами N, Z,Q, R, С. Кожна із цих множин нескінченна і є підмножиною (частиною) наступної множини (мал. 4). Тому будь-яке натуральне число можна вважати водночас і цілим, і раціональним, і дійсним, і навіть комплексним.
Множину R дійсних чисел також називають числовою прямою, а її елементи (числа) - точками числової прямої.

Мал.3 Мал.4
Дійсні числа можна порівнювати.
З двох додатних дійсних чисел більше те, у якого ціла частина більша. Якщо цілі частини рівні, більшим вважається те число, у якого перший з неоднакових десяткових знаків більший, а всі попередні однакові.
Приклади. 1,4148... > 1,4139... ;
-1,4162... < -1,4139... ;
-0,0674...< 0,00176...
Розглянемо деякі властивості множини дійсних чисел. Множина дійсних чисел R нескінченна, не містить ні найменшого, ні найбільшого числа. Множини N, Z і Q є її підмножинами. Як і множина Q, множина дійсних чисел скрізь щільна, тобто для будь-яких двох різних дійсних чисел завжди можна назвати таке третє дійсне число, яке більше за одне з даних, але менше за друге. Це випливає з того, що коли а <b, то
a<a+b2<bОбчисленняЯк ви вже знаєте, числа можна записувати в різних видах. Відповідно й обчислення можна здійснювати по-різному. Якщо дані числа раціональні, то дії над ними можна виконувати в звичайних або десяткових дробах - усно, письмово чи за допомогою калькуляторів. Якщо серед даних чисел є й ірраціональні, то обчислення можна вести у вигляді перетворень ірраціональних виразів або за допомогою десяткових наближень.
Для додавання і множення дійсних чисел а, b, с справджуються такі закони:
а + b=b + а- переставний закон додавання;
(а + b) + с = а + (b + с) - сполучний закон додавання;
а- b = b - а- переставний закон множення;
(а • b) • с = а • (b • с) - сполучний закон множення;
(а+b) • с = а• с +b• с - розподільний закон множення.
Віднімання означується як дія, обернена додаванню, ділення - як дія, обернена множенню.
У множині раціональних чисел Q завжди виконуються дії додавання, віднімання, множення і ділення (за винятком ділення на 0). Виконуваністю дії ділення множина Q істотно відрізняється від множини цілих чисел Z, у якій ця дія виконується не завжди.
На практиці, розв'язуючи прикладні задачі, обчислення виконують не з абстрактними числами, а з числами, які виражають значення конкретних величин (маси, відстані, часу, швидкості, площі, об'єму тощо). Існують різні одиниці вимірювання цих та інших величин. Для кількісної характеристики однієї величини можна використовувати різні одиниці вимірювання. Наприклад, у метричній системі довжину вимірюють у кілометрах, метрах, сантиметрах, міліметрах. Щоб порівнювати і виконувати дії над значеннями величин, потрібно вміти перетворювати одні одиниці виміру на інші. Для цього користуються формулами або спеціальними таблицями. Наприклад:
1°=π180 радіан;
1га = 100 ар = 10 000 м2;
1 л = 1 дм3 = 1000 см3 = 0,001 м3.
Розв'язуючи прикладні задачі, переважно мають справу не з точними, а з наближеними значеннями величин. Щоб мати найменшу похибку в таких розрахунках, слід дотримуватися такого правила округлення.
Якщо число округлюють до деякого розряду, то всі наступні за цим розрядом цифри відкидають. Якщо перша з відкинутих цифр 0, 1, 2, 3 або 4 (5, 6, 7, 8 або 9), то останню цифру, що залишається, не змінюють (збільшують на 1).
Розв'язуючи прикладні задачі, ірраціональні числа звичайно округлюють, відкидаючи їх нескінченні «хвости» десяткових знаків. Наприклад, якщо треба знайти значення суми чисел π і 2 з точністю до тисячних, пишуть π+2≈3,1416+1,4142≈4,556.
Аналогічно можна знайти наближене значення добутку даних дійсних чисел: π∙2≈3,1416∙1,4142≈4,443.
Тепер науковцям часто доводиться виконувати обчислення над числами, записаними в стандартному вигляді.
Запис числа у вигляді a∙10n, де 1≤a<10, п - ціле, називають стандартним виглядом числа. Число п у такому записі називають порядком даного числа.
Запишемо в стандартному вигляді числа, якими виражаються маси Землі, Місяця і маленької мурашки.
5 980 000 000 000 000 000 000 т = 5,98*1021 т,
73 500 000 000 000 000 000 т =7,35*1019 т,
0,0000015 кг = 1,5*10-6 кг.
Числа записані в стандартному вигляді, можна додавати, віднімати, множити і ділити. Наприклад, якщо a=4,2*105 і b=1,5*105, то

В останньому прикладі застосовано основну властивість відношення.
Питання про обчислення в математиці здавна було одним з найважливіших, а в окремі періоди - і найважчим. Відомий вчений середньовіччя Беда Достойний писав: «У світі є чимало важких речей, але немає нічого важчого за чотири дії арифметики». Оскільки теперішніх алгоритмів дій навіть над натуральними числами тоді люди не знали, одні рахували, користуючись квасолинами, кісточками слив чи камінцями, інші «на лініях».
Коли з'явились арифмометри, стали і їх використовувати. З винайденням ЕОМ і особливо мікрокалькуляторів навіть найскладніші обчислення стали доступні багатьом.
Сучасні комп'ютерні технології дають змогу автоматизувати процес обчислення. Доступною і простою для виконання різного роду обчислень є програма Excel, якою оснащено сучасні комп'ютери.
III. ЗАКРІПЛЕННЯ НОВИХ ЗНАНЬ, УМІНЬ ТА НАВИЧОК
Виконання вправ: №1, 14, 17, 22, 46, 77.
IV. ДОМАШНЄ ЗАВДАННЯ
§ 1-2, №13, 20, 51, 79.

Приложенные файлы

  • docx 15748808
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий