+5-Практикум-ОМОИ-Печать

5-Практикум
ЗАНЯТИЕ 1.
ОПЕРАЦИИ И ОТНОШЕНИЯ НАД ПРОСТЫМИ И СЛОЖНЫМИ МНОЖЕСТВАМИ
Цель: Изучить на практике методику выполнения операций над простыми и сложными множествами

.Содержание:
Задание 1. Выполнить операции над простыми и сложными множествами, заданными ниже в табл. 1, и найти отношения между ними.
Табл. 1.
Задание 1. Даны множества

букв (простые множества):
треугольников (сложные множества):

A={л,и,с,а}
A-прямоугольных

B={а,и,с,т}
B-равнобедренных

C={к,р,о,т}
C-с углом 540

D={к,о,т }
D-со стороной 10 см

E={в,о,л,к}
E-тупоугольных

F={з,а,я,ц}
F-равносторонних

G={е,ж,и,к}
G-имеющих площадь 10 кв. см.

H={р,е,п,а}
H- имеющих периметр 10 см

K={м,ы,ш,ь}
K- вписанных в окружность радиусом 10 см

U- всех русских букв
U- всех возможных треугольников


Выполнить операции над множествами:
Вариант
номер
Задание варианта

1.
A(B, A\B, B\A, A(B,
·A,
·B

2.
A(C, A\C, C\A, A(C,
·A,
·C

3.
A(D, A\D, D\A, A(D,
·A,
·D

4.
A(E, A\E, E\A, A(E,
·A,
·E

5.
A(F, A\F, F\A, A(F,
·A,
·F

6.
A(G, A\G, G\A, A(G,
·A,
·G

7.
A(H, A\H, H\A, A(H,
·A,
·H

8.
B(C, B\C, C\B, B(C,
·B,
·C

9.
B(D, B\D, D\B, B(D,
·B,
·D

10.
B(E, B\E, E\B, B(E,
·B,
·E

11.
B(F, B\F, F\B, B(F,
·B,
·F

12.
B(G, B\G, G\B, B(G,
·B,
·G

13.
B(H, B\H, H\B, B(H,
·B,
·H

14.
C(D, C\D, D\C, C(D,
·C,
·D

15.
C(E, C\E, E\C, C(E,
·C,
·E

16.
C(F, C\F, F\C, C(F,
·C,
·F

17.
C(G, C\G, G\C, C(G,
·C,
·G

18.
C(H, C\H, H\C, C(H,
·C,
·H

19.
D(E, D\E, E\D, D(E,
·D,
·E

20
D(F, D\F, F\D, D(F,
·D,
·F

21
D(G, D\G, G\D, D(G,
·D,
·G

22
D(H, D\H, H\D, D(H,
·D,
·H

23
E(F, E\F, F\E, E(F,
·E,
·F

24
E(G, E\G, G\E, E(G,
·E,
·G

25
E(H, E\H, H\E, E(H,
·E,
·H

26
F(G, F\G, G\F, F(G,
·F,
·G

27
F(H, F\H, H\F, F(H,
·F,
·H

28
G(H, G\H, H\G, G(H,
·G,
·H

29
A(K, A\K, K\A, A(K,
·A,
·K

30
B(K, B\K, K\B, B(K,
·B,
·K

31
C(K, C\K, K\C, C(K,
·C,
·K

32
D(K, D\K, K\D, D(K,
·D,
·K

Здесь «
·» - знак операции пересечения множеств, «\» - знак операции вычитания множеств, «(» - знак операции пересечения множеств,
·A - знак операции дополнения множества A до универсума U. Иногда
·A обозначают через 13 EMBED Equation.3 1415. При этом
·A=13 EMBED Equation.3 1415= U\A.
Решение.
1) Найдем пересечение X1=A(B. Данное задание - на операции над простыми и сложными множествами
ОПЕРАЦИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОЖЕСТВ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.
Определение. Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат и множеству А, и множеству В.
Обозначается: С = А ( В (или С = А В). Знак ( называется знаком пересечения. На рис. 1 пересечение множеств А и В это область, покрытая и горизонтальной штриховкой.
КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Решение для множеств букв (простые множества):
Решение для множеств треугольников(сложные множества):

Согласно определения С = А ( В имеем

Ответ на п. 1 задания 1: A(B={и,с,а}
Ответ на п. 1 A(B - множество прямоугольных равнобедренных треугольников

На рис. 1 множество X1=A(B показано в виде «линзы» (двойного кругового сегмента) с горизонтальной штриховкой.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415



Решение.
Найдем разность X2=A\B. Данное задание - на операции над простыми и сложными множествами
ОПЕРАЦИЯ ВЫЧИТАНИЯ МНОЖЕСТВ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.
Результат операции вычитания множеств называют их разностью
Определение. Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех элементов множества А, которые не являются элементами множества В.
Разность множеств А и В обозначается С = А\В. При этом В может содержаться в множестве А полностью, частично или совсем не включаться. На рис. 11.5, а в изображены эти три случая. Разность А\В каждый раз заштрихована.



б в


КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Согласно определения С = А\В имеем

Решение для множеств букв (простые множества):
Решение для множеств треугольников(сложные множества):

Ответ на п. 2 задания 1: A\B={л}
Ответ на п. 2 задания 1: A\B - множество прямоугольных неравнобедренных треугольников

На рис. 1 множество X2= A\B показано в виде левого полумесяца с наклонной штриховкой.

РЕШЕНИЕ.
Найдем разность X2= B\A. Данное задание - на операции над простыми и сложными множествами
Согласно определения C= B\A имеем

Решение для множеств букв (простые множества):
Решение для множеств треугольников(сложные множества):

Ответ на п. 2 задания 1: B\A={т}
Ответ на п. 2 задания 1: B\A - множество непрямоугольных равнобедренных треугольников.

На рис. 1 X3= B\A показано в виде правого полумесяца с вертикальной штриховкой.


Решение.
Найдем разность X2= B\A. Данное задание - на операции над простыми и сложными множествами
Согласно определения C= B\A имеем

Решение для множеств букв (простые множества):
Решение для множеств треугольников(сложные множества):

Ответ на п. 3 задания 1: B\A={т}
Ответ на п. 3 задания 1: B\A - множество непрямоугольных равнобедренных треугольников.

На рис. 1 X3= B\A показано в виде правого полумесяца с вертикальной штриховкой.

Решение.
Найдем разность X= А(В. Данное задание - на операции над простыми и сложными множествами.
ОПЕРАЦИЯ ОБЪЕДИНЕНИЯ МНОЖЕСТВ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.
Определение. Объединением (или суммой) множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В.
Обозначается: С = А(В (или С = А + В). Знак «(» называется знаком объединения.
На рис. 1 изображены два множества точек плоскости: круг А и круг В. Их объединение С = А(В это область, покрытая или горизонтальной, или вертикальной, или наклонной штриховкой.
КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Согласно определения C=А(В. имеем

Решение для множеств букв (простые множества):
Решение для множеств треугольников(сложные множества):

Ответ на п. 4 задания 1: A(B={и,с,а,л,т}
Ответ на п. 4 задания 1: A(B - множество прямоугольных равнобедренных треугольников, множество прямоугольных неравнобедренных треугольников и множество непрямоугольных равнобедренных треугольников.

На рис. 1 три множества: в виде левого и правого полумесяцев, а также в виде двойного кругового сегмента,- соответственно с наклонной, вертикальной и горизонтальной штриховками.


Решение.
Найдем разность X5= А(В. Данное задание - на операции над простыми и сложными множествами.
ОПЕРАЦИЯ ДОПОЛНЕНИЯ МНОЖЕСТВА. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.
Определение. Дополнением множества А до множества U называется разность C=U\A.
Само универсальное множество U, изображают в виде прямоугольника, а его подмножества в виде кругов, расположенных внутри прямоугольника.
Дополнение некоторого множества А до универсального множества U обозначается
·A или 13 EMBED Equation.3 1415. Дополнение множества А (до U), т.е. множество
·A изображается той частью прямоугольника, которая лежит за пределами круга, изображающего А (рис. 1, a).

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Согласно определения C=
·A =U\A. имеем

Решение для множеств букв (простые множества):
Решение для множеств треугольников(сложные множества):

Ответ на п. 5 задания 1:
·A – множество всех русских букв, кроме “л”,”и”,”с”,”а”
Ответ на п. 5 задания 1:
·A - множество непрямоугольных треугольников.

Ответ на п. 6 задания 1:
·B – множество всех русских букв, кроме ”а”, ”и”,”с”,“т”
Ответ на п. 6 задания 1:
·B - множество неравнобедренных треугольников.

Ответ: Множества А и В находятся в отношении пересечения, что видно из пересечения кругов А и В на рис. 1.
Ответ: Множества А и В находятся в отношении пересечения, что видно из пересечения кругов А и В на рис. 1.



ЗАНЯТИЕ 2.
ПРАВИЛО СУММЫ И ПРОИЗВЕДЕНИЯ В КОМБИНАТОРИКЕ
Цель: Изучить на практике комбинаторные правило суммы (и его следствия) и произведения. В частности.
Содержание:
Задание 2 (на правило суммы).
Задание 3 (на правило произведения.)
Задание 2.
Из k3=n(A(B)=18 студентов группы, факультативно изучавших математику и/или информатику, k1=n(A)=13 изучало математику, k2=n(B)=11 изучало информатику. Сколько студентов группы факультативно изучали следующие предметы:
математику и информатику одновременно,
только математику, но не информатику,
только информатику, но не математику?
ПРАВИЛО СУММЫ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.
Решение.
Пусть даны конечные множества элементов A и B с числом элементов соответственно k1=n(A) и k2=n(B). Тогда могут быть определены множества X= A( B, X1= A(B, X2= A\B, X3= B\A с числом элементов соответственно k3=n(A(B), k4=n(A(B), k5=n(A\ B), k6=n(B \A). В этом случае справедливо правило суммы (ф. (1)), два следствия из него (ф. (2-3)), а также контрольное соотношение (ф. (4)):
1) n(A(B)= n(A)+n(B)-n(A(B), k4= k1+ k2- k3, (1)
2) n(A\B)= n(A)-n(A(B), k5= k1- k4, (2)
3) n(B\A)= n(B)-n(A(B), k6= k2- k4, (3)
4) n(A(B)= n(A\B)+n(B\A)+n(A(B), k3= k5+ k6+ k4. (4)
КОНЕЦ ТЕОРИИ.
Обозначим через A и B множества студентов группы, факультативно изучавших соответственно математику и информатику с числом элементов, согласно условия, соответственно k1=n(A)=13 и k2=n(B)=11. Тогда по определению операции объединения множеств X= A(B - множество студентов группы, факультативно изучавших математику и/или информатику. Число его элементов, согласно условия, равно k3=n(A(B)=18.
1) По определению операции пересечения множеств X= A(B - множество студентов группы, факультативно изучавших математику и информатику одновременно. Число элементов этого множества, обозначенное через k4=n(A(B), является искомым в пункте 1 вопроса задания. Его мы найдем, по ф.(1) правила суммы (см. краткую теорию). Имеем
n(A(B)= n(A)+n(B)-n(A(B), k4= k1+ k2- k3, n(A(B)= k4=13+11-18=6.
Ответ: n(A(B)= 6, т. е. 6 студентов группы факультативно изучали математику и информатику одновременно.
2) По определению операции вычитания множеств X2= A\B - множество студентов группы, факультативно изучавших только математику, но не информатику. Число элементов этого множества, обозначенное через k5=n(A\B), является искомым в пункте 2 вопроса задания. Его мы найдем, по ф.(2) следствия правила суммы (см. краткую теорию). Имеем
n(A\B)= n(A)-n(A(B), k5= k1 - k4, n(A\B)= k5=13-6=7.
Ответ: n(A\B)= 7, т. е. 7 студентов группы факультативно изучали только математику, но не информатику.
3) По определению операции вычитания множеств X3= B\A - множество студентов группы, факультативно изучавших только информатику, но не математику. Число элементов этого множества, обозначенное через k6=n(B\A), является искомым в пункте 3 вопроса задания. Его мы найдем, по ф.(3) следствия правила суммы (см. краткую теорию). Имеем
n(B\A)= n(B)-n(A(B), k6= k2 - k4, n(B\A)= k6=11-6=5.
Ответ: n(B\A)= 5, т. е. 5 студентов группы факультативно изучали только информатику, но не математику.
4) По ф.(4) контрольного соотношения (см. краткую теорию) имеем
n(A(B)= n(A\B)+n(B\A)+n(A(B), k3= k5+ k6+ k4, 18=7+5+6=18.
Итак, 18=18. Задание решена верно.

Задание 3. Из пункта K (см. рис. 2) в пункт L ведут k1=n(A)=13 непересекающихся дорог, а из пункта L в пункт M - k2=n(B)=11 дорог. Сколько существует способов проезда из пункта K в пункт M через пункт L?






ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.
Пусть даны конечные множества элементов A={a1, a2,, ar} и B={b1, b2,, bs} с числом элементов соответственно r=n(A) и s=n(B). Тогда может быть определено множество X= =A(B, называемое декартовым произведением множеств A и B в указанном порядке:
X= =A(B=
{(a1, b1),
(a1,b2)

(a1, bs)

(a2, b1),
(a2,b2)

(a2, bs)






(ar, b1),
(ar,b2)

(ar, bs)}.

Очевидно, в каждой клетке последней прямоугольной таблицы по одной паре элементов множеств A и B, являющиеся, в свою очередь, отдельными элементами множества X= =A(B (декартовым произведением множеств A и B). Число элементов последнего множества X=A(B, которое мы обозначим n(X)= n(A(B) равно числу клеток в последней прямоугольной таблицы размера r строк ( s столбцов = r s =n(A) n(B). Итак, мы доказали правило произведения:
n(A(B)= n(A) n(B). (5)
КОНЕЦ ТЕОРИИ.
Решение.
Обозначим через A={a1, a2,, ar} и B={b1, b2,, bs} множества непересекающихся дорог, ведущих соответственно из пункта K в пункт L и из пункта L в пункт M (см. рис. 2). Их число элементов, согласно условия, равны соответственно r=n(A)=13 и s=n(B)=11.
Составление маршрутов проезда из пункта K в пункт M через пункт L есть по сути составление элементов декартова произведения множеств A и B в указанном порядке. Например, элемент (a1, b1) декартова произведения соответствует тому, что из пункта K в пункт L выбрана первая дорога a1 из списка всех дорог, а из пункта L в пункт M выбрана тоже первая дорога b1 из списка всех дорог и т. д. Наконец, элемент (ar, bs).декартова произведения соответствует тому, что из пункта K в пункт L выбрана последняя дорога ar из списка всех дорог, а из пункта L в пункт M выбрана тоже последняя дорога bs из списка всех дорог.
Поэтому искомое число маршрутов проезда из пункта K в пункт M через пункт L есть общее число элементов декартова произведения множеств A и B, то есть равно, согласно правила произведения, n(A(B)= n(A) n(B)= r ( s =13(11 =143.
Ответ: n(A(B)= 143, т. е. 143 различных маршрутов проезда из пункта K в пункт M через пункт L.

ЗАНЯТИЕ 3.
ПЕРЕСТАНОВКИ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ И С ПОВТОРЕНИЯМИ.
НЕУПОРЯДОЧЕННЫЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ РАЗБИЕНИЯ С ФИКСИРОВАННЫМИ РАЗМЕРАМИ ЧАСТЕЙ

Цель: Изучить на практике методику расчета числа перестановок без повторений и с повторениями
Содержание:
Задание 4 (на число перестановок без повторений).
Задание 5 (на число перестановок с повторениями).
Задание 6 (на число неупорядоченных разбиений с фиксированными размерами частей).
Задание 7 (на число упорядоченных разбиений с фиксированными размерами частей).

Задание 4 (на число перестановок без повторений).
Сколько различных n– значных телефонных номеров (натуральных чисел) можно написать, переставляя следующий набор n штук цифр: 1,3,5,7,9?

ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Перестановками без повторений или просто перестановками из элементов п различных типов называются их последовательности, отличающиеся друг от друга только порядком входящих в них элементов. (Здесь и дальше под последовательностью из п элементов понимается их линейно упорядоченное множество, аналогичное п книгам, стоящим в ряд на полке.)
Пример. Перестановки из 3 различных элементов а, b и с: аbс, bса, саb, сbа, bас, асb.
Число всех перестановок из п различных элементов (обозначается Рп) есть Рп= 1 2 3 ... n = п! (п! читается "эн-факториал").
В таблице ниже приведены числовые значения факториалов первых натуральных чисел и нуля.

Таблица. Значения факториалов первых натуральных чисел и нуля.
n=
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

n!=
1
1
2
6
24
120
720
5040
40320
362880
3628800

КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Решение.
В задании 4 n=5, ибо переставляются местами всевозможными способами n=5 штук различных цифр: 1,3,5,7,9. При этом каждой новой перестановке цифр соответствует новый телефонный номер (натуральное число). Поэтому искомое число различных телефонных номеров равно числу различных перестановок без повторений из n=5 штук различных элементов.
Согласно теории, искомое число равно Р5 = 5!= 120 различных 5– значных телефонных номеров.
Ответ: 120 различных 5– значных телефонных номеров.

Задание 5 (на число перестановок с повторениями.)
Сколько различных n– значных телефонных номеров (натуральных чисел) можно написать, переставляя следующий набор n штук цифр: 1,1,1,3,3,5?
ЧИСЛО ПЕРЕСТАНОВОК С ПОВТОРЕНИЯМИ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Перестановки с повторениями
Перестановками с повторениями из т элементов n различных типов, среди которых k1 одинаковых элементов 1-го типа, k2 одинаковых элементов 2-го типа, ... , kn одинаковых элементов п-го типа (k1 + k2 + ... + kп = m) , называются их последовательности, отличающиеся только порядком входящих в них элементов.
Пример. Перестановки из 3 элементов, среди которых 2 одинаковых элемента типа а и 1 элемент типа b: ааb, аbа, bаа.
Число перестановок из т элементов, среди которых k1- одинаковых элементов 1-го типа, k2 одинаковых элементов 2-го типа,..., kп- одинаковых элементов n-го типа [обозначается Р (m; k1,k2 ,..., kп) ] равно:
Р (m; k1,k2 ,..., kп)= т!/ (k1!k2 !... kп!).
Для примера перестановок с повторениями из 3 элементов, среди которых 2 одинаковых типа а и 1 элемент типа b, имеем Р (m=3; k1=2,k2=1)= 3!/ (2!1!).
КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Решение.
В задание 5 m=6, ибо переставляются местами всевозможными способами m =6 штук различных цифр: 1,1,1,3,3,5, среди которых есть повторяющиеся (одинаковые). При этом каждой новой перестановке цифр соответствует новый телефонный номер (натуральное число). Поэтому искомое число различных телефонных номеров равно числу различных перестановок с повторениями из m =6 штук элементов, среди которых k1=3 одинаковых элементов 1-го типа (цифра 1), k2=2 одинаковых элементов 2-го типа (цифра 3), k3=1одинаковых элементов 3-го типа (цифра 5), равно Р (m; k1,k2 ,..., kп)= т!/ (k1!k2 !... kп!), Р(6; 3, 2, 1) = 6!/(3! 2! 1!)= =60.
Ответ: Р(6; 3, 2, 1) = 60, т. е 60 различных вариантов 6– значных телефонных номеров (6-значных чисел), содержащих цифру 1 трижды, 3 дважды и 5 один раз.

Задание 6 (на число неупорядоченных разбиений с фиксированными размерами частей).
Сколько всего вариантов можно получить, разбивая группу из пяти человек (из пяти солдат) на три подгруппы две подгруппы по два человека (по два автоматчики) и одна подгруппа из одного человека (из одного пулеметчика)?

НЕУПОРЯДОЧЕННЫЕ РАЗБИЕНИЯ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Неупорядоченное разбиение n -элементного множества X это любое семейство {X1, X2,, Xk}, где 1
·k
·п; X1, X2,, Xk - непустые попарно непересекающиеся подмножества множества X , объединение которых равно X.
Называем такое разбиение неупорядоченным, так как семейство это неупорядоченная совокупность.
Пример. Для множества {а,b,с} неупорядоченное разбиение это, например, {{а},{b,с}}. Причем {{а},{b,с}}={{b,с},{а}}.
Для множества с п элементами обозначим через D(n; k1, k2,, kn) число всех таких неупорядоченных разбиений, в которых есть k1 подмножеств с одним элементом, k2 подмножеств с двумя элементами и т.д., где k1
·0, k2
·0,, kn
·0; k1+2 k2++n kn= n.
Имеем


КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Решение.
Каждый вариант это неупорядоченное разбиение { Иванов, Петров, Сидоров, Андреев, Борисов }. Множество из 5 элементов Один из вариантов разбиения {{Иванов, Петров}, {Сидоров, Андреев}, {Борисов}}
Имеем п = 5, k1=1, k2=2, k3=0, k4=0, k5=0 (так как по условию нет подгрупп из трех, четырех, пяти человек).
Получим

Ответ: 15 вариантов.



Задание 7 (на число упорядоченных разбиений с фиксированными размерами частей).
Сколькими способами можно выбрать из десяти солдат трех пулеметчиков, трех гранатометчиков и четырех автоматчиков (3 пулеметчика 3 гранатометчика 4 автоматчика, всего 10 солдат)?

УПОРЯДОЧЕННЫЕ РАЗБИЕНИЯ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Упорядоченным разбиением конечного множества X с n элементами называется любой кортеж вида , где 1
·k
·n; X1, X2,, Xk - непустые попарно непересекающиеся, подмножества множества X, объединение которых равно X.
Называем такое разбиение упорядоченным, так как элементы кортежа упорядочены.
Пример. Для множества {а,b,с} упорядоченное разбиение это, например, кортеж <{{а},{b,с}}>. Причем <{{а},{b,с}}>(<{{b,с},{а}}>.
Для множества с п элементами обозначим через E(n; m1, m2,, mk,) число всех таких упорядоченных разбиений на подмножества X1, X2,, Xk, содержащие m1, m2,, mk, где m 1
·0, m 2
·0,, m k
·0; m 1+ m 2++ m k= n.
Число всех упорядоченных разбиений множества с п элементами на подмножества X1, X2,, Xk, содержащие m1, m2,, mk, элементов соответственно. определяется по полиномиальной формуле
где m1
·1, m2
·1,, mn
·1; m1+ m2++mk= n.
КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Решение.
В задании имеем упорядоченное разбиение множества с десятью элементами, где X1 - подмножество пулеметчиков, Х2 подмножество гранатометчиков, Х3 подмножество автоматчиков;
поэтому п = 10, m1 = 3, т2, = 3, т3 = 4.
Тогда всего есть

Ответ: 4200 вариантов



ЗАНЯТИЕ 4.
РАЗМЕЩЕНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ И С ПОВТОРЕНИЯМИ
Цель: Изучить на практике методику расчета числа размещений без повторений и с повторениями
.Содержание:
Задание 8 (на число размещений без повторений).
Задание 9 (на число размещений с возможными повторениями).
Задание 10 (на число размещений с обязательными повторениями).

Задание 8 (на число размещений без повторений).
Сколько различных m– значных телефонных номеров (натуральных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой без возможности повторения из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9? Решить задание для m=3.

ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Размещениями без повторений или просто размещениями элементов n различных типов по m называются их последовательности из m различных элементов, отличающиеся друг от друга самими элементами или их порядком. При этом m
·n, поскольку не допускается повторение элементов в последовательности из m различных элементов. (Иногда размещения называют расположениями, выборами, упорядоченными рядами или наборами, распределениями или аккомодациями.)
Число всех размещений из элементов n различных типов по т (обозначается 13 EMBED Equation.3 1415) есть 13 EMBED Equation.3 1415= =13 EMBED Equation.3 1415=n!/(n-m)!
КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Решение.
В задании 8 m=3, n=5. Тогда по формуле имеем 13 EMBED Equation.3 1415= n!/(n-m)!. Подставляя в формулу m=3 и n=5, имеем 13 EMBED Equation.3 1415= 5!/(5-3)!= 5!/ 2!=120/2=60.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415=60, т. е 60 различных вариантов 3– значных телефонных номеров (3-значных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой без возможности повторения из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9.

Задание 9 (на число размещений с возможными повторениями).
Сколько различных m– значных телефонных номеров (натуральных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой и с возможностью повторения из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9? Решить задание для m=3.

ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ С ПОВТОРЕНИЯМИ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Размещениями с повторениями элементов n различных типов по т называются их последовательности из т элементов, отличающиеся друг от друга самими элементами или их порядком. При этом возможно и т
· n, и т>n, поскольку допускается повторение элементов в последовательности из т элементов.
Число всех возможных размещений из га различных элементов по т (обозначается 13 EMBED Equation.3 1415) есть 13 EMBED Equation.3 1415= nm.
КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Решение.
В задании 9 m=3, n=5. Тогда по формуле имеем 13 EMBED Equation.3 1415= nm. Подставляя в формулу m=3 и n=5, имеем 13 EMBED Equation.3 1415= 53=125.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415=125., т. е 125 различных вариантов 3– значных телефонных номеров (3-значных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой с возможностью повторения из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9.

Задание 10 (на число размещений с обязательными повторениями).
Сколько различных m– значных телефонных номеров (натуральных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой и с обязательным их повторением в номере из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9? Решить задание для m=3.

ЧИСЛО РАЗМЕЩЕНИЙ С ОБЯЗАТЕЛЬНЫМИ ПОВТОРЕНИЯМИ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Пусть A - множество размещений элементов с возможными их повторениями из n по m элементов, B - множество размещений элементов без возможности их повторениями из n по m элементов. Очевидно, число элементов n(A) множества A равно 13 EMBED Equation.3 1415, а число элементов n(B) множества B равно 13 EMBED Equation.3 1415. Так как множество B есть подмножество множества A, то B(A, поэтому число элементов их пересечения равно n(A
·B)=n(B)=13 EMBED Equation.3 1415. Наконец, пусть A\B - множество размещений элементов с обязательными повторениями из n по m элементов. Тогда по следствию из правила суммы число элементов последнего множества A\B равно n(A\B)= =n(A)-n(A
·B)= 13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415.
КОНЕЦ ТЕОРИИ.

РЕШЕНИЕ.
В задании 10 m=3, n=5. Тогда по формуле имеем n(A\B)= 13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415=125-60=65.
Ответ: n(A\B)= 65, т. е 65 различных вариантов 3– значных телефонных номеров (3-значных чисел) можно написать, выбирая цифры с перестановкой с обязательным повторением из следующего набора n=5 штук разных цифр: 1,3,5,7,9.

ЗАНЯТИЕ 5.
СОЧЕТАНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ И С ПОВТОРЕНИЯМИ
Цель: Изучить на практике методику расчета числа сочетаний без повторений и с повторениями
.Содержание:
Задание 11 (на число сочетаний без повторений).
Задание 12 (на число сочетаний с возможными повторениями).
Задание 13 (на число сочетаний с обязательными повторениями).

Задание 11 (на число сочетаний без повторений).
Сколько различных подарков по m различных предметов в каждом можно составить, выбирая предметы без повторения из следующего набора n=5 штук разных предметов: 1-яблоко,3 - слива, 5 - груша, 7 - апельсин, 9 - банан? Решить задание для m=3

ЧИСЛО СОЧЕТАНИЙ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Сочетаниями без повторений или просто сочетаниями элементов n различных типов по т называются их неупорядоченные наборы из m различных элементов, отличающиеся друг от друга только самими элементами.
При этом т < n, поскольку не допускается повторение элементов в их неупорядоченном наборе из т элементов. (Здесь и далее под неупорядоченным набором из т элементов понимается их линейно неупорядоченное множество, аналогичное множеству разноцветных шаров, помещенных в урну, причем нет никакого порядка в их взаимном расположении.)
Число всех сочетаний элементов п различных типов по неупорядоченным наборам из т различных элементов (обозначается 13 EMBED Equation.3 1415) есть 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=n!/(m!(n-m)!) (числа 13 EMBED Equation.3 1415 часто называют биномиальными коэффициентами).
КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Решение.
В задании 11 m=3, n=5. Тогда по формуле имеем 13 EMBED Equation.3 1415= n!/(m!(n-m)!). Подставляя в формулу m=3 и n=5, имеем 13 EMBED Equation.3 1415= 5!/(3)!(5-3)!)= 5!/((3)!2!)=120/(6(2)=10.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415=10, т. е 10 различных подарков по m=3 различных предметов в каждом можно составить, выбирая предметы без повторения из следующего набора n=5 предметов

Задание 12 (на число сочетаний с возможными повторениями).
Сколько различных подарков по m предметов в каждом можно составить, выбирая предметы с возможностью повторения из следующего набора n=5 штук разных предметов: 1-яблоко,3 - слива, 5 - груша, 7 - апельсин, 9 - банан? Решить задание для m=3.

ЧИСЛО СОЧЕТАНИЙ С ВОЗМОЖНЫМИ ПОВТОРЕНИЯМИ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Сочетаниями с повторениями элементов n различных типов по т называются их неупорядоченные наборы из т элементов, отличающиеся друг от друга только самими элементами.
При этом возможно и т
· п, и т > п, поскольку допускается повторение элементов в их неупорядоченном наборе из т элементов.
Число всех сочетаний с повторениями элементов л различных типов по неупорядоченным наборам из т элементов (обозначается 13 EMBED Equation.3 1415) есть 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415.
КОНЕЦ ТЕОРИИ.

Решение.
В задании 12 m=3, n=5. Тогда по формуле имеем 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=(n+m-1)!/(m!(n-1)!). Подставляя в формулу m=3 и n=5, имеем 13 EMBED Equation.3 1415=(5+3-1)!/(3! (5-1)!)= =7!/((3)!4!)=5040/(6(24)= 35.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415=35, т. е. 35 различных подарков по m=3 предмета в каждом можно составить, выбирая предметы с возможностью повторения из набора n=5 штук разных предметов.

Задание 13 (на число сочетаний с обязательными повторениями).
Сколько различных подарков по m предметов в каждом можно составить, выбирая предметы с обязательными повторениями из следующего набора n=5 штук разных предметов: 1-яблоко,3 - слива, 5 - груша, 7 - апельсин, 9 - банан? Решить задание для m=3.

ЧИСЛО СОЧЕТАНИЙ С ОБЯЗАТЕЛЬНЫМИ ПОВТОРЕНИЯМИ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Пусть A - множество сочетаний элементов с возможными их повторениями из n по m элементов, B - множество сочетаний элементов без возможности их повторениями из n по m элементов. Очевидно, число элементов n(A) множества A равно 13 EMBED Equation.3 1415, а число элементов n(B) множества B равно 13 EMBED Equation.3 1415. Так как множество B есть подмножество множества A, то B(A, поэтому число элементов их пересечения равно n(A
·B)=n(B)=13 EMBED Equation.3 1415. Наконец, пусть A\B - множество сочетаний элементов с обязательными повторениями из n по m элементов. Тогда по следствию из правила суммы число элементов последнего множества A\B равно n(A\B)= =n(A)-n(A
·B)= 13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415.
КОНЕЦ ТЕОРИИ.

РЕШЕНИЕ.
В задании 13 m=3, n=5. Тогда по формуле имеем n(A\B)= 13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3
·1415-13 EMBED Equation.3 1415=35-10=25.
Ответ: n(A\B)= 25, т. е 25 различных подарков по m=3 предметов в каждом можно составить, выбирая предметы с обязательным повторением из набора n=5 штук разных предметов.

ЗАНЯТИЕ 6.
РАЗМЕЩЕНИЯ И СОЧЕТАНИЯ БЕЗ ПОВТОРЕНИЙ И С ПОВТОРЕНИЯМИ НА ПРИМЕРЕ БРОСАНИЯ ИГРАЛЬНЫХ КОСТЕЙ.
Цель: Изучить на практике методику вычисления количества размещений и сочетаний без повторений и с повторениями на примере бросания игральных костей
.Содержание:
Задание 14 (на число размещений и сочетаний на примере бросания игральных костей).

Задание 14 (на число размещений и сочетаний на примере бросания игральных костей).
Брошены наудачу m штук правильных n-гранников, на каждой грани которых нанесены точками последовательные натуральные числа от 1 до n (игральные “кубики”) (см. параграф ”Тела Платона”). Сколько при этом возможно результатов бросания в следующих случаях:
1) все m штук правильных n-гранников разные (например разного цвета), а учитываются только разные (неодинаковые, неповторяющиеся) числа, выпавшие на них,
2) все m штук правильных n-гранников разные (например разного цвета), а учитываются только в том числе и одинаковые (повторяющиеся) числа, выпавшие на них,
3) все m штук правильных n-гранников разные (например разного цвета), а учитываются обязательно одинаковые (повторяющиеся) числа, выпавшие на них,
4) все m штук правильных n-гранников одинаковые, а учитываются только разные (неодинаковые, неповторяющиеся) числа, выпавшие на них,
5) все m штук правильных n-гранников одинаковые, а учитываются только в том числе и одинаковые (повторяющиеся) числа, выпавшие на них,
6) все m штук правильных n-гранников одинаковые, а учитываются обязательно одинаковые (повторяющиеся) числа, выпавшие на них?
Замечание. В качестве правильных n-гранников в этом задании могут быть выбраны любые из 5 тел Платона, показанные на рис. 3 (n=4 - тетраэдр, n=6 – гексаэдр или куб, n=8 - октаэдр, n=12 - додекаэдр, n=20 - икосаэдр). Решить задание например для n=6 и m=2.

Решение
Данное задание - на число размещений и сочетаний на примере бросания игральных костей. Ее решение дано в виде таблицы ниже:
Тип учитываемых
чисел(
Тип используемых n-гранников (


Все разные
Все одинаковы

Все разные= запрещены одинаковые
13 EMBED Equation.3 1415 решает п. 1 задания 14
13 EMBED Equation.3 1415 решает п. 4 задания 14

Возможны одинаковые
13 EMBED Equation.3 1415 решает п. 2 задания 14
13 EMBED Equation.3 1415 решает п. 5 задания 14

Обязательно есть одинаковые
13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415 решает п. 3 задания 14
13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415 решает п. 6 задания 14


Решим задание например для n=6 и m=2. Имеем ответы:
Ответ на п. 1 задания 14: 13 EMBED Equation.3 1415=30
Ответ на п. 2 задания 14: 13 EMBED Equation.3 1415=36
Ответ на п. 3 задания 14: 13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415=36-30=6
Ответ на п. 4 задания 14: 13 EMBED Equation.3 1415=15
Ответ на п. 5 задания 14: 13 EMBED Equation.3 1415=21
Ответ на п. 6 задания 14: 13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415=21-15=6.

ТЕЛА ПЛАТОНА ИЛИ ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ
Тела Платона-это выпуклые многогранники, все грани которых правильные многоугольники. Все многогранные углы правильного многогранника конгруэнтны. Как это следует уже из подсчета суммы плоских углов при вершине, выпуклых правильных многогранников не больше пяти. Указанным ниже путем можно доказать, что существует именно пять правильных многогранников (это доказал Евклид). Они - правильный тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.

Таблица. Тела Платона
Название:
Число ребер при вершине
Число сторон грани
Число
граней
Число
ребер
Число вершин

Тетраэдр
3
3
4
6
4

Куб
3
4
6
12
8

Октаэдр
4
3
8
12
6

Додекаэдр
3
5
12
30
20

Икосаэдр
5
3
20
30
12


Тетраэдр-четырехгранник, все грани которого треугольники, т.е. треугольная пирамида; правильный тетраэдр ограничен четырьмя равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многоугольников. (рис. 3.1).
Куб или правильный гексаэдр - правильная четырехугольная призма с равными ребрами, ограниченная шестью квадратами. (рис.3.2).
Октаэдр-восьмигранник; тело, ограниченное восемью треугольниками; правильный октаэдр ограничен восемью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников. (рис.3.3).
Додекаэдр-двенадцатигранник, тело, ограниченное двенадцатью многоугольниками; правильный пятиугольник; один из пяти правильных многогранников. (рис.3.4).
Икосаэдр-двадцатигранник, тело, ограниченное двадцатью многоугольниками; правильный икосаэдр ограничен двадцатью равносторонними треугольниками; один из пяти правильных многогранников (рис.3.5).










КОНЕЦ ТЕОРИИ.

ЗАНЯТИЕ 7
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТОВ ПО НЕПУСТЫМ ЯЧЕЙКАМ
Цель: Изучить на практике методику расчета числа распределений предметов по непустым ячейкам (подарков среди не обиженных студентов)
.Содержание:
Задание 15 (на число распределений предметов по непустым ячейкам).

Задание 15 (на число распределений предметов по непустым ячейкам).
Сколько возможно способов распределения пяти (n=5) подарков (предметов) среди двух (m=2) не обиженных студентов (внутри непустых ячеек) в следующих случаях:
1) все предметы-подарки одинаковые, а студенты (ячейки) одинаковые - близнецы, и каждый студент (ячейка) может получить любое число предметов от 1 до n=5,
2) все предметы-подарки одинаковые, а студенты (ячейки) разные, и каждый студент (ячейка) может получить любое число предметов от 1 до n=5,
3) все предметы-подарки разные, а студенты (ячейки) одинаковые - близнецы, и каждый студент (ячейка) может получить любое число предметов от 1 до n=5,
4) все предметы-подарки разные, а студенты (ячейки) разные, и каждый студент (ячейка) может получить любое число предметов от 1 до n=5?

РЕШЕНИЕ
Данное задание - на число распределений n предметов по m непустым ячейкам: предметы – подарки, ячейки - студенты. Ее решение дано в виде таблицы ниже:
Таблица. Число распределений n предметов по m непустым ячейкам: предметы
Тип используемых
n предметов(
Тип используемых m ячеек(


Все одинаковые
Все разные

Все одинаковые
Pn,m решает п. 1 задания 15
Pn,m – число способов разбиения натурального числа n на m штук натуральных слагаемых без учета их порядка в сумме
13 EMBED Equation.3 1415 решает п. 4 задания 15
13 EMBED Equation.3 1415 - число способов разбиения натурального числа n на m штук слагаемых с учетом их порядка в сумме

Все разные
Sn,m решает п. 2 задания 15
Sn,m - число Стирлинга 2-го рода из n по m
m! Sn,m решает п. 5 задания 15
Sn,m - число Стирлинга 2-го рода из n по m
m! – факториал числа «m».

Замечания к последней таблице.
Таблица чисел Pn,m под названием «Числа разбиений Рп m» приведена ниже.
Таблица чисел 13 EMBED Equation.3 1415 под названием «Биномиальные коэффициенты13 EMBED Equation.3 1415» приведена ниже. Обратите внимание на то, что здесь верхний и нижний индексы на единицу больше, чем нужно. Числа 13 EMBED Equation.3 1415 нам уже были известны в задании 9, как число сочетаний без повторений из из n по m.
Таблица чисел Sn,m Стирлинга 2-го рода из n по m под названием «Числа Стирлинга 2-го рода 13 EMBED Equation.3 1415» также приведена ниже
Решение
Решим задание 15 например для n=5 и m=2.
1) Решение п. 1 задания 15.
Для множества с n=5 элементами число всех неупорядоченных разбиений, содержащих k=2 подмножества равно P5,2. По таблице чисел неупорядоченных разбиений P5,2. находим P5,2= 2.
Ответ на п. 1 задания 15: P5,2=2, где P5,2 – число способов разбиения натурального числа 5 на 2 слагаемых без учета их порядка в сумме.
2) Решение п. 2 задания 15.
Для множества с n=5 элементами число всех упорядоченных разбиений, содержащих k=2 подмножества равно 13 EMBED Equation.3 1415. По таблице чисел неупорядоченных разбиений 13 EMBED Equation.3 1415. находим 13 EMBED Equation.3 1415= 4.
Ответ на п. 2 задания 15: 13 EMBED Equation.3 1415=4 – число способов разбиения натурального числа 5 на 2 слагаемых с учетом их порядка в сумме.
3) Решение п. 3 задания 15.
Для множества с n=5 элементами число всех упорядоченных разбиений, содержащих k=2 подмножества равно S5,2. По таблице чисел Стирлинга 2-го рода находим S5,2= 15.
Ответ на п. 3 задания 15: S5,2= 15, где S5,2- число Стирлинга 2-го рода из 5 по 2.
4) Решение п. 4 задания 15.
Для множества с n=5 элементами число всех упорядоченных разбиений, содержащих k=2 подмножества равно S5,2. Число перестановок без повторений для k подмножеств равно k!=2! По таблице чисел Стирлинга 2-го рода находим S5,2= 15. По таблице факториалов находим 2!=2.
Ответ на п. 4 задания 15: 2!S5,2=2(15= 30, где S5,2 - число Стирлинга 2-го рода из 5 по 2, 2! – факториал числа «2».

Табл. Числа разбиений Рп m
Рп m
m= 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13

n =1
1













2
1
1












3
1
1
1











4
1
2
1
1










5
1
2
2
1
1









6
1
3
3
2
1
1








7
1
3
4
3
2
1
1







8
1
4
5
5
3
2
1
1






9
1
4
7
6
5
3
2
1
1





10
1
5
8
9
7
5
3
2
1
1




11
1
5
10
11
10
7
5
3
2
1
1



12
1
6
12
15
13
11
7
5
3
2
1
1


13
1
6
14
18
18
14
11
7
5
3
2
1
1


Табл. Биномиальные коэффициенты13 EMBED Equation.3 1415 (треугольник Паскаля)

m=0
1
2
3
4
5
6
7
8

n=
1









1
1
1








2
1
2
1







3
1
3
3
1






4
1
4
6
4
1





5
1
5
10
10
5
1




6
1
6
15
20
15
б
1



7
1
7
21
35
35
21
7
1


8
1
8
28
56
70
56
28
8
1






ЗАНЯТИЕ 8
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДМЕТОВ ПО РАЗНЫМ ЯЧЕЙКАМ ПРИ РАЗНЫХ УСЛОВИЯХ НА ЧИСЛО ПРЕДМЕТОВ В НИХ
Цель: Изучить на практике методику расчета числа распределений предметов по разным ячейкам при разных условиях на число предметов в них (подарков среди не обиженных студентов)
Содержание:
Задание 16 (на число распределений предметов по разным ячейкам при разных условиях на число предметов в них).
Сколько возможно способов распределения двух (n=2) подарков (предметов) среди пяти (m=5) разных студентов (внутри разных ячеек) в следующих случаях:
1) все предметы-подарки одинаковые, а студенты (ячейки) могут получить 0 или 1 предмет,
2) все предметы-подарки одинаковые, а студенты (ячейки) могут получить любое число предметов от 0 до n=2,
3) все предметы-подарки одинаковые, а студенты (ячейки) могут получить любое число предметов от 1 до n=2,
4) все предметы-подарки разные, а студенты (ячейки) могут получить 0 или 1 предмет,
5) все предметы-подарки разные, а студенты (ячейки) могут получить любое число предметов от 0 до n=2,
6) все предметы-подарки разные, а студенты (ячейки) могут получить любое число предметов от 1 до n=2?
Решение
Данное задание - на число распределений n предметов по m разным ячейкам при разных условиях на число предметов в них: предметы – подарки, ячейки - студенты. Его решение дано в виде таблицы ниже:
Таблица. Число распределений n предметов по m непустым ячейкам: предметы
Тип используемых
n предметов(
Тип используемых m ячеек - все разные. Каждая ячейка может содержать следующее число предметов:(


0 или 1 предмет
0,1,2,,n предметов
1,2,,n предметов

Все одинаковые
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=m!/(n!(m-n)!) решает п. 1 задания 16
n
·m
13 EMBED Equation.3 1415=
=(m+m-1)!/(n!(m-1)!) решает п. 2 задания 16
n
·m или n>m
13 EMBED Equation.3 1415 решает п. 3 задания 16
n
·m
13 EMBED Equation.3 1415 - число способов разбиения натурального числа n на m штук слагаемых с учетом их порядка в сумме

Все разные
13 EMBED Equation.3 1415=m!/(m-n)! решает п. 3 задания 16
n
·m
13 EMBED Equation.3 1415=mn решает п. 4 задания 16
n
·m или n>m
m! Sn,m решает п. 6 задания 16
n
·m
Sn,m - число Стирлинга 2-го рода из n по m
m! – факториал числа «m».

Замечания к последней таблице.
Таблица чисел Pn,m под названием «Числа разбиений Рп m» приведена выше.
Таблица чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 под названием «Биномиальные коэффициенты13 EMBED Equation.3 1415» приведена выше. Обратите внимание на то, что здесь верхний и нижний индексы на единицу больше, чем нужно. Числа 13 EMBED Equation.3 1415 нам уже были известны в задании 9, как число сочетаний без повторений из из n по m.
Таблица чисел Sn,m Стирлинга 2-го рода из n по m под названием «Числа Стирлинга 2-го рода 13 EMBED Equation.3 1415» также приведена выше

Решим задание например для n=2 и m=5. Имеем ответы:
1) Ответ на п. 1 задания 16:13 EMBED Equation.3 1415= 5!/(2)!(5-2)!)= 5!/((3)!2!)=120/(2(6)=10, где 13 EMBED Equation.3 1415 – число сочетаний без повторений из 5 по 2.
2) Ответ на п. 2 задания 16: 13 EMBED Equation.3 1415=(5+2-1)!/(2! (5-1)!)= 6!/((2)!4!)=720/(2(24)= 15. Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 - число сочетаний с повторениями из 5 по 2.
3) Ответ на п. 3 задания 16: 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=0.
4) Ответ на п. 3 задания 16: 13 EMBED Equation.3 1415=5!/(5-2)! = 5!/(3)!=120/6=20, где 13 EMBED Equation.3 1415 - число размещений без повторений из 5 по 2.
5) Ответ на п. 4 задания 16: 13 EMBED Equation.3 1415=52=25, где 13 EMBED Equation.3 1415- число размещений с повторениями из 5 по 2.
6) Ответ на п. 6 задания 16: 5!S2,5=120(0= 0, где S2,5 =0 - число Стирлинга 2-го рода из 5 по 2, 5! =120 – факториал числа «5».

ЗАНЯТИЕ 9
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Цель: Изучить на практике методику расчета вероятности по её классическому определению
.Содержание:
Задание 17 (на классическое определение вероятности).
Задание 18 (на классическое определение вероятности).

Задание 17 (на классическое определение вероятности).
Из обычной колоды в 36 карт наудачу извлекли одну. Какова вероятность того, что извлеченная карта не бубновой масти старше семерки, но младше короля?
Решение
По классическому определению вероятности вероятность интересуемого события A (“из колоды в 36 карт извлечена карта не бубновой масти старше семерки, но младше короля”) равна P(A)=m/n, где m – число исходов (элементарных событий), благоприятствующих событию A, n – общее число всех возможных исходов. Очевидно, что n =36 (то есть числу разных карт в колоде).
Для нахождения числа m составим вероятностное пространство задания, то есть укажем все возможные исходы в данном задании (см. табл. ниже).
Таблица. Вероятностное пространство задания 17. Все возможные исходы.
Номера карт(
Масти карт:(



·

·

·

·

6
6
·
6
·
6
·
6
·

7
7
·
7
·
7
·
7
·

8
8
·
8
·
8
·
8
·

9
9
·
9
·
9
·
9
·

10
10
·
10
·
10
·
10
·

В
В
·
В
·
В
·
В
·

Д
Д
·
Д
·
Д
·
Д
·

К
К
·
К
·
К
·
К
·

Т
Т
·
Т
·
Т
·
Т
·


В таблице выше все исходы, благоприятствующие событию A, показаны серым цветом.
Очевидно, что число таких исходов равно m = 3 масти (5 номеров=15. Поэтому по классическому определению вероятности имеем P(A)=m/n=15/36=5/12(0,41.
Ответ: Искомая вероятность равна P(A) (0,41.

Задание 18 (на классическое определение вероятности).
Игральный кубик бросили наудачу один раз. Какова вероятность того, что выпадет число от 2 до 5?
Решение.
По классическому определению вероятности вероятность интересуемого события A («выпадет число от 1 до 5») равна P(A)=m/n, где m – число исходов (элементарных событий), благоприятствующих событию A, n – общее число всех возможных исходов. Очевидно, что n =6 (то есть числу разных граней на кубике). Число благоприятствующих исходов m =4, то есть числу граней кубика с числами от 2 до 5. Поэтому по классическому определению вероятности имеем P(A)=m/n=4/6=2/3(0,67.
Ответ: Искомая вероятность равна P(A) (0,67.

ЗАНЯТИЕ 10
БИНОМИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ, ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПАСКАЛЯ
.Содержание:
Задание 19 (на биномиальное распределение вероятности).
Задание 20 (на гипергеометрическое распределение вероятности).
Задание 21 (на распределение Паскаля или на отрицательно биномиальное распределение вероятности).


Задание 19 (на биномиальное распределение вероятности).
Пять одинаковых игральных кубиков одновременно бросили наудачу один раз. Какова вероятность того, что при этом одновременно выпадут ровно две единицы?
Решение.
Задание на схему Бернулли (повторных однородных независимых испытаний). Действительно, вместо одновременного бросания наудачу пяти одинаковых игральных кубиков мы можем считать, что мы последовательно друг за другом бросили пять раз подряд один и тот же игральный кубик. Однако вероятностная последняя модель уже изучена и является схемой повторных однородных независимых испытаний (схемой Бернулли). Действительно, результат каждого бросания кубика не зависит от других бросаний, и вероятность выпадения единицы в каждом бросании постоянна.
Тогда, согласно биномиального распределения вероятности искомая вероятность равна P(An,m)= 13 EMBED Equation.3 1415 pm (1- p)n-m. Здесь p=1\6 – вероятность выпадения единицы при каждом отдельном бросании кубика. Точнее, P(A1,1)= p= 1\6. В нашем задании n=5 и m=2, поэтому имеем P(A5,2)=
= 13 EMBED Equation.3 1415 p2 (1- p)5-2=13 EMBED Equation.3 1415 p2 (1- p)3 =10 (1\6)2 (1- 1\6)3 =10 (1\6)2 (5\6)3=
=10 (1\36) (125\216)= 1250/7776(0,161
Ответ: Искомая вероятность равна P(A) (0,161.

Задание 20 (на гипергеометрическое распределение вероятности).
Из непрозрачного ящика (урны) с пятью (M=5) белыми и тремя (N-M=3) черными шарами наудачу без возвращения обратно извлекли три шара. Найти вероятность извлечения при этом двух белых (m=2) и одного черного (n-m=1) шара.
Решение.
Задание 20 – на урновую схему без возвращения, ибо шары после каждого извлечения из урны не возвращались в нее обратно. Искомая вероятность будет описываться гипергеометрическим распределением вероятности. Обозначим интересующее нас событие через AN,M,n,m. В нашем задании M=5, N-M=3, m=2, n-m=1. Решая эти уравнения, находим N=8, M=5, n =3, m=2. Подставляя это в формулу для гипергеометрического распределения вероятности, имеем P(AN,M,n,m)= =13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415/13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415/13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415/13 EMBED Equation.3 1415=10(3/56=30/56= 15/28=0,534.
Ответ: Искомая вероятность равна P(AN,M,n,m) (0,534.

Задание 21 (на распределение Паскаля или на отрицательно биномиальное распределение вероятности).
Вероятность появления единицы (события А) в результате бросания наудачу одной игральной кости (в одном опыте) равна р. Производится ряд независимых опытов, которые продолжаются до появления события А ровно m раз, после чего опыты прекращаются. Найти вероятность того, что опыты прекратятся после ровно n+m штук бросаний кости (тогда событие А произойдет ровно m раз и не произойдет ровно n раз), n
·0, m
·1.
Решение.
Задание - на распределение Паскаля. Обозначим вероятность интересующего нас события через P(An,m). Тогда, согласно распределения Паскаля искомая вероятность равна P(An,m)=
= 13 EMBED Equation.3 1415 pm (1- p)n. Здесь p=1\6 – вероятность выпадения единицы при каждом отдельном бросании кубика. В нашем задании n=5 и m=2, поэтому имеем P(A5,2)=
= 13 EMBED Equation.3 1415 p2 (1- p)5=13 EMBED Equation.3 1415 p2 (1- p)5 =6 (1\6)2 (1- 1\6)5 =6 (1\6)2 (5\6)5=
=6 (1\36) (3125\7776)= 3125/46656(0,06698.
Ответ: Искомая вероятность равна P(A5,2)(0,067.

ЗАНЯТИЕ 11
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПУАССОНА И НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
Содержание:
Задание 22 (на распределение Пуассона).
Задание 23 (на нормальное распределение вероятности).

Задание 22 (на распределение Пуассона).
Прядильщица обслуживает n=50 станков. Вероятность p обрыва нити за смену на одном станке мала. При этом величина np постоянна. Найти вероятность обрыва нити за смену на пяти (m=5) станках. Решить задание 18 при p=0,02.
Решение.
Задание 22 – на распределение Пуассона (закон малых чисел или редких событий), как один из предельных случаев биномиального распределения. Биномиальное распределение здесь неприменимо ввиду того, что n=50, и число n!= 50! не поддается вычислению. Параметр распределения Пуассона a= np=50(0,02=1. Поэтому имеем искомую вероятность P(Am)=e-a a m/ m!=
= e-1 15/ 5!=2,718-1 (1/120 (0,00307.
Ответ: Искомая вероятность равна P(Am) (0,00307.

Задание 23 (на нормальное распределение вероятности).
Вероятность появления события в каждом из n=100 независимых испытаний постоянна и равна p=0,8. Найти вероятность того, что событие появится: 1) не менее 75 раз и не более 90 раз; 2) не менее 75 раз; 3) не более 74 раз.
РЕШЕНИЕ.
Задание 23 – на нормальное распределение вероятности (на интегральную теорему Муавра - Лапласа). Воспользуемся интегральной теоремой Муавра – Лапласа: Pn (k1, k2) (((x1) - ((x2), где ((x) - функция Лапласа (см. ниже таблицу функции Лапласа), x1=( k1-np)/13 EMBED Equation.3 1415, x2=( k2-np)/13 EMBED Equation.3 1415.
По условию, n=100, p=0,8, q=0,2, k1=75, k2=90. Вычислим x1 и x2: x1=( k1-np)/13 EMBED Equation.3 1415=(75-100(0,8)/13 EMBED Equation.3 1415=-1,25,
x2=( k2-np)/13 EMBED Equation.3 1415 =(90-100(0,8)/13 EMBED Equation.3 1415=2,5. Учитывая, что функция Лапласа нечетная, т. е. ((-x) =- ((x), получим P100 (75; 90) (
(((2,5) - ((-1,25). По таблице функции Лапласа найдем: ((2,5)=0,4938; ((-1,25)=0.3944. Искомая вероятность P100 (75; 90) ( ((2,5)- ((-1,25)= =0,4938+0.3944=0,8882.
Ответ: P100 (75; 90) =0,8882.
Требование появления события не менее 75 раз означает, что число появлений события может быть равно 75, 76,.,100. Тогда, как и раньше, x1=( k1-np)/13 EMBED Equation.3 1415=(75-100(0,8)/13 EMBED Equation.3 1415=-1,25. Однако x2 будет другим: x2=( k2-np)/13 EMBED Equation.3 1415 =(100-100(0,8)/13 EMBED Equation.3 1415= 5. По таблице функции Лапласа найдем: ((5)=0,5; ((-1,25)=0.3944. Искомая вероятность P100 (75; 100) (((5)- ((-1,25)= =0,5+0.3944=0,8944.
Ответ: P100 (75; 100) =0,8944.
События «появилось не менее 75 раз» и «появилось не более 74 раз» противоположны. Поэтому сумма вероятностей этих событий равна единице. Следовательно, искомая вероятность равна P100 (0; 74) (
(1- P100 (75; 100)=1- 0,8944=0,1056.
Ответ: P100 (0; 74) =0,1056.

Таблица значений функции Лапласа Ф(х)=13 EMBED Equation.3 1415

X
Ф(х)
X
Ф(x)
X
Ф(х)
X
Ф(х)

0,00
0,0000
0,31
0,1217
0,62
0,2324
0,93
0,3238

0,01
0,0040
0,32
0,1255
0,63
0,2357
0,94
0,3264

0,02
0,0080
0,33
0,1293
0,64
0,2389
0,95
0,3289

0,03
0,0120
0,34
0,1331
0,65
0,2422
0,96
0,3315

0,04
0,0160
0,35
0,1368
0,66
0,2454
0,97
0,3340

0,05
0,0199
0,36
0,1406
0,67
0,2486
0,98
0,3365

0,06
0,0239
0,37
0,1443
0,68
0,2517
0,99
0,3389

0,07
0,0279
0,38
0,1480
0,69
0,2549
1,00
0,3413

0,08
0,0319
0,39
0,1517
0,70
0,2580
1,01
0,3438

0,09
0,0359
0,40
0,1554
0,71
0,2611
1,02
0,3461

0,10
0,0398
0,41
0,1591
0,72
0,2642
1,03
0,3485

0,11
0,0438
0,42
0,1628
0,73
0,2673
1,04
0,3508

0,12
0,0478
0,43
0,1664
0,74
0,2703
1,05
0,3531

0,13
0,0517
0,44
0,1700
0,75
0,2734
1,06
0,3554

0,14
0,0557
0,45
0,1736
0,76
0,2764
1,07
0,3577

0,15
0,0596
0,46
0,1772
0,77
0,2794
1,08
0,3599

0,16
0,0636
0,47
0,1808
0,78
0,2823
1,09
0,3621

0,17
0,0675
0,48
0,1844
0,79
0,2852
1,10
0,3643

0,18
0,0714
0,49
0,1879
0,80
0,2881
1,11
0,3665

0,19
0,0753
0,50
0,1915
0,81
0,2910
1,12
0,3686

0,20
0,0793
0,51
0,1950
0,82
0,2939
1,13
0,3708

0,21
0,0832
0,52
0,1985
0,83
0,2967
1,14
0,3729

0,22
0,0871
0,53
0,2019
0,84
0,2995
1,15
0,3749

0,23
0,0910
0,54
0,2054
0,85
0,3023
1,16
0,3770

0,24
0,0948
0,55
0,2088
0,86
0,3051
1,17
0,3790

0,25
0,0987
0,56
0,2123
0,87
0,3078
1,18
0,3810

0,26
0,1026
0,57
0,2157
0,88
0,3106
1,19
0,3830

0,27
0,1064
0,58
0,2190
0,89
0,3133
1,20
0,3949

0,28
0,1103
0,59
0,2224
0,90
0,3159
1,21
0,3869

0,29
0,1141
0,60
0,2257
0,91
0,3186
1,22
0,3888

0,30
0,1179
0,61
0,2291 ]
0,92
0,3212
1,23
0,3907



ЗАНЯТИЕ 12
ОЦЕНКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ, МОДЫ, МЕДИАНЫ И ДИСПЕРСИИ
Задание 24. Условно считая числа, данные в задании 5, как некий ранжированный (упорядоченный по возрастанию) ряд вероятностного распределения признака Х некой генеральной совокупности, оценить: 1) математическое ожидание, 2) моду, 3) медиану и 4) дисперсию распределения. Построить закон распределения, полигон и гистограмму распределения признака Х.
Решение. Пусть у нас вариант 32. В задании 5 имеем ряд: 1,1,2,3,3,3.
КРАТКАЯ ТЕОРИЯ.
Определение 1. Генеральной средней 13 EMBED Equation.3 1415 (или а) называется среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.
Если все значения x1, x2, , xN признака генеральной совокупности объема N различны, то 13 EMBED Equation.3 1415
Определение 2. Генеральной дисперсией Dг. называют среднее арифметическое квадратов отклонений значений признака X генеральной совокупности от генеральной средней 13 EMBED Equation.3 1415.
Если все значения x1, x2, , xN признака генеральной совокупности объема N различны, то 13 EMBED Equation.3 1415
КОНЕЦ КРАТКОЙ ТЕОРИИ.

Решение.
Математическое ожидание равно среднему арифметическому из всех значений: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415=(1+1+2+3+3+3)/6=13/6(2,2167.
Мода – это наивероятнейшее значение или вершина на графике распределения, оно равно xmod=3 (встречается чаще других – 3 раза). Другая мода – изолированная вершина на графике равна xmod=1.
Медиана – это такое воображаемое или реальное значение, которое делит ранжированный ряд на две равные части. Наш ранжированный ряд можно разбить две равные по числу значений части: {1,1,2} и {3,3,3}. Очевидно, что медиана находится строго на середине внутренних границ этих частей, выделенных жирным шрифтом: 2 и 3 . Т.е. медиана равна их полусумме: xmed= (2+3)/2=2,5.
Дисперсию оценим по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415 имеем
Dг= [(1-2,2167)2+(1-2,2167) 2+(2-2,2167) 2+(3-2,2167) 2+(3-2,2167) 2+(3-2,2167) 2]/6=
= [(-1,2167)2+(-1,2167) 2+0,2167 2+0,7833 2+0,7833 2+0,7833 2]/6=
=(2(1,48035889+0,04695889+3(0,61355889)/6=
=(2,96071778+0,04695889+1,84067667)/6=4,84835334/6(0,80805889
Ответы: 1) 13 EMBED Equation.3 1415(2,2167, 2) xmod=3, 3) xmed=2,5, 4) Dг(0,808.

Наша случайная величина задана законом распределения

Варианта хi
1
2
3
Сумма

Абсолютная частота ni
2
1
3
n=6

Относительная частота pi
0,333
0,167
0,500
1


Относительные частоты pi находим по формулам pi= ni / n.
Имеем p1= n1 / n=2/6=0,333, p2= n2 / n=1/6=0,167, , p3= n3 / n=3/6=0,500.

Полигоном и гистограмма распределения признака Х построены на рис. ниже.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Задание 25. Случайная величина X задана плотностью вероятности
13 EMBED Equation.3 1415
Оценить: 1) математическое ожидание, 2) моду, 3) медиану и 4) дисперсию распределения. Построить закон распределения, полигон и гистограмму распределения признака Х.
Решение. Согласно определениям математического ожидания непрерывной случайной величины и дисперсии непрерывной случайной величины имеем
М(Х)= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
D(Х)= 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
и, наконец, ((Х) = 13 EMBED Equation.3 1415
Остальные вопросы задания решаются самостоятельно.





ЗАНЯТИЕ 13
ЛОГИКА И ТЕОРИЯ ГРАФОВ
Содержание:
Задание 26 (по теории графов).

Задание 27 (по логике).

Задание 26 (по теории графов). Пусть граф G задан матрицей смежности А.



Построить диаграмму этого графа, если



Решение. Диаграмму графа, имеющего шесть вершин, представим на рис. 2.19.
Любой ориентированный граф является бинарным отношением А под V, где V множество вершин графа, а пары из X ребра.
Для конечного числа V вершин отношение X можно представить тремя способами:
графически, т.е. диаграммой (рис. 2.19);
с помощью таблиц, в которых представлены 1 и 0;
с помощью матриц (в случае матриц смежности).
Такая форма записи отношений удобна при решении многих логических и производственных задач. Она также используется при машинной обработке для систематизации информации





Рис. 2.19. Граф к заданию 23.


Задание 27 (по логике).
Составить таблицу истинности логической операции.
(х1(х2)( (13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415)
Решение. Последовательность действий представлена в следующей таблице:
Таблица
х1
х2
х1(х2

х1
х2
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415

х1(х2
13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415
(х1(х2)((13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415)

0
0
0

0
0
1
1
1

0
1
1

1
0
0

1
0
0
1
1

0
1
1

0
1
0

0
1
1
0
1

0
1
1

1
1
1

1
1
0
0
0

1
0
1







Ответ дан в заштрихованном столбце.









13PAGE 15


13PAGE 1417815



A B
Рис.1

K L M

Рис. 2

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рисунки 3:Тела Платона

U

AS

Рис.1а.









в



y

0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0

0 1 2 3 4 x

y

0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0

0 1 2 3 x



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 15736198
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий