4. Математикалық физика теңдеулері-15-жок


4. Математикалық физика теңдеулері
Математикалық физиканың негізгі теңдеулері. МФТ келтірілетін физикалық есептер.
Коши және басқа да шекаралық есептердің қойылымы.
Екі немесе одан көп айнымалылы параболалық, гиперболалық және эллиптикалық теңдеулерді канондық түрге келтіру және классификациялау; жалпы шешім.
Толқын теңдеуі үшін Коши есебі. Даламбер формуласы. Тура және кері толқындар.
Суперпозиция қағидалары.
Біртекті емес толқын теңдеуі үшін Коши есебі, Дюамель қағидасы.
Толқын теңдеуі үшін жалғастыру әдісі. Коши есебінің шешімінің жалғыздығы.
Интегралдық теңдеулер әдісімен Гурса есебін шешу.
Толқын теңдеуі үшін Коши есебінің шешімінің жалғыздығы.
Толқын теңдеуі үшін шеттік есебінің шешімінің жалғыздығы және функциялар қасиеттері.
Біртекті теңдеу үшін шекаралық есептерді Фурье әдісімен шешу. Штурма–Лиувиль есебінің меншікті мәні мен меншікті функциясы, қасиеттері.
Біртекті емес теңдеу үшін шекаралық есептерді Фурье әдісімен шешу.
Жылуөткізгіштік теңдеуі. Коши есебі. Пуассон формуласы.
Біртексіз жылуөткізгіштік теңдеуігің Коши есебінің шешімі.
Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін аралас есепті Фурье тәсілімен шешу.
Жылуөткізгіш теңдеу үшін Коши есебін айнымалыға жіктеу–Фурье тәсілімен шешу.
Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін Грин функциясы әдісі.
Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін экстремум қағидасы және салдары.
Лаплас теңдеуі. Фундаментальды шешім. Гармоникалық және аналитикалық функциялар.
Лаплас операторы үшін Грин формулалары. класта функцияның интегралды өрнектелуі.
Гармоникалық функциялардың қасиеттері.
Шар үшін Дирихле есебінің шешуі. Пуассон формуласы.
Лаплас теңдеуі үшін шекаралық есептің шешімінің жалғыздығы.
Көлемдік және беттік потенциалдар.
Лаплас теңдеуі үшін шектік есептерді шешуде потенциалдарды қолдану әдісі.

1. Математикалық физиканың негізгі теңдеулері. МФТ келтірілетін физикалық есептер
U=U(x,y) бұл фун-я үшін a11uxx+2a12uxy+a22uyy+Fu,ux,uy=0 (1) теңд қарастырайық.
Бұл теңдеу aij айн немесе тұрақты коэф. Типке ажырату үшін дискриминант табамыз.
∆=a12a12+a11a22 Егер n>2 (1) ↔ i,j=1naijx∂u∂xi∂u∂xj+i=1nbix∂u∂xi+cxuxfx (2) x(x1,…xn)∈R бұл теңд-і типтерге ажырату үшін теңд жоғ. ретті мүш с-с. Q(l1,l2…ln)= i,j=1naijxlilj квадраттық көпмүшелікті құрамыз. Бұл көпмүшелікті емес сызықтың түрленген нәтижесінде j=1nδjMjMj (3) канондық түрде аламыз. δj=0,1,-1 Mj-li,lj байл тұр. шамалар
Егер барлық δjлер Оге тең емес және бірдей таңбалы болса, (2) элиптикалық д.а ∂u∂tgrad wu+F(x,τ) grad wu=Awx,t=kn∂u∂xk∂u∂xk ∂u∂t=a*a∆ux,t+f(x,t) жылу құб. теңд
Ал егер δj тең емес О бірақ кейбірі қалғанымен салыстырғанда кері таңбалы болса (2) гипербалық д.а
∂u∂t ∂u∂t=a*a∆ux,t+f(x,t) (5) ∆=kn∂u∂xk∂u∂xk лаплас операторы
Ал егер біреуі немесе бірнешеуі Оге тең болса (2) параболалық теңд д.а
U=u(x)→∆u(x)=-f(x) пуассон

2. Коши және басқа да шекаралық есептердің қойылымы.
Теңдеулерге есеп қою. Гиперболалық теңдеуге
Аралас есеп ∂u∂t ∂u∂t=a*a∆ux,t+f(x,t) u(x,t) тербелістің шамасын анықтау керек
J1∂u∂x +u |x=0 = M1(t)
J2∂u∂x +u |x=e = M2(t) (7)
U(x,0)=φ(x)Ut (x,0)=φ(x) бастапқы шарттар (8)
2) коши есебі шексіз аймақ үшін қойылады. U(x,0)=φ(x), Ut (x,0)=φ(x) x∈R Параболалық
Аралас ∂u∂t=a*a∆ux,t+f(x,t) ,(7) түріндегі U(x,0)=φ(x) бастапқы шарт және Коши есебі (шексіз аймақ үшін) U(x,0)=φ(x), x∈R қанағатн U(x,t)- ны анықтау
Элиптикалық
1 дирихле U=u(x)→∆u(x)=-f(x) осыдан u(x)|=f(x) (11) шартты қанағат u(x) т.к.
2) нейман U=u(x)→∆u(x)=-f(x) ∂u∂x|s=f(x) шартты қана u(x) т.к
3) жалпылама аралас есеп U=u(x)→∆u(x)=-f(x) Коши есебі t=0 мезетте ғана берілмей кеңістіктің қандай да бір бетінде немесе сызықта беріледі.

3. Екі немесе одан көп айнымалылы параболалық, гиперболалық және эллиптикалық теңдеулерді канондық түрге келтіру және классификациялау; жалпы шешім.
2-ретті сызықтық дербес
теңд канондық түрге келтіру
N=2 U=U(x,y) фун-я үшін a11uxx+2a12uxy+a22uyy+a13ux+a23uy+ux,y=fx,y (2.2.1)
aij-x,y-ке тәуелді немесе тұр шама ∆=a12a12-a11a22a11dy2-2a12dydx+a22dx2=0 (3)
(3)-ті ((2.2.1))-4 сипаттаушы теңд. Д.а.
(∂u∂x)1/2=(a12±∆)/a11 (4)
, (2.2.3)
мұндағы

(2.2.4)

гиперболалық типті теңдеу үшін жалпы интегралдары нақты және әр түрлі. Сондықтан гиперболалық типті теңдеулердің екі әртүрлі нақты сипаттамалары болады.

түрлендіруін алайық. Мұндағы және бірінші ретті дербес туындылы дифференциалдық теңдеудің үзіліссіз дифференциалданатын шешімдері. Онда (2.2.4) теңдігінен (2.2.3) теңдеуіндегі

болатындығы шығады. нүктесінің маңайында болмайды, өйткені кері жағдайда немесе болады. (2.2.3) теңдеуін коэффициентіне бөліп
(2.2.15)
теңдеуін аламыз. (2.2.15) теңдеуі (2.2.1) гиперболалық типті теңдеудің канондық түрі.
Егер (2.2.1) теңдеуі функциясы мен оның бірінші ретті дербес туындыларына байланысты сызықты болса, онда түрлендірілген теңдеу де сызықты болады, яғни бұл жағдайда гиперболалық типті теңдеудің түрі

түрінде анықталатын болады.
(2.2.15) теңдеуіндегі және айнымаларының орнына

жаңа айнымалыларын еңгізу арқылы (2.2.1) гиперболалық типті теңдеуінің басқа
(2.2.16)
түріндегі канондық түрін алуға болады.
Екінші жағдай. облысында жатқан кез келген нүктелер үшін болсын. Онда облысында (2.2.1) теңдеуі параболалық типті теңдеу болады. Ұйғарым бойынша (2.2.1) теңдеуінің және коэффициенттері бірдей уақытта барлығы нөлге айналмайды, сондықтан теңдігінен облысының әрбір нүктесінде және коэффициенттерінің кем дегенде біреуі нөлден өзгеше болады.
(2.2.17)
жүйесін аламыз. (2.2.17) жүйесінің анықтауышы

болғандықтан, (2.2.17) жүйесінің тек нөлдік шешімі болады. Онда маңайында болады. Бұл маңайында орындалатын теңсіздігіне қайшы. Алынған қайшылық шынында маңайында коэффициентінің нөлге айналмайтындығын көрсетеді. (2.2.3.) теңдеуін коэффициентіне бөліп
(2.2.18)
теңдеуін аламыз. (2.2.18) теңдеуі (2.2.1) параболалық типті теңдеудін канондық түрі.
Үшінші жағдай. облысында жатқан кез келген нүктелер үшін болсын. Онда облысында (2.2.1) теңдеуі эллиптикалық типті теңдеу болады. (2.2.1) теңдеуінің және коэффициентері облысында аналитикалық функциялар болсын деп ұйғарайық. Онда (2.2.12) мен (2.2.13) теңдеулерінің оң жағында тұрған функциялар да және аргументтері бойынша аналитикалық функциялар болады. Сондықтан, Коши – Ковалевская теоремасы бойынша (2.2.12) бірінші ретті жай дифференциалдық теңдеуінің болмайтын нүктесінің маңайында теңсіздігін қанағаттандыратын комплекс мәнді аналитикалық шешімі бар болады.(2.2.2.) түрлендіруі ретінде
(2.2.19)
түрлендіруін алайық. Енді (2.2.19) түрлендіруінің Якобианы

маңайында нөлге айналмайтынын көрсетейік. Қарсы жорыйық, яғни (2.2.19) түрлендіруінің Якобианы маңайының кейбір нүктесінде нөлге айналатын болсын.Онда

теңдігінен
(2.2.20)
теңдігін аламыз. функциясы маңайында аналитикалық функция болғандықтан, бұл функция үшін Коши-Риман шарты орындалады
Сонымен, . Осы функцияны (2.2.6) теңдеуіне апарып қойып

тепе-теңдігін аламыз. Тепе-теңдіктің нақты және жорамал бөліктерін бөліп


теңдіктеріне келеміз. Кейінгі теңдіктерден және екендігі шығады. Сонымен қатар болуы керек, кері жағдайда (2.2.5) теңдігіне қайшылыққа келеміз. (2.2.3) теңдеуін коэффициентіне бөліп
(2.2.21)
теңдеуін аламыз. (2.2.21) теңдеуі (2.2.1) эллиптикалық типті теңдеудің канондық түрі.
4. Даламбер формуласы
Rn+1-кеңістікте шешімі класта жататын толқын теңдеуін
қарастырайық:
U≡∆U-Utt= -F(x, t) (5 .1)
- толқындық оператор деп аталады. Нүкте x=(x1,…,xn)∈Rn, уақыт t≥0
Ω⊂Rn+1 –кез-келген аймақ, оның шекарасы S-үзік жатық бет. Бет S
координаталар осьтеріне параллель түзулермен ақырлы нүктелерде
қиылысады немесе қиылысу нүктелері түзудің кесіндісі.
Егер де функциялар U(x,t), V(x,t)∈ Cx2,,t2(Ω), онда

тепе-теңдіктің орындалатынын тексеру қиын емес. Теңдікті (5.2) Ω аймақ
бойынша интегралдап, Остроградский формуласын пайдалансақ, онда
Мұндағы: N - бет, S - ішкі нормаль. Егер де нормаль N жазықтық t = 0
симметриялы бағыт ν-конормалін енгізсек, онда
Сондықтан (5.3) теңдікті мына түрде жазсақ болады:

Теңдік (5.4) толқындық оператор үшін Остроградский формаласы деп
аталады. Дербес жағдайларды қарастырайық:
а) Аймақ Ω, P(x,t) нүктеден өтетін сипаттаушылар түзулермен жəне C-
қисықпен қоршалсын.
Аймақ Ω ≡ ∆P1PP2 – үшбұрыш, ал функция V(x,t)≡1 болсын, онда (5.4)
формуладан
Сипаттаушылар P1P мен P2P - конормалдың бағыты түзулер P1P мен P2P
бағыттас болғандықтан,

олай болса, (5.5) теңдікті түрлендіріп негізгі интегралдық формуланы
аламыз:
Егер де C осі x кесінді болса, яғни C≡P1P2, онда
Сондықтан (5.6) формуладан,

Даламбер формуласын аламыз.
5. Суперпозиция
Әдетте күрделі есептерді шешу үшін алдымен оларды қарапайым жай есептерге ажыратады. Ол есептерді шешіп жеке шешімдерін анықталып болғаннан кейін олардың қосындысы жоғарғы күрделі есептің шешімі болу жағдайы төменде келтірілген суперпозиция қағидасаларына негізделген.
1 қағида егер Ut (x,t) =1,2,…n LU=p(x) Utt –(pxUx)x1+q(x)*u=Fk (1) x∈(0,l) t>0 мынадай шарт қанағат. F1U=γ1Ux0,t+δ1U(0,t)=0 F2U=γ2Uxl,t+δ2U(l,t)=0 және U(x,0)= φk(x), utx,0=ψk(x) шешім болса, U(x,t)= knAkuk(x,t) LU=knAkFk FjU=0 j=1,2… U(x,0)= knAkφk, Ut (x,t)= knAkψk шарттарды қанағаттандыратын есептің шешімі болады
2 Егер Uk (x,t) k=1,2…n LU=0 FjU=0 есебінің шешімі болса u=knAkuk(x,t) LU=0 FjUk=0
3егер Uk (x,t) k=1,2…n LU=0 FjUk=0 u=knAkuk(x,t), FjU=0 j=1,2… күрделі қағида
4 егер U(x,t,l) ф-я (l∈Ω)
1 LU=0 FjU=0 есептеудің шешімі болсын
2 Ωkxux,t,ldx функциясы үшін жоғарыда Lжәне Fj операторларды интеграл аст енг орынды болсын LV=0 FjV=0

6. Біртекті емес толқын теңдеуі үшін Коши есебі. Дюамель қағидасы
Бұл есепті шешу үшін Дюамель белгісін пайдаланамыз. Дюамель белгісі жай дифференциалдық теңдеулер үшін қолданылатын тұрақтыларды вариациялау әдісінің аналогі болып табылады. Ол біртекті емес дербес туындылы теңдеулерге қойылатын есепті біртекті теңдеулерге қойылатын есепке келтіруге мүмкіндік береді. Сондықтан әуелі Дюамель белгісіне тоқталып өтеміз. Дюамель белгісі. Егер функциясы
(1)
(2)
біртекті толқын теңдеуіне қойылатын Коши есебінің шешімі болса, онда
(3)
формуласымен анықталатын функциясы.
(4)
(5)
біртекті емес толқын теңдеуіне қойылатын Коши есебінің шешімі болады.
Дәлелдеуі. (2) бастапқы шартын ескеріп, (3) функциясы дифференциалдау арқылы
(6)
туындыларын табамыз. (6) туындыларын (4) теңдеуіне апарып қойып, функциясы (1) теңдеуінің шешімі болатындығын ескеріп

тепе-теңдігін аламыз. Бұл тепе-теңдік (3) формуласымен анықталатын функциясының (4) біртекті емес теңдеудің шешімі болатындығын көрсетеді. функциясының (5) бастапқы шартын қанағаттандыратындығы оның түрінен көрніп тұр.

7. 9. Толқын теңдеуі үшін жалғастыру әдісі. Коши есебінің шешімінің жалғыздығы.
толқын теңдеуі үшін қойылатын Коши есебін қарастырайық. (7)
теңдеуінің
(8)
бастапқы шартын қанағаттандыратын класында жататын классикалық шешімін табу керек.
Бұл есептің шешімін екі белгісіз және функцияларының қосындысы түрінде іздестіреміз. функциясын (7) - (8) есебіне қою арқылы


теңдіктерін аламыз. функциясын
(9)
(10)
біртекті теңдеуге қойылатын бастапқы шарттары біртекті емес Коши есебінің шешімі ретінде, ал функциясын
(11)
(12)
біртекті емес теңдеуге қойылатын бастапқы шарттары біртекті Коши есебінің шешімі ретінде таңдаймыз.
(9-(10) Коши есебінің классикалық шешімі кезде
(13)
Кирхгоф формуласы арқылы табылады. (11)- (12) есебінің шешімін табу үшін Дюамель белгісін пайдаланамыз. Ол үшін қосымша тағы бір
(14)
(15)
есебін қарастырамыз.
жаңа айнымалысын енгіземіз. Бұл жағдайда бастапқы шарттар уақыт моментінде берілетін болады және (14)- (15) есебі
(16)
(17)
түрінде жазылады. (16)- (17) есебінің классикалық шешімін кезде Кирхгоф формуласын пайдаланып

формуласы арқылы табамыз. Бұдан қайтадан айнымалысына көшіп (14)- (15) есебінің классикалық шешімін
(18)
формуласы арқылы тауып аламыз.
Сондықтан Дюамель белгісі бойынша (11)- (12) есебінің классикалық шешімі
(19)
формуласы арқылы табылады.
жаңа интегралдау айнымалысын енгізу арқылы (19) формуласын
(20)
түрінде жаза аламыз. Мұнда ішкі интеграл центрі нүктесінде орналасқан радиусы санына тең болатын сфера бойынша, содан кейін сыртқы интеграл -ден -ға дейін радиус бойынша интегралданатындықтан, центрі нүктесінде орналасқан радиусы санына тең болатын жабық шар бойынша интегралдауға, яғни
(21)
формуласына келеміз. Сонымен, біз төмендегідей тұжырымға келдік.
теорема. Егер , ал болса, онда


толқын теңдеуіне қойылатын Коши есебінің жалғыз, орнықты классикалық шешімі бар болады және ол
ф (22)
формуласы арқылы табылады.

8. Интегралдық теңдеулер әдісімен Гурса есебін шешу.
Екі өлшемді кеңістікте екінші ретті гиперболалық
∂2u(x,y)∂x∂y+ax,y∂ux,y∂x+bx,y∂yx,y∂y+cx,yux,y=f(x,y) (1)
теңдеуден ux,y функцияны x=x0, y=y0→сипаттауышында
Ux,y0=φ(x)Ux0,y=ψ(x) (2)
шарт берерде анықтау керек.Мұндағы φ(x), ψ(x) формалар өзара
φx0=ψ(y0) (3)
үйлесімдік шарты және олар φxϵC1x0,x1, ψyϵC'y0,y1,
ал теңдеудегі белгілі a,b,c,f∈C(D1)
мұндағы D1=x0,x1*(y0,y1) жазықтықтағы ⎕ шенелген аймақ . Бұл (1)-(2) есепті шешу мәселесін ∫-дық теңдеулерді шешуге келтіреміз. Ол үшін (1)-ді мына 3- теңдеулермен
түзілген (1)-ге эквивалент :
∂ϑ∂y=f-aϑ-bω-cu ∂ω∂x=f-aϑ-bω-cu∂ϑ∂x=ω (4) теңдеулер жүйесін аламыз
ϑx,y0=∂ux,y0∂x=φ(x)ωy0,x=∂ux0,y0∂y=ψ'(y)Ux,y0=φ(x) (2)теңде-ден (5)-өрнегін аламыз
(4)-ң I, III теңдеулерін y0,yкескесндісінде, ал II-ні x0,x кесінді бойынша интегралдаймыз.
ϑx,y=φ'x+xyfx,ηdξ-y0yaϑ+bω+cu(x,η)dξωx,y=ψx+x0xfξ,ydξ-x0xaϑ+bω+cu(ξ,y)dξU=(x,y)=φx=y0yω(x,η)dξ (6)
Бұл алынған (6) теңдеулер жүйесін шешу (1)- (2) Гурса есебі шешуімен парапар.
Теорема: егер (1)- (2)-лер a,b,c,f∈C(D1), φ∈C'[x1,x2] және φ мен ψ формалар үшін φ(x0)*ψ(y2) берілсе онда Гурса есебінің D1 аймақ шекарасымен қоса тұйық аймақта үздіксіз жалғыз шешімі бар.

10. Толқын теңдеуі үшін шеттік есебінің шешімінің жалғыздығы және функциялар қасиеттері
(1)
теңдеуін толқын теңдеуі, ал бұл теңдеудің шешімін толқын деп атайды. Бұл теңдеу қолданыста жие кездеседі. болған кезде
(2)
теңдеуі кеңістікте таралатын дыбыстың таралу құбылысын сипаттайды.
(1) теңдеуі үшін характеристикалық форма
(3)
болған кезде (1) теңдеуінің шешімін табуда тұжырымы өте маңызды мына лемманы келтірейік.
Лемма: Егер

сфера, ал сферасында берілген екі рет үзіліссіз дифференциалданатын кез-келген нақты функция болса, онда
(4)
формуласымен анықталатын функция (2) теңдеуінің классикалық шешімі болады.
Дәлелдеуі. Лемманы дәлелдеу үшін

алмастыруын енгізіп, (4) формуласын
(5)
түрінде жазамыз. Мұндағы - бірлік сфера ал оның элементар ауданы. (3) формуласынан
(6)
теңдігін аламыз. Сонымен қатар
, (7)
Мұндағы
, (8)
ал сферасының нүктесіне сырттай жүргізілген нормаль вектор.
(7) теңдігін дифференциалдау арқылы
(9)
теңдігіне келеміз.
Тегіс шекарасымен шенелген тұйық облысында өзінің бірінші ретті туындысымен қоса үзіліссіз нақты функциялары үшін Гаусс-Остроградский формуласы
(10)
орындалатындығы математикалық анализ курсынан белгілі факт. Осы формуланы (8) теңдігінің оң жағына қолданып
(11)
формуласын аламыз. Мұндағы - центрі нүктесіне орналасқан радиусы -ға тең болатын ашық шар, ал - элементар көлем. Кеңістіктегі декарттық координаталары мен сфералық координаталары

байланыстары арқылы берілетіндігін ескеріп, (11) теңдігінен
(12)
теңдігін аламыз.
(9) теңдігін ескеріп,
(13)
теңдігіне келеміз. (6) мен (13) формулаларын салыстырып, біз (4) формуласымен анықталатын функциясының (2) теңдеуінің классикалық шешімі болатынығын көреміз.
Айта кететін жәйт,

өрнегі функциясының сферасы бойынша алынған интегралдық ортасын анықтайды.
11. Біртекті теңдеу үшін шекаралық есептерді Фурье әдісімен шешу. Штурма–Лиувиль есебінің меншікті мәні мен меншікті функциясы, қасиеттері.
Фурье әдісінің жалпы схемасы. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер үшін қойылатын шекаралық есептерді шешу үшін ең бір көп тараған эффектілі әдістердің бірі – Фурье әдісі. Ол сызықты біртекті шекаралық есептерді шығаруға қолданылады. Бұл әдісті көбінесе басқаша айнымалыларды ажырату немесе өзіндік функциялар әдісі деп те атайды.
Фурье әдісінің негізгі идеясы, дербес туындылы дифференциалдық теңдеу үшін қойылатын шекаралық есептерді жай дифференциалдық теңдеулер үшін қойылатын шекаралық есептерге немесе тәуелсіз айнымалылар саны азырақ болатын дербес туындылы дифференциалдық теңдеуге келтіру. Мысалы, егер теңдеу екі және тәуелсіз айнымалыларын қамтитын болса, онда бұл теңдеудің U(x,t) шешімін жай дифференциалдық теңдеулердің шешімі болатын және функцияларының көбейтіндісі түрінде іздестіріледі. Нәтижесінде осы теңдеудің дербес шешімдері табылады. Сосын осы шешімдердің сызықты комбинациясынан алғашқы шекаралық есептің шешімі құрастырылады.
Енді осы әдісті пайдаланып, кейбір қарапайым шекаралық есептердің шешімін алу жолдарын толық зерттейік.
Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін қойылатын шекаралық есепті шешу.
Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін қойылатын бастапқы – бірінші шекаралық есепті қарастырайық:
(9.2.1)
теңдеуінің
(9.2.2)
шекаралық шарттарды
(9.2.3)
бастапқы шартын қанағаттандыратын класында жататын классикалық шешімін табу керек.
Бұл есептің шешімін Фурье әдісін пайдаланып табамыз.
1-қадам. (9.2.1) теңдеуінің шешімін түрінде іздестіреміз. және функцияларын табу үшін U(x,t) функциясының дербес туындысын тауып, (9.2.1) теңдеуіне апарып қоямыз:

(9.2.4)
(9.2.4) теңдеуінің сол жағы айнымалысына, ал оң жағы айнымалысына байланысты функциялар. және тәуелсіз айнымалылар бір-біріне тәуелсіз болғандықтан (9.2.4) теңдеуінің әрбір жағы тұрақты болуы керек. Осы тұрақтыны - деп белгілейік. ( алдындағы «-» таңбасы есепті шығаруға ыңғайлы болу үшін алынған). Онда

немесе
а) , ә) .
Енді а) және ә) жай дифференциалдық теңдеулерді шешу керек. Көңіл аударатын бір жағдай: (9.2.2) шекаралық шарттарды пайдаланып, ә) жай дифференциалдық теңдеудің жалпы шешімін емес, оның

шекаралық шарттарын қанағаттандыратын дербес шешімін іздестіреміз.
2-қадам.

Штурм-Лиувилль есебін шешеміз. Бұл есептің меншікті мәндері , ал өзіндік функциялары формуласы арқылы табылатындығы ІIІ тарауда көрсетілген болатын.
3-қадам. -параметрінің табылған мәндерін а) теңдеуіне қойып, оны шешеміз:

4-қадам. 2-3 қадамдардың нәтижесін пайдаланып (9.2.1) теңдеуінің дербес шешімдерін жазамыз:

(9.2.1) теңдеуі біртекті және сызықты болғандықтан оның дербес шешімдерінің сызықты комбинациясынан тұратын
(9.2.5)
функциясы оның шешімі болады және (9.2.2) шекаралық шарттарын қанағаттандырады.
5-қадам. (9.2.3) бастапқы шартын пайдаланып (9.2.5) теңдігіндегі коэффицентін анықтаймыз:
. (9.2.6)
(9.2.6) теңдігінен бастапқы функциясы Штурм-Лиувилль есебінің өзіндік функциялары арқылы Фурье қатарына жіктеліп тұрғанын көреміз. Бұл жағдайда Фурье қатарының коэффиценттерін
(9.2.7)
формулалары арқылы табамыз. Осы коэффициенттерді (9.2.5) теңдігіне апарып қойып, берілген (9.2.1)-(9.2.3) есебінің формальді шешімін аламыз.

12, 14. Біртекті емес теңдеу үшін шекаралық есептерді Фурье әдісімен шешу.
Біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеуі үшін қойылатын шекаралық есепті шешу. Біртекті емес жылуөткізгіштік теңдеуіне қойылатын бастапқы – бірінші шекаралық есепті қарастырайық:
(9.3.1)
теңдеуінің
(9.3.2)
шекаралық шарттарды
(9.3.3)
бастапқы шартын қанағаттандыратын класында жататын классикалық шешімін табу керек.
Әдетте біртекті емес дифференциалдық теңдеуге қойылатын шекаралық есептердің шешімін табу үшін оны шешімдерінің қосындысы берілген есептің шешімін анықтайтындай етіп қосымша есептерге жіктейді. Нақты қандай есептерге жіктеу керектігін анықтау үшін берілген есептің шешімін белгісіз функциялардың қосындысы түрінде іздестіреді. Осы әдісті пайдаланып, (9.3.1)– (9.3.2) есебін қосымша есептерге жіктейік. Ол үшін оның шешімін
(9.3.4)
түрінде іздестіреміз және белгісіз функциялары қандай есептердің шешімі болатындығын анықтау үшін (9.3.4) формуласымен анықталатын функцияны (9.3.1-9.3.3) есебіне апарып қоямыз.
(9.3.5)
(9.3.6)
(9.3.7)
(9.3.5)- (9.3.7) теңдіктерінен функциясын келесі
(9.3.8)
(9.3.9)
(9.3.10)
теңдеу біртекті, бастапқы шарт біртекті емес, шекаралық шарттары біртекті болатын бірінші қосымша есептің шешімі болатындай, ал функциясын келесі
(9.3.11)
(9.3.12)
(9.3.13)
теңдеу біртекті емес, бастапқы және шекаралық шарттары біртекті болатын екінші қосымша есептің шешімі болатындай таңдаймыз. Әрі қарай төмендегідей қадамдар жасаймыз.
1-қадам. (9.3.8)- (9.3.10) бірінші қосымша есептің шешімін табамыз. Бұл есепті 9.2 пунктінде қарастырған болатынбыз. Оның классикалық шешімі функцияның кесіндісінде үзіліссіз бірінші ретті туындысы бар болып, шарттарын қанағаттандырған кезде (9.3.5) формуласы арқылы, яғни
(9.3.14)
қатары арқылы анықталады. Мұндағы формуласы арқылы табылады. Сонымен, функциясын таптық.
2-қадам. (9.3.11)- (9.3.13) екінші қосымша есептің шешімін табамыз. Екінші қосымша есептің шешімін
(9.3.15)
түрінде іздестіреміз. Мұндағы – белгісіз табуды қажет ететін функция. (9.3.15) - облысында бірқалыпты жинақталатын және аргументтері бойынша мүшелеп дифференциалдауға болатын қатар деп ұйғарайық. Онда оның қосындысы функциясы (9.3.12) бастапқы шартты қанағаттандыратын болады. (9.3.15) қатарына (9.3.12) бастапқы шартын қойып, функциясы үшін
(9.3.17)
шартын аламыз.
Берілген функциясы кесіндісінде аргументі бойынша Фурье қатарына жіктелетін болсын, яғни
, (9.3.18)
мұндағы
. (9.3.19)
(9.3.15) қатарын (9.3.11) теңдеуіне апарып қойып,
(9.3.20)
теңдігін аламыз. функциясының (9.3.18) және (9.3.20) жіктеулерін салыстыра отырып, жіктеудің жалғыздығын ескеріп,
(9.3.21)
біртекті емес, сызықты коэффициенттері тұрақты бірінші ретті жай дифференциалдық теңдеуіне келеміз.
Сонымен, функциясын анықтау үшін (9.3.21) дифференциалдық теңдеуімен (9.3.17) бастапқы шартын таптық. Бұл – функциясына байланысты Коши есебі. Коши есебін шешу үшін сызықты жай дифференциалдық теңдеулер теориясының нәтижелерін қолданамыз.
(9.3.21) теңдеуінің жалпы шешімін тұрақтыларды вариациялау әдісін пайдаланып құрамыз. Әуелі (9.3.21) теңдеуіне сәйкес келетін біртекті емес теңдеудің жалпы шешімін
(9.3.22)
түрінде іздестіреміз. Мұндағы белгісіз функциясы

теңдігінен анықталады. Бұдан интегралдау арқылы
,
теңдігін аламыз. функциясының мәнін (9.3.22) теңдігіне апарып қойып, (9.3.21) дифференциалдық теңдеуінің
(9.3.23)
жалпы шешімін аламыз. (9.3.23) теңдігінен бастапқы шартты ескеріп, болатындығын көреміз. Сонымен, егер функциясы кесіндісінде үзіліссіз болған кезде Коши есебінің шешімі
(9.3.24)
формуласы арқылы анықталатын болады. Табылған функциясының мәнін (9.3.15) теңдігіне апарып қойып, екінші қосымша есептің
(9.3.25)
формальді шешімін табамыз. Мұндағы функциясы (9.3.15) формуласы арқылы табылады.

13. Жылуөткізгіштік теңдеуі. Коши есебі. Пуассон формуласы.
Шексіз аймақтағы біртекті жылу өткізгіш
(36)
теңдеуінің
(37)
бастапқы шарт белгілі болғанда шешімін анықтау керек. Мұндағы белгілі - үзіліссіз және шенелген, яғни үшін болсын.
Тұрпаттама шешімі
Есептің шешімін Фурье тәсілімен
(38)
түрінде іздейміз. әзірше тұрпаттама түрде
(41)
өрнектеледі; мұны әдетте Пуассон формуласы (интегралы) деп атайды.
Шешімнің регулярлығы
Енді (41) өрнекті (36) - (37) есептің үзіліссіз регулярлық шешімі екенін дәлелдейік.
Алдымен
(42)
функция (36) теңдеуді қанағаттандыратынын көрсетейік:

Міне бұл екі өрнектен

теңбе-теңдігі шығады. Әдетте (42) функцияны жылу өткізгіш теңдеудің іргелі шешімі деп айтады.
Енді (41) өрнектің есептегі (37) бастапқы шартты қанағаттандыратынын көрсетейік. Ол үшін алдымен мына тұжырымды дәлелдеу керек.
Лемма. Егер функция аралықта үзіліссіз және шенелген болса, онда (41) Пуассон интегралы мәндерінде шексіз дифференциалданады, ол туындылар интеграл астында есептелінеді.
Теорема. Егер функция сан өсте үзіліссіз және шенелген болса, онда (41) Пуассон интегралы (36) - (37) есептің регулярлық шешімі болады.
Қорытынды. Егер функция сан өсте үзіліссіз және шенелсе, онда Пуассон интегралы:
Жылу өткізгіш теңдеуін қанағаттандырады;
Коши шартын қанағаттандырады;
Коши есебінің шешімі (Пуассон интегралы) шексізм интеграл астында дифференциалданады.
Сол интеграл шамасындай жылу өте үлкен жылдамдықпен тарайды.

16. Жылуөткізгіш теңдеу үшін Коши есебін айнымалыға жіктеу–Фурье тәсілімен шешу
Жазықтықта жан-жағынан бекітілген, қабырғалары және болатын тік төртбұрышты мембрана бастапқы ауытқу мен бастапқы жылдамдық арқылы тербеліске түсетін болсын. Мембрананың тепе-теңдік жағдайынан ауытқуын сипаттайтын U(x,y,t) функциясын табу үшін
(9.9.1)
тербеліс теңдеуінің
(9.9.2)
бастапқы шарттарын
(9.9.3)
(9.9.4)
шекаралық шарттарды қанағаттандыратын класында жататын классикалық шешімін табу керек.
1-қадам . (9.9.1) теңдеуінің шешімін және функцияларының көбейтіндісі түрінде іздестіреміз, яғни . және функцияларын табу үшін U(x,y,t) функциясының дербес туындыларын табып, (9.9.1) теңдеуіне қойып, айнымалыларын ажыратып, функциясы үшін
(9.9.5)
теңдеуін, ал v(x,y) функциясы үшін
(9.9.6)
(9.9.7)
(9.9.8)
шекаралық есебін аламыз.
2 – қадам. (9.9.6) – (9.9.8) есебін Фурье әдісін қолданып шешеміз, яғни шешімін

түрінде іздестіреміз. Айнымалыларды ажыратып, және функцияларына байланысты



(мұндағы , шамалары теңдігімен байланысты тұрақтылар) меншікті мән туралы бір өлшемді есептерді аламыз. (9.9.9)-(9.9.10) мен (9.9.11)-(9.9.12) есептерінің сәйкесінше шешімдері


формулалары арқылы өрнектеледі. Сондықтан (9.9.6)-(9.9.8) есебінің

меншікті мәндеріне

өзіндік функциялары сәйкес келеді. Мұндағы - қандай да бір тұрақты көбейткіш. Осы көбейткішті функцияларының нормасы

болатындай етіп таңдап аламыз. Бұдан

- жүйесінің ортогональді жүйе құрайтыны айқын. Сондықтан
(9.9.13)
функциялары (9.9.6)-(9.9.8) тікбұрышты мембрананың ортонормаланған өзіндік функциялар жүйесін құрайды.
3 – қадам. - параметрінің табылған

мәндерін (9.9.5) теңдеуіне қойып, оны шешеміз:



4 – қадам. 2-3 қадамдарының нәтижелерін пайдаланып, (9.9.1) теңдеуінің дербес шешімдерін жазамыз:

(9.9.1) теңдеуі біртекті және сызықты болғандықтан, оның дербес шешімдерінің сызықтық комбинациясынан тұратын
, (9.9.14)
мұндағы функциясы (9.9.13) формуласымен анықталады, функциясы да оның шешімі болады және ол (9.9.3)-(9.9.4) шекаралық шарттарын қанағаттандырады.
5 – қадам. Бастапқы шарттарды пайдаланып, (9.9.14) теңдігіндегі және коэффициенттерін анықтаймыз. Ол үшін ең бірінші (9.9.14) қатарын формальді аргументі бойынша дифференциалдаймыз:
(9.9.15)
(9.9.14) және (9.9.15) қатарларындағы -нің орнына 0 қойып, бастапқы шарттарды ескеріп
(9.9.16)
(9.9.17)
теңдіктерін аламыз.
Фурье қатарлар теориясынан белгілі (9.9.16), (9.9.17) қатарлары берілген және функцияларын (9.9.6)-(9.9.8) есебінің өзіндік функциялары арқылы Фурье қатарына жіктеліп тұрғанын көрсетеді, онда оған сәйкес келетін Фурье қатарының коэффициенттерін
,

формулалары арқылы табамыз. Осы коэффициенттерді нақты бастапқы және функциялары үшін есептеп және олардың табылған мәндерін (9.9.14) теңдігіне апарып қойып, берілген (9.9.1)-(9.9.4) есебінің шешімін табамыз.
Фурье еселі қатарлар теориясын қолданып (9.9.14) қатарының жинақталатындығын және оны мүшелеп дифференциалдауға болатындығын негіздеуге болады.

17. Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін Грин функциясы әдісі.
Дирихле есебі үшін Грин функциясы. (12.1) – Пуассон теңдеуінің шешімін табуға Гриннің негізгі формуласын қолданып,
(12.1.1)
теңдігін аламыз. Белгілі функциясы төмендегі, яғни
1) нүктесінің координаталарына байланысты облысында бірінші ретті үзіліссіз дербес туындылары бар, ал облысында гармониялық функция;
2) - бетінде - шектік мәнді қабылдайтын функция;
шарттарын қанағаттандыратын болсын.
және функцияларына Гриннің екінші формуласын қолданып,

немесе екендігін ескеріп,
(12.1.2)
теңдігін аламыз. (12.1.1) теңдігінен (12.1.2) теңдігін алу арқылы
(12.1.3)
теңдігіне келеміз. Осы теңдіктегі функциясын Пуассон теңдеуіне қойылатын ішкі Дирихле есебінің Грин функциясы деп атайды және оны деп белгілейді. Сонымен,


18. Жылуөткізгіштік теңдеуі үшін экстремум қағидасы және салдары.
Параболалық типтегі жылу өткізгіш
(1)
теңдеуін қарастыралық, мұндағы деп мезеттегі нүктедегі жылу (температура), ( - жылу өткізгіштік коэффициент, - ішкі сиымдылық, - тығыздық).
А) Аралас есеп: (1) теңдеуден шекарасы бет аймақта уақытта
(2)
шекаралық және
(3)
бастапқы шарттарды қанағаттандыратын -температураны анықтау керек.
Б) Коши есебі: - жолақта (1) теңдеудің (3) бастапқы шартты - шексіз аймақта (сан осі, шексіз жазықтық немесе үш өлшемді шексіз кеңістік) қанағаттандыратын шенелген шешімін анықтау керек.
Егер жағдайды қарастыру үшін нүктедегі
(4)
- жұп (немесе ), -тақ (немесе ) болуына байланысты функцияны - жарты өске жұп - тақ жалғастырып қарау керек.
Максимум қағидасы
Аралас есептегі шешімнің жалғыздығы мен берілген шамаларға тәуелділік мәселелерін тексеру және Коши есебінің шешімінің жалғыздығын дәлелдеу максимум қағидасына тікелей байланысты.
Мына
аймақта максимум қағидасын келтірейік.
Біртекті жылу өткізгіштік теңдеудің регулярлық шешімі тұйық аймақтың барлық нүктелерінде үзіліссіз болып өзінің ең үлкен және ең кіші мәндеріне тек аймақтың шекарасы - да ие, болмаса моментке ие болады.
Салдар. Егер жылу өткізгіш теңдеудің регулярлық және тұйық аймақта үздіксіз шешімдері ол аймақ шекарасында теңсіздікті қанағаттандырса, онда бұл теңсіздіктің - цилиндрдің барлық нүктелері үшін де орынды, яғни
.
Тақырыбы: Максимум қағидасының қолдануы
1-теорема.
(7)
аралас есептің регулярлық және тұйық аймақта үзіліссіз шешімі жалғыз.
2-теорема. Аралас (7) есептің тұйық аймақта үзіліссіз шешімі тиянақты.
Ескерту. Келтірілген екі теореманың тұжырымдары жылу өткізгіш теңдеуі үшін қойылған басқа түрлі аралас есептер үшінде орынды.
3-теорема. Мына Коши есебінің
(8)
регуляр, шенелген шешімі жалғыз.

19. Лаплас теңдеуі. Фундаментальды шешім. Гармоникалық және аналитикалық функциялар.
Лаплас теңдеуі
,
Пуассон теңдеуі
, т.б. теңдеулер.
Біз эллиптикалық теңдеулердің кеңістіктердегі есептерімен шұғылданамыз.
- айнымалы, - параметрлі нүктелер; - және векторлардың скаляр көбейтіндісі; - және нүктелердің ара қашықтығы деп қабылдаймыз.
Екі - тұрақтандырылған, ал - айнымалы нүктлер болса, онда центрі нүктеде радиусы болған - сфера, ал - шар деп айтамыз.
Егер радиус болып, аймақ шар ішінде, яғни орында болса, онда аймақ шенелген деп айтылады.
Бір байланысты бет ( жағдайда) аймақты - ішкі және - сыртқы, шексіз нүктелерді қамтитын аймақтарға ажыратады. Шенелген аймақ шекарасын (немесе ) әрпімен белгілейік; деп сол бетке сырттай тұрғызылған - бірлік вектор, мұндағы - вектордың бағыттаушы косинустары.
Егер болып Лаплас теңдеуін аймақта қанағаттандырса, оны Лаплас теңдеуінің регулярлық шешімі деп айтады; оны әдетте гармониялық функция дейді. Ал, егер Лаплас теңдеуінің шешімі функция шексіздік нүкте төңірегінде: жазықтықта шенелген, ал кеңістікте түрінде баяу азайса ( ұмтылғанда), яғни жалпы жағдайда болса, онда функцияны шексіздікте регулярлықта деп айтады.
2. Есептің қойылуы
Лаплас теңдеуіне шекаралық есептердің қойылуларын көрсетейік (басқа эллиптикалық теңдеулерге осылайша, кейбір өзгерістер болуы мүмкін).
А) Дирихленің ішкі есебі : ;
б) Дирихленің сыртқы есебі : ;
шексіздікте регулярлы шешімді анықтау керек.
В) Нейманның ішкі есебі : ;
г) Нейманның сыртқы есебі : шексіздікте регуляр шешімін анықтау керек;
д) Жалпылама (үшінші текті) ішкі және сыртқы есептер:
регуляр функцияны анықтау керек.

§2 Лаплас теңдеуінің іргелі шешімдері
Анықтама. Лаплас теңдеуінің тек арақашықтыққа – айнымалы нүктемен параметрлік нүктеге дейінгі қашықтыққа тәуелді шешімін оның іргелі немесе элементар (қарапайым) шешімі деп атайды.
А) , яғни теңдеудің іргелі шешімін анықтайық. Ол үшін поляр координаталар жүйесіне өтейік:
. (1)
Іргелі шешімінің анықтамасы бойынша (1) теңдеудің шешімі - тек ара қашықтыққа тәуелді функция болуы керек, сондықтан (1) теңдеу

түріндегі екінші ретті жай дифференциалдық теңдеуге айналады. Оны екі рет интегралдап - түріндегі жалпы шешімін аламыз, мұндағы - еркін тұрақты шамалар, мәселен деп алып, жағдайдағы Лаплас теңдеуінің
(2)
іргелі шешмін анықтаймыз.
Б) . Бұл жағдайда сфералық координаталар жүйесіне өтіп, одан кейін жоғарыдағыдай іргелі шешім анықтамасын ескеріп Лаплас теңдеуін

түріндегі екінші ретті жай дифференциалдық теңдеуді аламыз, оны екі рет интегралдап
, мұндағы еркін тұрақтыларда жоғарыдағыдай таңдап алып
(3)
жағдайдағы Лаплас теңдеуінің іргелі шешімін анықтаймыз. Алынған (2), (3) – іргелі шешімдерін біріктіріп
(4)
іргелі шешімдерді жазамыз.
Бұл (4) өрнектен іргелі шешімінің нүктеден басқа жерлерде гармониялық функция екендігін көреміз, яғни
.
Оның үстіне (4) өрнектен кеңістікте іргелі шешім регуляр функция, ал - жазықтықта шексіздікте логарифмдік ерекшелікте болады.
Іргелі шешімнің физикалық мағынасын анықтау үшін алдымен іргелі шешім - тан - нормаль вектор бағыты бойынша туындыны есептейік. Мына - айнымалы, - тұрақтандырылған нүктелер деп
алып
,
есептейміз, бірақ мұндағы болғандықтан
,
демек

мұндағы - вектор мен вектор арасындағы бұрыш. Бұларды біріктіріп
(5)
егер вектормен векторлар бағыттас болса, онда (5) өрнек
(5’)
түрінде жазылады, себебі .
Егер бұл өрнектердегі пен нүктелердің мағыналарын кері қабылдасақ, онда
демек,
(6)
орынды.
Ньютон потенциалы. кеңістіктегі тұрақтандырылған нүктеде бірлік оң заряд орналасқан деп алайық. Ол заряд, Кулон заңы бойынша, төңірегінде электр өрісін жасайды. Қолайлы бірлік жүйе таңдап алып, ол өріс күшін

түрінде өрнектеп, ол күш нүктеден нүктеге қарай бағытталған. Бұл күштің вектор бағытына проекциясы
(7)
болады. Енді осы (7) өрнекпен (5) - іргелі шешімнің бағыт бойынша туындысын салыстырып, мынадай қорытындыға келеміз: Лаплас теңдеуінің іргелі шешімі деп нүктеде орналасқан бірлік зарядтың электр өрісінің электростатистикалық потенциалы екенін көреміз.

20. Лаплас операторы үшін Грин формулалары. класта функцияның интегралды өрнектелуі.
Грин функция анықтамасы және оның кейбір қасиеттері
Шенелген аймақ, ал оның шенелген жатық шекарасы болсын және берілсін. Жоғарыда мүндай функция үшін төмендегі интегралдық өрнекті
(51)
алғанбыз, мұндағы болса кеңістіктегі бірлік сфера бетінің ауданы, ал болса Лаплас теңдеуінің іргелі шешімі:

Егер мұндағы - гармониялық функция болса, онда (51) өрнектің оң жағындағы соңғы интеграл нөлге тең болып, нәтижеде пайда болған өрнекті гармониялық функцияның интегралдық кескіні деп атайды. Бұл кескін бойынша гармониялық функцияның аймақтағы өзінің және нормал вектор бойынша туындысы белгілі болса, онда интегралдық өрнек бойынша сол гармониялық функция барлық тұйық аймақта анықталады.
Бірақ гармониялық функция үшін қойылған Дирихле есебінде белгілі де, ал белгісіз; Нейман есебінде керісінше.
Сол шенелген аймаққа айнымалы бойынша гармониялық функция болатын функция енгізейік. және функциялар үшін Гриннің екінші формуласын
(52)
жазайық; оны шамаға көбейтіп (51) - мен, сәйкес мүшелерін қосайық, нәтижеде
(53)
мұндағы
. (54)
Егер еркін алынған гармониялық функцияны болатындай таңдап алсақ, онда соңғы теңдеудегі бар интеграл нөлге айналады. Бұл жағдайда жоғарыдағы Дирихле есебіндегі белгісіз шама болмайды да есеп оңай шешіледі.
Анықтама. Егер (54) өрнектеп алынған функция
10 Лаплас теңдеуінің іргелі шешімімен аргументі бойынша аймақта гармониялық функция қосындысына тең, яғни (54) орынды болса;
20 Ол бетте шартты қанағаттандырса, оны Грин функциясы деп атайды.
2. Бұл функцияның кейбір айқын қасиеттерін қарастырайық
1-қасиеті. функция аргументі бойынша шенелген аймақта жағдайда гармониялық және үзіліссіз функция болады.
2-қасиеті. Грин функциясын құру үшін мына Дирихле есебін

шешу керек.
3-қасиеті. Егер Грин функциясы бар болса, ол жалғыз.
4-қасиеті. Грин функциясы аймақта теріс емес.
1-ескерту. (56) және (58) Дирихле есептерінің (57) және (59) шешімдерінің жалғыздығымен тиянақтылығы сол шешім өрнектерінен шығады.
2-ескерту. Бұл Дирихле есептерінің шешімдерін құруда есептің шешімінің аймақта үзіліссіз дифференциалданатын пайдаландық.
Егер бет Ляпунов типіндегі болса, онда жоғарыдағы шешім үшін орынды.
5-қасиеті. Грин функциясы аргументтерін салыстырғанда симметриялы функция, яғни

және Грин функциясы аргументтерінің біреуін тұрақталса екінші координатасы бойынша Лаплас теңдеуін қанағаттандырады; яғни егер тұрақтандырылса, онда үшін және керісінше .

21. Гармониялық функциялардың қасиеттері1-теорема. (Нормалдық туындының интегралы). Егер u(x) функциясы D+ шенелген аймақта u(x)∊C1(D)-гармониялық функция болса, онда ол функцияның сол аймақтың сыртында тұрғызылған нормаль туындысы болады
νy,∂u(x)∂νdσy=0, (1)Салдар. Егер Лаплас теңдеуі үшін Нейманның ішкі N+есебін∆u=0, ∂u∂ν σ=fx,y, (2)қарастырсақ, онда осы есептің шешілуі үшін INCLUDEPICTURE "http://kze.docdat.com/tw_files2/urls_4/204/d-203913/203913_html_m4a9ffccb.gif" \* MERGEFORMATINET f(x,y)dσy=0, (3)орындалуы қажетті.2-теорема. (дифференциалданатыны) Егер u(x) функция D аймақта гармониялық болса, ол сол аймақта шексіз дифференциалданады.3-теорема. (орта мәні туралы) Егер u(y) функция K(x,R)- шарда гармониялық және тұйық K(x,R) сферада үзіліссіз болса, онда u(x) функцияның сферадағы орта мәні сол сфераның центріндегі мәніне тең, яғни u(x)=1ωnRn-1uydσy, 4
немесе u(x)=1σuydσy, (5) .
Шар үшін Дирихле есебінің шешуі. Пуассон формуласы.
Дөңгелек үшiн Дирихле есебiн қарастырайық:

Шешуi Есептiң шешiмiн

=




kB
kA
rA
yxukknksincos,
1
0






түрiнде iздейiк. Осы қатарды шекаралық шартқа қойып, мынадай теңдiк аламыз

Мұнда
Осы теңдiктiң екi жағындағы Фурье коэффициенттерiн салыстырып барлық Ak және Bk коэффициенттерi және болғанда нөлге тең екенiн көремiз.

Осыдан , болады да есептiң шешiмiн мына түрде жазамыз.

айқын түрдегі шешімдерді аламыз.

23. Лаплас теңдеуі үшін шекаралық есептің шешімінің жалғыздығы.
Th-1. Дирихле ішкі есебінің жалғыздығы D+ ∆u(x)=0, u(x)δ=fx, x∈D+ есебінің шешімі жалғыз.
Дәлелденуі: Кері жоримыз. Есептің шешімі u1xжәне u2x. ∆(u1-u2)=0
uδ=0u≡0u1=u2Th-2. Дирихле сыртқы есебінің жалғыздығы D- ∆u(x)=0, u(x)δ=fx, x∈D- есебінің шешімі жалғыз.
Дәлелденуі: Инверсиялық және Кельвин түрлендірулері бойынша а=1 деп алайық, x=x'x'2x'=xx'2, x∈D-, x'∈D'+, ϑx'=xn-2u(x), мұндағы u(x)- D- есебіндегібелгісіз функция.
Ішкі есеке келтірдік ∆ ϑx'=0, x'∈D'+, ϑx'δ=1x'n-2fx'x'2=F(x) Демек ϑx' үшін ішкі есеп алдық. Оның шешімі жалғыз.

24. Көлемдік және беттік потенциалдар
Дирихле және Нейман есептерін шар және жартылай кеңістіктен басқа облыстарда қарастыру үшін

интегралдарын бөлек – бөлек қарастыру керек. және интегралдарын сәйкесінше көлемдік, қос қабаттық, жай қабаттық потенциалдар деп, ал және функцияларын олардың тығыздықтары деп атайтындығын өткен дәрісте айтқан болатынбыз.
14.1. Көлемдік потенциал.
(14.1.1)
көлемдік потенциалын қарастырайық, мұндағы - ақырлы облыс. - функциясы облысында шенелген және интегралданатын болсын деп ұйғарайық. Егер нүктесі облысында жатпаса, онда (14.1.1) – интегралы меншікті интегралды анықтайды. Бұл жағдайда функциясы үзіліссіз және оның барлық ретті дербес туындылары болады. Бұл туындыларды интеграл белгісі астынан дифференциалдау арқылы табуға болады. Осылармен қатар функциясы кеңістіктің облысының нүктелерінен басқа нүктелерінде - Лаплас теңдеуін қанағаттандырады.
Енді нүктесі шексіздікке кез-келген бағыт бойынша ұмтылған кезде, функциясы нөлге ұмтылатындығын, яғни

теңсіздігін қанағаттандыратындығын көрсетейік.
Декарттық координаталар жүйесінің бас нүктесі - облысында жатсын. Онда немесе теңсіздігі орындалады. - облысының диаметрін - деп белгілейік. Онда болады. - нүктесі бас нүктеден болатындай өте алыс орналасқан деп ұйғарайық. Бұл жағдайда

немесе

теңсіздігі орындалады. Осы теңсіздікті ескеріп,

теңсіздігін аламыз. Мұндағы

Сонымен, - көлемдік потенциал кеңістіктің - облысының сыртында гармониялық функция.
Енді нүктесі облысының ішінде жатсын. Онда (14.1.1) интегралы меншікті емес интегралды анықтайды. тығыздығы шенелген болғандықтан, (14.1.1) меншікті емес интегралының жинақталатындығы шығады, өйткені
.
Сонымен қатар, потенциалы және оның бірінші ретті дербес туындылары кеңістіктің барлық нүктелерінде үзіліссіз және оларды интеграл белгісінің астынан дифференциалдау арқылы табуға болатындығын көрсетуге болады.
Көлемдік потенциалдың екінші ретті дербес туындылары бар болу үшін оның тығыздығына қосымша шарттар қою қажет.
14.1.1-теорема. Егер тығыздығы - тұйық облысында үзіліссіз және - облысының ішкі нүктелерінде оның үзіліссіз бірінші ретті дербес туындылары бар болса, онда (14.1.1) көлемдік потенциалының облысының ішкі нүктелерінде үзіліссіз екінші ретті дербес туындылары бар болады және ол

Пуассон теңдеуін қанағаттандырады.
Сонымен, егер болса, онда

көлемдік потенциалы

Пуассон теңдеуінің дербес шешімін анықтайды.
14.2. Ляпунов беті. Жай және қос қабаттық потенциалдардың қасиеттерін қатаң анықтау үшін осы қабаттар орналасқан беттер қандай да бір шарттарды қанағаттандыруы қажет. Тұйық беті төмендегідей үш шартты қанағаттандыратын болсын:
1. - бетінің кез-келген нүктесінде жанама жазықтық жүргізуге болады;
2. - бетінің кез-келген нүктесінің маңайына радиусы нүктесіне байланысты емес, ішіне бетінің тек нүктесі арқылы өтетін - нормаль векторына паралелль болатын түзулердің саны бірден артық болмайтын бөлігі жататын, сырттай шар құруға болады;
3. Егер - бетінің нүктелері арқылы жүргізілген нормалдардың арасындағы сүйір бұрыш, ал - осы нүктелердің ара-қашықтығы болса, онда

теңсіздігі орындалатын болады;
Мұндай бетін Ляпунов беті деп атайды.
- Ляпунов бетінің кез-келген нүктесі болсын. Бірінші шарт - нүктесін бас нүктенің орнына осы нүкте арқылы өтетін жанама жазықтық ретінде жазықтығын, ал нормаль түзуді өсі ретінде алып, Ляпунов бетінің - нүктесінде - декарттық координаталар жүйесін құруға мүмкіндік береді. Екінші шарт Ляпунов бетінің центрі нүктесінде, радиусы - санына тең болатын сферасының ішінде жататын бөлігінің жоғарыда анықталған декарттық координаталар жүйесінде анықталатын теңдеуін айнымалысы бойынша шешуге, яғни түрінде жазуға болатындығын көрсетеді. Үшінші шарттан және дербес туындыларының аргументтері бойынша үзіліссіз болатындығы шығады.
14.3. Қос қабаттық потенциал. Ляпунов бетінде берілген тығыздығы үзіліссіз болатын
(14.3.1)
қос қабаттық потенциалын қарастырайық. Қос қабаттық потенциалдың бетінде жатпайтын нүктелерде барлық ретті туындылары бар болады және ол Лаплас теңдеуін қанағаттандырады. Шексіздікте қос қабаттық потенциалдың нөлге ұмтылатындығын көрсетейік. Ол үшін бас нүктені бетімен шенелген облысының ішінен алайық. Онда

немесе

теңсіздігі орындалады. Бас нүктеден бетінде жататын нүктелерге дейінгі ара-қашықтықтардың ең үлкенін деп белгілейік. Онда

болады. - нүктесі бас нүктеден болатындай өте алыс орналасқан деп ұйғарайық. Бұл жағдайда

немесе

теңсіздігі орындалады. векторымен бетінің нүктесіне сырттай жүргізілген векторының арасындағы бұрышты деп белгілейік. Онда (14.3.1) формуласын

теңдігі түрінде жазуға болады. Осыдан

теңсіздігін аламыз. Мұндағы

Сондықтан қос қабаттық потенциал шексіздікте сияқты нөлге ұмтылады.
Ілгеріде біз қос қабатты потенциалдың қасиеттерін дәлелдеусіз келтіреміз. нүктесі бетінде жататын болсын. Онда өрнегінің мәні мен беттескен кезде нөлге айналады. Бұл жағдайда (14.3.1) интегралы жинақталатын меншіксіз интеграл болатындығын көрсетуге болады. Сонымен қос қабаттық потенциал кеңістіктің барлық нүктелерінде анықталады.
Егер нүктесі бетінде жатса, онда (14.3.1) интегралының нүктесіндегі мәнін қос қабаттық потенциалдың тура мәні деп атайды. - бетінде жататын нүктесіне жақындайтын, бірақ бетіне жатпайтын нүкте болсын. Егер жақындасу қос қабаттық потенциалдың қандайда бір ақырлы шекке ұмтылуын қамтамасыз ететін болса, онда біз қос қабаттық потенциал нүктесінде шектік мәнін қабылдайды дейміз. Қос қабаттық потенциалдың тура мәнімен шектік мәні жалпы жағдайда бір-бірімен беттеспейді. Әлбетте, нүктесінің бетіне іштей немесе сырттай жақындауына байланысты қос қабаттық потенциалдың шектік мәндері әртүрлі болады және олар оның тура мәнімен беттеспейді. Нақтырақ айтқанда төмендегідей тұжырым орындалады.
14.3.1 - теорема. нүктесі бетінде жатқан нүктесіне іштей немесе сырттай ұмтылған кезде қос қабаттық потенциалдың шегі бар болады. Егер қос қабаттық потенциалдың сыртқы, ал - ішкі шектік мәні болса, онда

теңдіктері орындалады.
Сонымен, - қос қабаттық потенциалы үзілісті функция.
14.4. Жай қабаттық потенциал. Ляпунов бетінде берілген, -тығыздығы үзіліссіз болатын
(14.4.1)
жай қабаттық потенциалын қарастырайық. Жай қабаттық потенциалдың бетінде жатпайтын нүктелерде барлық ретті туындылары бар болады және ол Лаплас теңдеуін қанағаттандырады. Дәл 14.3-пунктінде көрсетілгендей шексіздікте жай қабаттық потенциалдың сияқты нөлге ұмтылатындығын көрсетуге болады. Тығыздығы үзіліссіз функция болатын жай қабаттық потенциалдың кеңістіктің барлық нүктелерінде үзіліссіз болатындығын дәлелдеуге болады. Жай қабаттық потенциалдың нормаль бағыты бойынша алынған туындысын қарастырайық. бетінде жататын кез келген нүктені , ал осы нүкте арқылы өтетін сыртқы нормальді деп белгілейік. Жай қабаттық потенциалдың бетінде жатпайтын нүктесінде – сыртқы нормаль бойынша алынған туындысы
(14.4.2)
формуласы арқылы табылады.
Әлбетте, нүктесі бетінде жататын нүктесімен беттескен кезде де (14.4.2) интегралы өзінің мағынасын сақтайды және ол нүктесінде үзіліссіз функция болады.

және

деп сәйкесінше нүктесі бетінде жататын нүктесіне іштей және сырттай жақындаған кездегі жай қабаттық потенциалдың шектік мәндерін белгілейік.
14.4.1-теорема. Егер үзіліссіз функция болса, онда

(14.4.3)
теңдіктері орындалады.
(14.4.3)-формуласынан жай қабаттық потенциалдың нормаль бағыты бойынша алынған туындысының секірмесінің шамасы
-
болатындығы шығады.

Лаплас теңдеуі үшін шектік есептерді шешуде потенциалдарды қолдану әдісі.
С-контуры үшін ішкі шектік есептерді қарастырайық:
Т- облысында гармоникалық болатын, С-контурымен шектеліп, осы С контурында мына шекаралық шарттарды қанағаттандыратын u функциясын табу керек:
1-шектік есеп: uc=f -Дирихденің шекаралық шарты
2-шектік есеп: ∂u∂nc=f –Нейманның шекаралық шарты
Ішкі 1- шектік есептің шешімін қос қабаттық потенциал түрінде іздейміз:
W(M)=ccosφRMPνPdSp=-cddn(ln1RMP)νPdSpКез- келген νP үшін W(M) функциясы С контурында Лаплас теңдеуін қанағаттандырады. W(M) функциясы С контурында үзілісті. Шекаралық шарт орындалуы үшін WBP0=fP0 болуы керек.
WBP0=WP0+πνP0, (1) WBP0-P0 нүктесіне ішкі жағынан келгендегі қос қабаттық потенциалдың шекті мәні. Ал
WHP0=WP0-πνP0, (2) WHP0- P0 нүктесіне сыртқы жағынан келгендегі қос қабаттық потенциалдың шекті мәні.
Формуланы қолдану арқылы νPфункциясын анықтайтын формулаға келеміз:
πνP0+ccosφRP0РνPdSp=fP0, 3P0 және P нүктесіне сәйкес S0 және S доғаның контурларын белгілесек, (1) теңдеуді былай жазуға болады:
πνS0+0LK(S0,S)νSdS=fS0, (4)L-C контурының доғасы
KS0,S=-ddnpln1RPP0=cosφRP0Р, (5)Бұл- осы интегралдық теңдеудің ядросы, ол Фредгольмнің 2-текті интегралдық теңдеуі болып табылады. Сыртқы есеп үшін келесі теңдеу шығады:
-πνS0+0LK(S0,S)νSdS=fS0, (6)2-шекті есеп үшін келесі теңдеулер шығады:
-πμS0+0LК1(S0,S)μSdS=fS0, 7-ішкі есеп
πμS0+0LК1(S0,S)μSdS=fS0, 8-сыртқы есеп
Бұл жерде К1S0,S=∂∂np0ln1RPP0=cosθ2RP0Р, (9) Егер оның шешімін жай қабаттық потенциал бойынша іздесек,
u(M)=Cln1RMPμPdSp

Приложенные файлы

  • docx 15730833
    Размер файла: 985 kB Загрузок: 8

Добавить комментарий