3 Электричество Колебания и Волны



Ярославский государственный университет
им. П.Г.Демидова

Физический факультет

Кафедра общей и экспериментальной физики











М.Н.Преображенский

КОНСПЕКТ
лекций по физике у биологов

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО.
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ











Ярославль 2008

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Лекция 1
1. Электрический заряд. Закон Кулона

Все тела способны электризоваться, то есть приобретать электрический заряд. Заряд – это неотъемлемое свойство материи, которое проявляется во взаимодействии заряженных частиц или тел. В отличие от массы тела заряд может быть двух видов: положительный и отрицательный. При взаимодействии одноименные заряды будут отталкиваться, а разноименные – притягиваться. Носителями заряда являются некоторые элементарные частицы, имеющие одинаковый по абсолютной величине элементарный заряд, обозначаемый буквой е или –е соответственно. Обычно частицы несущие противоположные заряды присутствуют в телах в одинаковом количестве и распределены равномерно. Если в процессе электризации тел или перераспределения зарядов нам удастся получить в какой-то области избыток зарядов одного знака (например +Q), то где-то в другой области обязательно обнаружится соответствующий заряд противоположного знака (–Q). Поскольку заряд образуется из элементарных зарядов, то его величина будет кратна е: Q = Nе.
Таким образом, можно сформулировать закон сохранения электрического заряда: суммарный заряд электрически изолированной системы не изменяется.
Так при трении кожа или стекло заряжаются положительно, а мех или смола – отрицательно.
Характер взаимодействия между заряженными телами был установлен Кулоном и носит его имя. Для его формулировки пользуются понятием точечного заряда. Точечным зарядом называют заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других заряженных тел, с которыми оно взаимодействует.
Измеряя с помощью крутильных весов силу взаимодействия между двумя заряженными телами, имеющими различные по величине заряды и расположенные на различном расстоянии друг от друга, Кулон установил, что сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Направлена сила вдоль прямой, соединяющей эти заряды. При этом заряды с различным знаком – притягиваются, а одинаковые – отталкиваются.
Закон Кулона можно записать в векторном виде:

F12 = –k Q1Q2/r2 e12, (1)

где k – коэффициент пропорциональности, который зависит от выбора системы единиц, Q1 и Q2 – величины взаимодействующих зарядов, r – расстояние между зарядами, e12 – единичный вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, F12 – сила, действующая на заряд 1 со стороны заряда 2 (рис. 1).

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 1. Взаимодействие двух точечных зарядов

Поскольку сила, действующая на второй заряд равна по величине и противоположна по направлению первой, для нее будет справедливо соотношение:

F21 = k Q1Q2/r2 e12, (2)

Если изолированная система содержит несколько точечных зарядов, то для силы F(, действующей на произвольный из зарядов Q(, будет выполняться принцип суперпозиции:

F( = ( F(i , (3)

где F(i – сила, с которой действует на заряд Q( заряд Qi в отсутствие остальных зарядов. Суммирование ведется по всем зарядам системы. Или можно сказать, что суммарная сила, действующая на произвольный заряд системы равна сумме сил, действующих на этот заряд со стороны остальных зарядов.
Закон Кулона выполняется с хорошей точностью для расстояний от 10-15 до 103 м.
Значение коэффициента k в законе Кулона (1, 2) будет определять выбор соответствующей системы единиц. В системе единиц СГСЭ (абсолютная электростатическая система единиц) k = 1 и закон Кулона определяет единицу заряда, которая называется абсолютной электростатической единицей заряда или СГСЭ - единица заряда. Экспериментально установлено, что элементарный заряд е составляет 4,8 10-10 СГСЭ - единица заряда.
Единицей заряда в Международной системе единиц СИ является кулон (Кл). Один кулон приближенно составляет 3Ч109 СГСЭ-ед. заряда. Элементарный заряд при этом равен 1,6 10-19 Кл.
Система СГСЭ часто использовалась в электростатике и электродинамике, и поскольку в формулы в этом случае часто входил множитель 4(, в системе СИ для сокращения записи часто встречающихся формул коэффициент пропорциональности k в законе Кулона положили равным 1/4((0. Величину (0 называют электрической постоянной, она равна 0,885 10-11 Ф/м и имеет размерность электрической емкости (Фарада), деленной на длину (метр). Теперь, в рационализованной форме, закон Кулона в системе СИ записывается следующим образом:

F = (1/4((0) ( Q1 Q2 (/r2. (4)


2. Электрическое поле. Напряженность поля

Согласно учениям о взаимодействиях до конца 19 века считалось, что действие одного тела на другое может осуществляться либо непосредственным соприкосновением, либо передаваться через промежуточную среду. В случае электрических и магнитных взаимодействий роль такой среды играл так называемый мировой эфир, который заполнял все пространство. Взаимодействие при этом передавалось путем упругих деформаций и связанных с ними натяжений и давлений по аналогии с механическими. Позднее данная гипотеза пришла в противоречие с рядом фундаментальных экспериментов и на смену ей пришла новая, согласно которой все взаимодействия передаются с помощью особого материального посредника, называемого полем. Например, в случае взаимодействия электрических зарядов говорят об электрическом поле.
Будем считать, что каждый заряд создает вокруг себя электрическое поле, то есть так изменяет свойства окружающего себя пространства, что любой другой электрический заряд (назовем его пробным зарядом) оказывается под действием некоторой силы. Следовательно, чтобы установить наличие в некоторой точке пространства электрического поля, достаточно поместить в эту точку пробный заряд и установить наличие действующей на него электрической силы. О величине поля можно судить по величине силы, действующей на пробный заряд. Сам пробный заряд должен бать точечным и не должен вносить возмущения в имеющееся электрическое поле.
Поместим произвольный пробный заряд qпр в некоторую точку, положение которой будет задаваться радиус-вектором r относительно заряда Q (рис. 2).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 2. Определение наличия электрического поля

В соответствии с законом Кулона мы определим, что на пробный заряд будет действовать сила
F = (1/4((0) qпр Q/r2 er . (5)

Однако из формулы (5) следует, что сила, действующая на пробный заряд, зависит не только от величин, задающих поле (Q и r), но и от величины пробного заряда qпр. Поэтому для однозначного определения характеристики электрического поля очевидно надо взять отношение F/qпр, которое будет одинаковым для всех пробных зарядов. Сила, действующая на единичный неподвижный положительный пробный электрический заряд, называется напряженностью электрического поля и обозначается Е. Напряженность электрического поля есть вектор, направление которого совпадает с направлением силы действующей на положительный пробный заряд. Измеряется напряженность поля в Н/Кл или В/м. Для силы, действующей в электрическом поле Е на неподвижный точечный заряд q в соответствии с этим определением будет выполняться:

F = qE. (6)

Из формулы (5) для напряженности электрического поля Е точечного заряда Q можно получить:

Е = (1/4((0) Q/r2 er . (7)

Направлен вектор напряженности электрического поля вдоль прямой, проходящей через данную точку и заряд от заряда, если заряд положительный и к заряду, если заряд отрицательный.
Для определения напряженности электрического поля системы зарядов, очевидно по аналогии с силами (3), можно воспользоваться принципом суперпозиции, согласно которому, напряженность поля системы неподвижных точечных зарядов равна векторной сумме напряженности полей, создаваемых каждым зарядом по отдельности в отсутствие других зарядов:

Е = ( Еi. (8)

Принцип суперпозиции позволяет вычислить напряженность поля любой системы зарядов.
Для полного описания электрического поля системы зарядов необходимо в каждой точке пространства указать направление вектора Е и его величину. Картина получится значительно нагляднее, если по аналогии с векторным полем скоростей и линиями тока, которые вводились для его графического представления ввести понятие силовых линий напряженности электрического поля. Линии напряженности проводят таким образом, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора напряженности Е в данной точке, а густота линий выбирается так, что количество линий, пересекающих единичную поверхность (перпендикулярную к данным линиям), равно численному значению вектора Е (рис. 3).








Рис. 3. Графическое представление электрического поля

На рис. 4 приведены силовые линии изолированных положительного и отрицательного зарядов (а, б) и силовые линии напряженности электрического поля системы двух зарядов противоположного (в) знака. Силовым линиям приписывается направление, соответствующее направлению вектора Е, то есть можно заметить, что они начинаются на положительных зарядах или в бесконечности, а заканчиваются на отрицательных зарядах или также в бесконечности. Кроме того, важно отметить, что общее число силовых линий на любом расстоянии от заряда будет одинаковым.

а б






в г



Рис. 4. Электрическое поле положительного (а), отрицательного (б) зарядов, системы двух зарядов одно (в) и противоположных (г) знаков




3. Поток вектора напряженности электрического поля и электростатическая теорема Гаусса. Вычисление электрических полей простейших систем зарядов

Понятие потока вектора часто встречается в различных разделах физики, использующих математический аппарат векторного анализа. В гидродинамике, где понятие потока было введено впервые, оно имеет смысл реального объема жидкости, протекающего через малую площадку S, перпендикулярную к вектору скорости жидкости за некоторый промежуток времени (V = S v dt). Если площадка будет расположена параллельно вектору скорости частиц жидкости, то поток жидкости через нее будет равен нулю. В случае расположения площадки наклонно под углом ( к вектору скорости, поток можно вычислить по формуле S v cos( dt. В единицу времени это будет составлять S v cos(. Если ввести понятие вектора площадки S = S n, где n – это единичный вектор в направлении нормали к площадке S, для потока (вектора скорости) можно записать: V = S v = S v cos(. Выражения подобного рода часто встречаются и в других разделах физики. Обычно их рассматривают для бесконечно малой dS площадки, в пределах которой вектор соответствующей величины не меняется, и называют потоком вектора через площадку dS. Для определения потока через некоторую поверхность S, необходимо провести суммирование (интегрирование) по всей площадке.
Так для электрического поля вводится понятие потока Ф вектора напряженности Е:

dФЕ = Е dS = Е dS cos(., Ф = (Е dS , (9)

хотя никакое реальное течение с этим вектором не связано.
Поток вектора это скалярная величина и потоки нескольких векторов через одну площадку складываются алгебраически. Возвращаясь к графическому описанию электрического поля, можно сказать, что поток вектора Е характеризует количество силовых линий, пересекающих заданную площадку.
Теорема Гаусса связывает величину потока через произвольную замкнутую поверхность с зарядами, находящимися внутри этой поверхности. Для вывода этой теоремы рассмотрим сначала поле, создаваемое точечным зарядом и его поток через сферическую поверхность S с радиусом r, центр которой совпадает с этим зарядом. Поле на поверхности сферы в соответствии с (7) определяется выражением

Е = (1/4((0) Q/r2 er. (10)

Поток вектора через элементарную площадку сферы dS будет

dФЕ = (Еn) dS = 1/4((0 Q dS/r2 , (11)

а через всю сферу радиусом r:

ФЕ = 1/4((0 S Q/r2 = Q/(0 . (12)

При графическом описании электрического поля мы отмечали, что поток вектора Е характеризует количество силовых линий, пересекающих заданную площадку. Рис. 5 поясняет, что выражение (12) будет справедливо для поверхности произвольной формы.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 5. Поток вектора Е через замкнутые поверхности различной формы

Из рисунка видно, что суммарный поток вектора напряженности электрического поля не зависит от формы поверхности, поэтому будет справедливо утверждение: поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на (0. Данное утверждение носит название теоремы Гаусса.
Пользуясь теоремой Гаусса нетрудно вычислить значение напряженности поля Е для некоторых простейших случаев.

1. Электрическое поле бесконечной, равномерно заряженной нити

Для вычисления напряженности электрического поля бесконечной, равномерно заряженной нити окружим ее отрезок длиной l цилиндром с радиусом основания R, ось которого совпадает с нитью (рис. 6 а). В силу симметрии задачи, потоки через верхнее и нижнее основания цилиндра будут равны нулю. Поток через цилиндрическую поверхность будет равен Ф = Е Sцил. = Е 2( R l. Заряд Q, находящийся на отрезке нити внутри цилиндра можно выразить через линейную плотность заряда ( (заряд приходящийся на единицу длины нити) Q = ( l. Тогда в соответствии с теоремой Гаусса запишем:

Ф = Е 2( R l = ( l/(0, (13)

Откуда: Е = ( /2( R (0, то есть напряженность поля нити убывает обратно пропорционально расстоянию до нее.


2. Электрическое поле бесконечной, равномерно заряженной плоскости

Для вычисления напряженности электрического поля бесконечной, равномерно заряженной плоскости в качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр, с площадью основания S, ось которого перпендикулярна рассматриваемой заряженной плоскости (рис. 6 б). В силу симметрии задачи, в данном случае будет отсутствовать поток вектора Е через боковые поверхности цилиндра, а поток через основания будет составлять 2 S Е. Заряд Q участка плоскости, находящегося внутри цилиндра выразим через поверхностную плотность заряда ( (заряд, приходящийся на единицу площади поверхности) Q = ( S. В соответствии с теоремой Гаусса запишем

Ф = 2 S Е = ( S/(0, (14)
откуда Е = (/2 (0, то есть напряженность электрического поля равномерно заряженной бесконечной плоскости не зависит от расстояния до этой плоскости.

3. Электрическое поле двух параллельных бесконечных, равномерно и противоположно заряженных плоскостей

Для этого случая удобнее воспользоваться принципом суперпозиции. Поле вне плоскостей в этом случае будет равно нулю, поскольку напряженности каждой из плоскостей равны по величине и противоположны по направлению, в то время как поле между плоскостей удвоится и будет равно:

Е = (/ (0 (15)

а б





Рис. 6. Примеры вычисления напряженности
электрического поля.
Лекция 2

1. Потенциал электрического поля

При перемещении зарядов электрическое поле совершает работу. Посчитаем работу, которую совершает электрическое поле точечного заряда Q над некоторым пробным зарядом qпр при его перемещении из некоторой точки пространства 1 в точку 2 (рис. 1). Точки 1 и 2 задаются соответствующими радиус-векторами r1 и r2. При перемещении заряда на некотором малом участке пути dl работа будет:

dA = F dl = F dl cos( = F dr, (1)











Рис. 1. К определению работы электростатической силы
где F – сила, действующая на пробный заряд в соответствии с законом Кулона, а ( - угол между направлением действующей силы и направлением перемещения dl. Учитывая закон Кулона, получим:

А12 = (F dl cos( = ( qпр Q dr /4((0 r2 = qпр Q / 4((0 (1/r1 – 1/r2). (2)

Таким образом, мы получили, что работа в электростатическом поле не зависит от траектории, вдоль которой перемещается заряд, а определяется только начальным и конечным положениями заряда. Это значит, что электростатическое поле потенциально. В этом случая можно утверждать, что заряд, помещенный в электрическое поле, можно описывать некоторой функцией – потенциальной энергией (W), которая связана с работой соотношением:

A12 = W1 – W2 , (3)

Откуда следует, что W = qпр Q / 4((0 r.
Потенциальная энергия измеряется с точностью до постоянной величины. В электричестве за ноль принимают значение потенциальной энергии заряда, находящегося в бесконечности. В этом случае потенциальная энергия будет равна работе, которую совершает электрическое поле при перемещении заряда из данной точки в бесконечность.
Потенциальная энергия (так же, как и сила) зависит не только от величины электрического поля, но и от величины заряда (в данном случае пробного). Для того, чтобы характеризовать только электрическое поле, вводят новую величину – потенциал. Потенциал в данной точке поля равен потенциальной энергии пробного заряда, помещенного в данную точку, деленной на величину этого заряда. Потенциал это энергетическая характеристика электростатического поля и является скалярной величиной.

( = W/qпр. (4)

Для точечного заряда потенциал будет:

( = (1/4((0) Q /r. (5)
Единица измерения потенциала – вольт (В). Для потенциалов также справедлив принцип суперпозиции: потенциал поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов всех этих зарядов.

( = ((i = ( (1/4((0) Qi /r i. (6)

Поскольку потенциал является скалярной величиной, в ряде случаев его вычисление проще, чем вычисление напряженности электрического поля.
Пользуясь соотношениями (3) и (4), работу по перемещению заряда q можно выразить через потенциал:

А12 = W1 – W2 = q ((1 – (2). (7)

Принимая во внимание то, что мы приняли потенциальную энергию на бесконечности за ноль (соответственно и потенциал там будет равен нулю), работа по перемещению заряда из данной точки в бесконечность будет равна:

А1( = W1 – 0 = q (1, (8)

то есть, потенциал в некоторой точке численно равен работе, которую надо совершить над положительным единичным зарядом для удаления его из этой точки в бесконечность.
Между потенциальной энергией заряда в электрическом поле и силой, действующей на него со стороны поля, существует связь. Для установления этой связи переместим заряд q, находящийся в электрическом поле по оси Х на расстояние dх, при этом над зарядом будет совершена работа dA = F dl = Fx dx (Fx – значение проекции силы на ось Х). Учитывая, что A12 = W1 – W2, можно записать:

dA = Fx dx = Wx – Wx+dx = – (Wx+dx – Wx) = – dW, (9)

откуда

Fx dx = – dW или Fx = – (W/(x. (10)

Такая производная носит название частной и ее обозначение подчеркивает, что перемещение совершалось при постоянных значениях y и z. Аналогичные рассуждения можно провести для перемещений вдоль осей Y и Z, тогда для проекций силы на оси Y и Z получим:

Fy = – (W/(y, Fz = – (W/(z. (11`)

И окончательно для силы получим:

F = Fxex + Fyey + Fzez = = – ((W/(xex + (W/(yey + (W/(zez) = – grad W. (12)

Учитывая, что E = F/q и ( = W/q, связь между E и ( будет:

E = – (((/(xex + ((/(yey + ((/(zez) = – grad (. (13)

Поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Работа электрических сил при перемещении заряда по эквипотенциальной поверхности равна нулю. Соотношение (13) можно записать для произвольного направления l. Тогда для любого направления на эквипотенциальной поверхности будет справедливо:

El = – ((/(l = 0, (14)

то есть проекция напряженности поля на любое направление на эквипотенциальной поверхности равна нулю, что равносильно утверждению, что линии напряженности электрического поля всегда будут перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Эквипотенциальные поверхности можно изобразить графически. Например, для точечного заряда эквипотенциальные поверхности будут представлять собой вложенные сферы (рис. 2 а, б). Для системы, состоящей из двух зарядов картина сложнее, и ее вид представлен на рис. 2 в, г.
а б



в г

Рис. 2. Рис. 4. Электрическое поле и эквипотенциальные поверхности положительного (а), отрицательного (б) зарядов, системы двух зарядов одно (в) и противоположных (г) знаков
Разность потенциалов

(( = (1 – (2 = A12/q (15)

будет равна работе по перемещению заряда из 1-ой точки во 2-ую, деленной на величину заряда. На практике часто используется величина, называемая напряжением (обозначается U). Напряжение также измеряется в вольтах и отличается от разности потенциалов только знаком:

U = (2 – (1 = – ((. (16)


2. Диполь. Диэлектрики в электрическом поле

Электрическим диполем называется система, состоящая из двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов q, расположенных на расстоянии l, много меньшем расстояний до системы. В различные формулы, которые получаются для расчета напряженности поля, потенциала и другие входит величина p = q l, которая называется электрическим моментом диполя. Здесь q – абсолютная величина заряда, а l – вектор, проведенный от отрицательного заряда к положительному (рис. 3). Напряженность электрического поля диполя убывает обратно пропорционально кубу расстояния Е ~ p/r3, а потенциал ( ~ p/r2.
На заряды диполя, находящиеся в электрическом поле, действует пара сил, приложенных к зарядам +q и –q. Эти силы равны по величине и противоположны по направлению (рис. 3). Момент этих сил стремится повернуть диполь вдоль силовой линии. Момент сил так же выражается через электрический момент диполя:

N = (p E( = n q l E sin( (17)
и направлен так, чтобы повернуть диполь с ориентацией электрического поля диполя p по направлению внешнего электрического поля Е.



Рис. 3. Диполь в электрическом поле

Диэлектриками или изоляторами называют вещества, плохо проводящие электрический ток. Многие свойства диэлектриков, помещенных в электрическое поле, объясняются поведением диполей. Диэлектрики состоят из нейтральных в целом молекул. Электроны и ядра в атоме диэлектрика прочно связаны друг с другом и не могут перемещаться независимо. Можно выделить несколько типов диэлектриков: неполярные и полярные, с ионной и ковалентной связью.
У неполярных диэлектриков молекулы в отсутствие внешнего электрического поля симметричны (например, большинство газов). Центры тяжести положительных и отрицательных зарядов их молекул совпадают (рис. 4 а). В таком состоянии они не обладают собственным электрическим моментом. Под действием внешнего электрического поля заряды в неполярной молекуле смещаются друг относительно друга: положительные по направлению поля, отрицательные – против (рис. 4, б). В результате молекула приобретает дипольный электрический момент, пропорциональный величине напряженности электрического поля:

p = ( (0 E, (18)

где ( – поляризуемость молекулы.
У полярных диэлектриков молекулы несимметричны (например, СО). Центры зарядов положительных и отрицательных знаков сдвинуты друг относительно друга. В этом случае молекулы обладают собственным дипольным электрическим моментом даже в отсутствие внешнего поля. В отсутствие электрического поля отдельные дипольные моменты в нем направлены хаотично, в результате теплового движения. Ориентация дипольных моментов может быть произвольной и действие внешнего электрического поля сводится в основном к стремлению повернуть молекулу так, чтобы ее дипольный момент установился по направлению поля (рис. 4 в). Молекула ведет себя как жесткий диполь, величина дипольного момента которой от величины внешнего поля практически не зависит.
В диэлектриках с ионной связью дипольный момент возникает за счет сдвига ионов друг относительно друга. В кристаллах с ковалентной связью смещаются электроны, осуществляющие химическую связь.
Таким образом, про диэлектрик, помещенный в электрическое поле говорят, что он поляризуется. Если обозначить суммарный электрический момент некоторого малого элемента объема диэлектрика, отнесенный к величине этого объема буквой Р (называется поляризованность диэлектрика), то для любого типа диэлектриков будет справедливо:

P =
· (0 E, (19)

где
· – диэлектрическая восприимчивость диэлектрика – безразмерная величина, независящая от величины внешнего поля.
На рис. 4 г схематично изображен поляризованный диэлектрик (любого типа). Как видно из этого рисунка, поляризация сопровождается возникновением в тонком поверхностном слое диэлектрика избытка связанных зарядов одного знака. Если поляризованный диэлектрик разделить пополам, каждая из половинок останется незаряженной, а на ее вновь образованных концах образуются связанные заряды соответствующего знака.

13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415
13 EMBED PBrush 1415



Рис. 4. Различные виды диэлектриков в электрическом поле:
а – ионный, б – электронный, в –ориентационный, г – обобщенная схема (в)

3. Поле в диэлектрике. Диэлектрическая проницаемость

До сих пор мы изучали электрическое поле в вакууме. Рассмотрим, как меняются характеристики поля в веществе, например, если пространство между заряженными пластинами заполнить диэлектриком. Мы ограничимся случаем, когда диэлектрик однородный и изотропный, т. е. его свойства одинаковы во всех точках и по всем направлениям. Такими свойствами обладают газообразные и жидкие, а также некоторые твердые диэлектрики (стекло, фарфор, эбонит, резина и т. п.).
Пусть электрическое поле создано двумя плоскими параллельными пластинами, заряженными разноименными зарядами с одинаковой по модулю поверхностной плотностью заряда (. Если расстояние d между пластинами много меньше размеров пластин, то поле между пластинами практически однородно. В вакууме разность потенциалов между пластинами U0 = E0d, где Е0 – напряженность поля в вакууме. Если же пространство между пластинами заполнить диэлектриком, то заряд на пластинах не изменится, однако разность потенциалов между пластинами уменьшится: U < U0. Соответственно уменьшится и напряженность поля: Е < Е0.
Величину (, показывающую, во сколько раз напряженность поля Е в диэлектрике меньше напряженности поля Е0 в вакууме (при неизменных параметрах источников поля), называют диэлектрической проницаемостью вещества:

( = Е0/Е = U0/U. (20)

При наличии диэлектрика между двумя параллельными плоскостями напряженность поля соответственно будет:

Е = Е0/( = (/((0. (21)

Опыт показывает, что значения ( для разных диэлектриков различны, поэтому эта величина служит электрической характеристикой среды, т. е. вещества диэлектрика.
Уменьшение напряженности поля в диэлектрике объясняется тем, что в диэлектрике под действием электрического поля возникает поляризационный заряд с поверхностной плотностью (пол (рис. 8.19). Тогда

Е = (( – (пол)/(0 , (22)

т. е. свободный заряд частично компенсируется зарядом диэлектрика.
Возникновение в диэлектрике поляризационного заряда под действием внешнего электрического поля называют поляризацией диэлектриков. Сущность явления поляризации заключается в том, что частицы, из которых состоит диэлектрик (атомы или молекулы), деформируются и превращаются в диполи, выстраивающиеся вдоль линий напряженности внешнего поля. Так как знаки поляризационных зарядов диэлектрика противоположны знакам свободных зарядов, создающих поле (рис. 5), то суммарная напряженность поля в диэлектрике в ( раз меньше напряженности поля в вакууме.







Рис. 5.


Лекция 3

1. Проводники в электрическом поле. Электрический ток

Проводниками называют вещества способные проводить электрический ток. Проводимость меди или алюминия примерно в 1020 раз выше проводимости слюды или полиэтилена. Проводниками являются практически все металлы. Эту способность проводников объясняют наличием у них свободных электронов (электронов проводимости), которые при наличии электрического поля могут свободно перемещаться по всему образцу.
Таким образом, если проводник поместить в электрическое поле, электроны в нем придут в движение, которое будет продолжаться до тех пор, пока заряд, наведенный ими, не скомпенсирует поле внутри проводника (рис. 1. Если теперь в присутствии поля разделить проводник на две части, то, в отличие от диэлектрика каждая половинка останется заряженной.


а

б



Рис. 1. Проводник в электрическом поле (а) и распределение электрического поля около проводника (б)

Для проводника, находящегося в стационарном состоянии всегда будут выполняться два условия. Во-первых, электрическое поле внутри проводника будет равно нулю. Это означает, что потенциал внутри проводника везде (в том числе и на поверхности) должен быть постоянным. Отсюда следует второе условие – напряженность поля на поверхности проводника в каждой точке направлена по нормали к его поверхности.
Если проводнику сообщить какой-либо заряд, то он обязательно распределится по поверхности так, что бы соблюдались выше перечисленные условия. Распределение зарядов по поверхности является так же следствием закона Кулона: одноименные заряды должны отталкиваться. Исходя из этого можно заключить, что на полом проводнике заряд распределится также, как на сплошном и внутри полости проводника электрическое поле будет равно нулю, что можно использовать для электростатической защиты.
Проводник, который находится достаточно далеко от других проводников, тел и зарядов называется уединенным проводником. Потенциал этого проводника пропорционален его заряду. Q = C
·. Коэффициент пропорциональности в этом соотношении C = Q/
· называется электроемкость уединенного проводника или просто емкость. Единица измерения емкости – фарада (Ф). Устройство, состоящее из нескольких проводников (например, двух параллельных пластин), способное накапливать заряд носит название конденсатора.
В отсутствии электрического поля электроны в проводнике находятся в состоянии хаотического теплового движения и при усреднении за некоторый малый промежуток времени через произвольное сечение S внутри проводника заряд не переносится. При наложении внешнего электрического поля на хаотическое тепловое движение накладывается упорядоченное движение электронов с некоторой скоростью v, отличной от нуля. В результате этого упорядоченного движения через сечение проводника будет переноситься электрический заряд Q, образующий электрический ток I, который по определению равен

I = dQ/dt, (1)

или, если имеются носители зарядов обоих знаков:

I = dQ+/dt + (dQ-(/dt. (2)

Ток это скаляр и за положительное направление тока принято направления перемещения положительных зарядов.
Если величина тока может быть различной в разных сечениях проводника, ее характеризуют плотностью тока:

j = dI/dS. (3)

Если мы будем считать, что ток переносят электроны проводимости, а их число в единице объема проводника обозначим за n (называется концентрация зарядов), то можно найти связь между скоростью упорядоченного движения электронов и плотностью тока:

j = dI/dS = n е v. (4)

Как видно из рис. 2 за время dt через сечение проводника S пройдут электроны из объема dV = dS dl = dS v dt, количество которых составит N = n dS v dt, а перенесенный заряд Q = n dS v dt e, откуда с учетом (1), (3) следует (4). Поскольку направление тока j при малом сечении совпадает с направлением скорости v, уравнение (4) можно записать в векторном виде:

j = n е v. (4.1)




2. Электродвижущая сила (ЭДС), Закон Ома

Как уже отмечалось ранее, если в проводнике создать электрическое поле и не предпринимать мер по его поддержанию, то перемещение зарядов под действием электростатической силы (F = qE) приведет к тому, что внутри проводника поле исчезнет и ток прекратится.





Рис. 2. К определению Рис. 3. Создание ЭДС
плотности тока для поддержания тока

Для того чтобы ток поддерживать, необходимо от конца проводника с меньшим потенциалом непрерывно отводить приносимые туда током заряды, а к концу с большим потенциалом их непрерывно подводить (носители тока полагаются положительными), рис. 3. Таким образом, в замкнутой цепи для поддержания тока должны быть участки, где бы положительные заряды двигались в направлении возрастания потенциала, то есть против сил электростатического поля. Перемещение зарядов на таких участках возможно только за счет сил не электростатического происхождения, называемых сторонними силами. Эти силы могут вызываться химическими процессами, диффузией, изменяющимися магнитными полями или иметь иную природу.
Действие этих сторонних сил можно характеризовать работой, которую они совершают по перемещению зарядов по цепи. Величина, равная работе сторонних сил над единичным положительным зарядом, называется электродвижущей силой ЭДС и обозначается (.

( = А/q (5)

Сопоставляя эту формулу с ( = W/qпр, для потенциала можно сделать вывод, что ЭДС имеет ту же размерность.
Общую работу, совершаемую над зарядом, при его перемещении по контуру можно представить как сумму электростатических сил на участке 1-2 и сторонних сил на участке 2-1:

А = q((1 - (2) + q( (6)

Величина, численно равная работе, совершаемой на участке цепи над единичным положительным зарядом электростатическими и сторонними силами называется падением напряжения или просто напряжением U.

U = (1 - (2 + ( (7)

Участок цепи, на котором не действуют ЭДС называется однородным, и наоборот.
Ом экспериментально установил, что между напряжением на некотором участке цепи и током, протекающим по нему, выполняется соотношение:
I = U/R, (8)
где R – электрическое сопротивление, которое характеризует геометрические свойства проводника (длину проводника l и площадь его поперечного сечения S) и способность электронов данного материала перемещаться под действием электрического поля (электропроводность ().
R = l/( S = (l/S , (l/( = (). (9)
( - величина обратная проводимости называется удельным сопротивлением материала. В зависимости от наличия источника э.д.с. выражение (8) носит названия закона Ома для неоднородного или однородного участка цепи соответственно.
Для металлов величина сопротивления оказывается зависящей от температуры по закону:
R = R0(1 = ( Т), (10)
где ( - температурный коэффициент сопротивления (ТКС), R0 – сопротивление проводника при температуре 0єС. Зависимость R(Т) используется в термометрах сопротивлениях для измерения температуры.
Если ток, протекающий по проводнику, неравномерно распределен по сечению, то закон Ома будет выполняться для каждого элемента проводника длиной dl и сечением dS. Значение тока, выраженное через его плотность, будет I = j dS, а сопротивление R = dl/( dS, сам закон Ома примет вид:
jdS = dU ( dS/dl, откуда после сокращения dS получаем:

j = dU ( /dl = Е (. (11)

Здесь учтено, что в соответствии с (14), (лекция 2) dU/dl = Е. Поскольку направление перемещения зарядов совпадает с направлением поля, уравнение (11) записывают в векторном виде и оно называется законом Ома в дифференциальном виде:

j = Е (. (12)


3. Последовательное и параллельное соединение проводников

Последовательное соединение. При последовательном соединении проводников (сопротивлений) ток, протекающий через них, имеет одинаковое значение (рис. 4). Общее напряжение складывается из напряжений на каждом из них: I0 = I1 = I2 = I3, U0 = U1 + U2 + U3. Откуда:

I0 = U0/R0
U0 = I1R1 +I2R2 + I3R3 = I (R1 + R2 +R3 )
R = R1 + R2 + R3 (13)

U0 I1

U1 U2 U3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Рис. 4. Последовательное и параллельное соединение проводников

Параллельное соединение. При параллельном соединении одинаковым для всех сопротивлений будет напряжение, а ток будет равен сумме токов отдельных сопротивлений: I0 = I1 + I2 + I3, U0 = U1 = U2 = U3.

I0 = U1/R1 + U2/R2 + U3/R3 = U(1/R1 + 1/R2 + 1/R3);
I = U0/R0
1/R0 = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 (14)

Последовательное соединение проводников используется для расширения диапазонов измерений вольтметров (добавочное сопротивление), а параллельное – амперметров (шунт), рис. 5.

измеряемый ток через амперметр IА UV UДОП
ток I
rА rV rДОП

rШ измеряемое
ток через шунт IШ напряжение U


Рис. 5. Шунт и добавочное сопротивление

Шунт ответвляет на себя часть тока, а на добавочном сопротивлении происходит падение части напряжения.
Для расчета шунтов и добавочных сопротивлений используют формулы, следующие из (13) и (14).

4. Правила Кирхгофа

Для расчёта в сложных электрических цепях пользуются правилами Кирхгофа. Первое правило Кирхгофа справедливо для узлов цепи. Узел – точка электрической схемы, где сходится более, чем два проводника.
Это правило является следствием закона сохранения заряда и утверждает, что алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле равна нулю.

( Ii = 0 (15)









Рис. 6. Узел (а) и замкнутый контур (б) электрической цепи

Второе правило является следствием сложения уравнений, написанных по закону Ома для произвольного замкнутого контура цепи:

I1R1 = (1 - (2+ E1, I3R3 =(3 - (4 +E3, I2R2 = (2 - (3 + E2, I4R4 = (4 - (1 + E4.

После сложения всех уравнений значения потенциалов сократятся и окончательно получится:

(IiRi = (Ei (16)

По первому правилу число независимых уравнений на одно меньше, чем общее число узлов, а по второму на одно меньше, чем общее чем число замкнутых контуров.
a b c






d e f

Рис. 7. Замкнутый контур для системы уравнений (17)

Полная система уравнений для цепи, изображенной на рис. 7 будет иметь вид:

I1 + I2 = I3 (узел b)
I3 = I1 + I2 (узел e)
I1R1 – I2R2 = E1 – E2 (контур abeda)
I2R2 + I3R3 = E2 + E3 (контур bcfeb)
I1R1 + I3R3 = E1 + E3 (контур abcfeda)

При этом уравнения для узлов по первому правилу Кирхгофа совпадают, а последнее уравнение для контуров можно получить сложением двух предыдущих.

5. Работа и мощность постоянного тока

В проводниках, в которых протекает ток, имеет место процесс превращения электрической энергии в эквивалентное количество энергии других видов. Мерой превращения является работа.
Из электростатики известно, что

A = q·(
·1 –
·2) = q·U (17)

Для постоянного тока q = I·t , и используя закон Ома для участка цепи (U = I·R) получим:

А = I U t = I2 R t = U2 t/R (18)

Эти формулы эквивалентны, если на рассматриваемом участке нет электродвижущей силы ЭДС (
·).
При превращении электрической энергии в тепловую расчет выделяемого количества тепла ( производиться по закону сохранения энергии:

A = ( = I U t = I2 R t = U2 t/R (19)

Это выражении носит название закона Джоуля - Ленца.
Если рассматривать работу, совершенную током за единицу времени, то получим его мощность:

N = dA/dT = I U dt / dt = U2/R = I2 R (20)

Формула мощности справедлива как для постоянного, так и для переменного токов.

6. Земное электричество

Интересно отметить факт, что о обычный день над ровной поверхностью земли электрический потенциал возрастает по мере подъема примерно на 100 В с каждым метром, то есть в воздухе над поверхностью земли имеется вертикальное электрическое поле Е величиной порядка 100 В/м. Знак поля соответствует отрицательному заряду земной поверхности (рис. 8, а). Это означает, что потенциал на уровне нашего носа почти на 200 В выше потенциала на уровне пяток! Сразу может возникнуть вопрос: «Почему же нас до сих пор не ударяет электрическим током, ведь известно, что уже напряжение 36 В опасно для жизни?» Ответ достаточно прост – наше тело является достаточно хорошим проводником, а поверхность проводника, как отмечалось ранее, будет являться эквипотенциальной с потенциалом земли (рис. 8, б).
По мере увеличения высоты величина напряженности электрического поля уменьшается и практически исчезает на высоте порядка 50 км. Общая разность потенциалов между поверхностью земли и верхними слоями атмосферы имеет порядок 400 000 В. На высоте более 50 км проводимость атмосферы, за счет фотоэффекта от солнечных лучей, становится достаточной, чтобы считать ее также эквипотенциальной. Таким образом, общую картину можно представить, как это изображено на рис. 9. . Общий заряд на поверхности земли при этом составляет примерно – 6 105 Кл.

а б




Е
13 EMBED PBrush 1415



Рис. 8.



j = 10-6 мкА
I = 1800 А
I = 10 000 А
Q = 20 Кл


– 6 105 Кл
Рис. 9.

Однако, вследствие наличия отдельных ионов и в промежуточном слое атмосферы, между обкладками протекает ток с плотностью около 10-6 мкА на квадратный метр. Одной из причин образования ионов являются космические лучи. На величину ионного тока в значительной степени влияют атмосферные и природные явления. Несмотря на его очень маленькое значение, учитывая общую площадь земной поверхности, общий электрический ток составляет примерно 1800 А. При напряжении 400 000 В мощность его будет 700 МВт. Кроме того замечено, что в течение суток значение испытывает колебания порядка 30%, достигая максимального значения в 7 часов вечера по лондонскому времени, а минимума в 4 часа.
Можно посчитать, что при таком токе достаточно полчаса, чтобы разрядить землю. Снова возникает вопрос: как же заряд земли держится?
Оказалось, что батареей пополняющей заряд земли, являются грозы. Молнии снабжают поверхность земли отрицательным зарядом. Средний ток молний также должен составлять 1800 А в областях, где проходят грозы, а заряд, приносимый молниями, затем равномерно растекается по поверхности земли и уносится там ионами.
Каждые сутки на Земле гремит около 300 гроз и именно на 19 часов приходится их наибольшая активность. Ток в пике молнии может достигать 10 000 А, перенесенный заряд – 20 кулон.

Лекция 4

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ

1. Взаимодействие магнитов и токов

Рассмотрим два явления. Первое хорошо всем известное – это притяжение или отталкивание магнитов. Принято считать, что у магнита есть два полюса: северный, и южный. Одноименные полюса магнитов отталкиваются, а разноименные – притягиваются. Здесь важно отметить, что по отдельности магнитные полюса существовать не могут. Если мы разделим магнит, например, пополам, то у каждой половинки вновь образуется два полюса. Таким образом, имея под рукой стрелку компаса и магнит, мы можем определить полюса магнита. Важным во всех этих опытах является то, что один магнит или стрелка компаса, которая также является легким подвижным магнитом, определенным образом ”чувствуют” присутствие где-то рядом других магнитов и безошибочно точно определяют направление на них. Или другими словами один магнит действует на другой, даже если они находятся на расстоянии друг от друга.
Второе явление – это взаимодействие токов. На основании опытов Ампером было установлено, что два проводника, (рис. 1, а) притягиваются, если в них текут токи в одном направлении и отталкиваются, если направления токов противоположные (рис. 1, б).

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис. 1. Взаимодействие токов и действие тока на магнитную стрелку

Сила, приходящаяся на единицу длины проводника, оказалась пропорциональна величине токов в проводниках и обратно пропорциональна расстоянию между ними:

F = k 2 I1 I2 / b. (1)

Уравнение (1) служит основанием для определения единицы сила тока. Так в системе СИ единица тока – ампер (А) это такой ток, при пропускании которого через два бесконечно длинных проводника, находящихся на расстоянии 1 м друг от друга возникает сила 2 10-7 Н на метр. Уравнение (1) при этом записывается в рационализированной форме:

F = (0 2 I1 I2 / 4 ( b, (2)

Где (0 – магнитная постоянная, равная 1,26 10-6 генри на метр (Гн/м). Единица заряда – кулон (К) при этом определяется как заряд, протекающий через сечение проводника за одну секунду при силе тока 1 А.
Примерно в тоже время Эрстед обнаружил, что ток, протекающий по проводнику, оказывает ориентирующее действие на магнитную стрелку (рис. 1, в). Причем при изменении направлении тока стрелка поворачивается на 180(. Таким образом, был сделан вывод о том, что на магнитную стрелку могут действовать не только находящиеся рядом другие магниты, но и проводники с током. Это указывает на одинаковую природу взаимодействия магнитов и проводников с током.
Теперь опыты с магнитами можно объяснить следующим образом. Первый магнит создает в пространстве около себя магнитное поле. Это поле действует на второй магнит или магнитную стрелку. Во втором опыте проводник, по которому протекает ток, создает вокруг себя магнитное поле и это магнитное поле действует на второй проводник с током или магнитную стрелку. Но в обоих опытах было замечено, что это магнитное поле имеет вполне определенное направление, т.е. является вектором. Поскольку магнитное поле невидимо, чтобы хоть как-то наглядно представить его себе, договорились графически изображать его в виде линий со стрелками, которые назвали магнитными силовыми линиями. Условились, что магнитные силовые линии выходят из северного полюса постоянного магнита и входят в южный полюс и вне магнита силовая линия направлена от северного полюса к южному. Магнитные линии не пересекаются между собой, рис. 2. Наглядную картинку силовых линий можно наблюдать, если на постоянный магнит положить лист бумаги и посыпать железный порошок.









Рис. 2. Примеры изображения магнитных полей
Основную количественную характеристику магнитного поля в каждой точке называют магнитной индукцией и обозначают буквой В.
Поскольку магнитное поле невидимо, чтобы хоть как-то наглядно представить его себе, договорились графически изображать его в виде линий со стрелками, которые назвали магнитными силовыми линиями. Условились, что магнитные силовые линии выходят из северного полюса постоянного магнита и входят в южный полюс и вне магнита силовая линия направлена от северного полюса к южному. Магнитные линии не пересекаются между собой. Наглядную картинку силовых линий можно наблюдать, если на постоянный магнит положить лист бумаги и посыпать железный порошок. Вектор магнитной индукции В в каждой точке будет направлен по касательной к силовой линии, а величина магнитной индукции будет пропорциональна количеству линий пересекающих единичную площадку, перпендикулярную им, рис. 2, а. На рис. 2 б, 2 в приведены силовые линии магнитного поля прямолинейного проводника и поля в зазоре между двумя полюсами постоянного магнита.
Магнитное поле не оказывает действия на покоящиеся заряды и покоящимися зарядами не создается.
Для магнитных полей, как и для электрических справедлив закон суперпозиции:

В = Вi . (3)

2. Магнитное поле движущегося заряда. Закон Био – Савара – Лапласа

Электрическое поле, которое создавал покоящийся точечный заряд, в силу изотропии пространства имело центрально-симметричный характер. Если заряд q движется с некоторой скоростью v, то появляется выделенное направление, которое совпадает с направлением касательной к скорости в каждый момент времени. Таким образом, можно ожидать, что магнитное поле движущегося заряда будет иметь осевую симметрию, рис. 3. Очевидно, что оно должно зависеть от величины заряда, скорости, а также положения рассматриваемой точки относительно заряда. Установлено, что:

В = k q [v(r] / r3 , (4)

где k – постоянная, зависящая от выбора системы единиц.






Рис. 3. К определению характера магнитного поля движущегося заряда


В системе СГСМ k = 1, единица измерения – гаусс (Гс). В системе СИ единица измерения магнитной индукции – тесла (Тл), а k = (0/4(.
Теперь рассмотрим произвольный проводник, по которому протекает электрический ток I. Число носителей тока на участке проводника dl будет составлять nSdl и каждый, в соответствии с (4) будет создавать магнитное поле Вi =(0/4(e [v(r] / r3 (предполагается, что носителями тока являются электроны), а v – средняя скорость их упорядоченного движения, принимающая участие в создании магнитного поля. Тепловое движение электронов имеет в каждый момент случайное направление и при суммировании вклада в магнитное поле не даст.
Пользуясь принципом суперпозиции, можно определить суммарное поле всех носителей заряда:

dB = ( Вi = nSdl (0/4( e [v(r] / r3 = Sdl (0/4( [j(r] / r3 =
S j (0/4( [dl (r] / r3 = (0 I /4( [dl (r] / r3 (5)

Здесь было учтено, что nev = j, Sj = I, а также сделана замена jdl = jdl.
Соотношение (5) носит имя закона Био-Савара-Лапласа.



Рис. 4. К выводу закона Био – Савара – Лапласа.





Рис. 5 Магнитное поле проводника с током




Из соотношения (5) видно, что направление магнитной индукции перпендикулярно плоскости проходящей через элемент тока dl и рассматриваемую точку.
Пользуясь формулой (5) можно вычислить магнитное поле бесконечного проводника с током, рис. 5.

dB = (0 I /4( dl sin( / r2.

Учитывая, что r = b/ sin(, dl = r d( / sin( = b d( / sin2(,

dB = (0 I /4( b d( sin( sin2 / b2 sin2( =(0 I sin( /4(b (6)

Суммарное значение индукции для всего проводника получится, если выражение (6) проинтегрировать по углам от – ( до + (.

B = ((0 I sin( /4(b = (0 2I /4(b (7)

Линии магнитной индукции прямого тока представляют собой систему охватывающих провод концентрических окружностей, рис. 5. Подобное поле носит название вихревого поля: линии напряженности его замкнуты и не имеют начала и конца.
Для таких полей вводится понятие «циркуляции вектора напряженности» вдоль замкнутого контура: (Bdl по контуру l. Легко показать, что:

(Bdl = (0 2I /4( l ( 2(l = (0 I (8)

Выражение (8) носит название теоремы о циркуляции вектора магнитной индукции, которая равна суммарному току, пронизывающему контур умноженному на (0.

3.Сила Лоренца. Закон Ампера

Взаимодействие проводников мы объяснили следующим образом. Движущиеся заряды первого проводника создают вокруг себя магнитное поле, величину которого мы определили (7). Это поле, в свою очередь, должно действовать на движущиеся заряды второго проводника.
Сила, действующая на отдельный заряд q, вероятно будет зависеть от величины заряда, его скорости v и величины и направления поля B. Установлено, что:

F = k q [v B]. (9)

В системе СИ k = 1 и уравнение (9) является основанием для определения единицы магнитной индукции. Раскрывая векторное произведение, в системе СИ получим:

F = q [v B] = n q v B sin(, (10)

где ( – угол между направлением движения заряда и направлением магнитного поля, а n – единичный вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат вектора v B. Таким образом, сила, действующая на движущийся заряд в магнитном поле, всегда направлена перпендикулярно направлению движения не совершает работы и не может изменить энергию заряда. Сила равна нулю, если направление движения совпадает с направлением поля (направлена против).
В общем случае, при наличии и электрического поля суммарная сила, действующая на электрон, носит названия силы Лоренца и равна:

F = qЕ + q [v B]. (11)
Пользуясь выражением (9) можно определить силу, действующую на проводник с током, помещенный в магнитное поле. Сила (9) действует на каждый электрон проводника: Fе = е [v B] и передается проводнику по которому они движутся. В результате на единицу длины проводника будет действовать суммарная сила, равная указанной, умноженной на число электронов в рассматриваемом объеме проводника:

Fl = Fе n S dl= n S dl е [v B] = S dl [j B] = I [dl B]. (12)

Здесь учтено, что n e v = j и S dl j заменено на I dl. Выражение (12) носит название закона Ампера.
Теперь, возвращаясь к началу лекции, можно посчитать силу, действующую со стороны проводника, по которому протекает ток I1 на параллельный ему проводник, по которому течет ток I2, рис. 6.








Рис. 6. К определению силы между проводниками


Согласно (7), первый проводник в области второго будет создавать индукцию B1 = (0 2I1 /4(b, направленную перпендикулярно ему. Это поле, согласно (12) будет действовать на движущиеся электроны второго проводника с силой Fl = I2 [dl B1] = n (0 2I1 I2 dl /4(b, или на единицу длины F = (0 2I1 I2 /4(b, см. (2).















Лекция 5
Явление электромагнитной индукции

Открытия Фарадея и Максвелла оплатили все затраты на современную науку, хотя в те времена их практическая значимость была не очевидна.

Подведем некоторые итоги того, что нам известно на данный момент.
( Неподвижные заряды создают вокруг себя электрические поля.
( Движущиеся заряды создают магнитные поля.
Но если движущиеся заряды (электрические поля?) создают поля магнитные, то не будет ли движение магнита (магнитного поля) вызывать появление электрических полей (или токов)?
Примерно так мог рассуждать Фарадей, когда 29 августа 1831 года открыл закон электромагнитной индукции, который носит его имя.
Простейший опыт, в котором проявляется это явление, изображен на рис. 1.








Рис. 1. Возникновение тока в катушке при внесении в нее и вынесении из нее магнита

Если вдвигать в катушку магнит, то подключенный к ней измерительный прибор покажет, что в ней возникла ЭДС. Когда магнит покоится, ЭДС нет. Если магнит выдвигать из катушки, то прибор покажет наличие ЭДС противоположного знака. При этом величина ЭДС будет тем больше, чем больше скорость движения магнита.
Можно сказать, что идея подобного опыта витали в те времена в воздухе, поскольку в точности такие же опыты одновременно с Фарадеем проводил другой, никому сегодня неизвестный швейцарский физик Колладон. Но поскольку он использовал чувствительный гальванометр, на который магнит мог оказать влияние, он вынес его в соседнюю комнату и таким образом был обречен на провал.
Более подробные опыты были поставлены затем с двумя параллельно расположенными рядом витками, рис. 2. Первый контур был подсоединен к источнику тока, величину которого можно было регулировать при помощи реостата и таким образом создавалось контролируемое магнитное поле. Ко второму контуру подсоединялся измерительный прибор.
Первый опыт заключался в том, что значение тока в первом контуре (создаваемого им магнитного поля) увеличивалось. В этом случае во втором контуре возникал так называемый индукционный ток, направленный в сторону, противоположную току в первом контуре.











Рис. 2. Возникновение индукционного тока в контуре



Второй опыт соответственно проводился при уменьшении тока в первом контуре. В этом случае направление индукционного тока во втором контуре совпадало с направлением тока в первом контуре.
Следующий опыт заключался в том, что при постоянном значении тока в первом контуре он сначала приближался к второму контуру, а затем удалялся от него. Направление индукционного тока во втором контуре при этом сначала (при приближении) было противоположно а затем совпадало с направлением в первом контуре.
Общим во всех этих опытах было то, что менялась величина магнитного потока ФМ = BS, пронизывающего второй контур.
На основании анализа этих и других опытов Фарадей сформулировал закон электромагнитной индукции: величина наводимой в контуре ЭДС пропорциональна скорости изменения пронизывающего его магнитного потока, а направление таково, чтобы препятствовать причине вызывающей эту ЭДС, или в виде формулы:

ЭДС = – dФМ/dt = – d(BS)/dt (1)

Вторая часть закона о направлении ЭДС и знак «минус» в формуле (1) выражают правило Ленца.
Если контур состоит не из одного витка, то магнитный поток в (1) умножается на число витков.
Этот закон лежит в основе работы электрогенераторов, трансформаторов и многих других приборов и устройств.

2. Вихревое электрическое поле. Вихревые токи

Проанализируем данное явления с точки зрения уже установленных законов. И так в проводнике возникает электрический ток, то есть упорядоченное движение зарядов. Движение зарядов возникает под действием силы, которая, вероятно, имеет электрическую природу. Мы уже знаем одну такую силу – это сила, действующая на заряд в электрическом поле (см. лекцию 1): F = eE. Таким образом, следует, что изменяющееся магнитное поле приводит к возникновению электрического поля. То есть электрическое поле может создаваться не только зарядами. Наличие контура в этих опытах только позволяет обнаружить электрическое поле (благодаря наличию свободных электронов), которое существует в пространстве с изменяющимся магнитным полем независимо от него. Суть явления электромагнитной индукции состоит не в возникновении электрического тока в контуре, а в возникновении электрического поля, которое этот ток вызывает. Этот вывод впервые был сделан Максвеллом.
Полученное таким способом поле существенно отличается от поля, создаваемого зарядами. Поскольку последние отсутствуют, силовые линии этого поля не могут на них начинаться и заканчиваться. В отличие от электрического поля, создаваемого зарядами, это поле имеет вихревой характер и его силовые линии замкнуты, рис. 3. Направление поля совпадает с направлением токов в воображаемом контуре.


dB/dt ( 0







Рис. 3. Вихревое электрическое поле

В отличие от электрического поля, создаваемого зарядами, вихревое поле не является потенциальным. Работа над зарядом при обходе замкнутого контура не будет равна нулю, так как на всех участках она будет иметь один знак. Работа вихревого электрического поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру будет численно равна ЭДС индукции, наводимой в проводнике, помешенном в этот контур:

(Edl = ЭДС = – dФМ/dt (2)

Если в пространство, где имеется вихревое электрическое поле, поместить не проводящий контур, а сплошной проводник, то в проводнике потекут токи в соответствии с силовыми линиями этого поля, рис. 3. Эти токи также называются вихревыми, или токами Фуко. Вихревые токи могут играть как положительную, так и отрицательную роль. Они применяются, например, для торможения стрелки в электроизмерительных приборах, бесконтактного нагрева металлов, датчиках для неразрушающего контроля. В тоже время в сердечниках трансформаторов они ведет к ненужному нагреву. Поэтому сердечники или набираются из пластин, разрывающих контура вихревых токов или изготавливают из ферромагнетиков с высоким удельным сопротивлением (ферритов).

3. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны

Соберем теперь основные рассмотренные явления и законы.
( Неподвижные заряды создают постоянное электрическое поле. Законом, связывающим электрическое поле Е с зарядами была теорема Гаусса:

ФЕ = (Е dS = Q/(0 . (3)

Эту теорему можно обобщить на случай магнитных полей, но учитывая, что магнитных зарядов в природе нет, она запишется:

ФВ = (В dS = 0. (4)

( Движущиеся заряды порождают магнитные поля. Связь электрических токов и создаваемых ими полями устанавливалась теоремой о циркуляции магнитного поля:

(Bdl = (0 I (5)

( Изменяющиеся магнитные потоки (поля) порождают вихревые электрические поля, связь дается уравнением (2):

(Edl = – dФМ/dt (6)

Собрав все эти данные, Максвелл решил, что для полной симметрии не хватает одного звена: магнитные поля должны возникать и при изменяющихся электрических полях. Это можно проиллюстрировать на примере, изображенном на рис. 4.

B B B


I I




–Q dE/dt ( 0 +Q

Рис. 4. Возникновение магнитного поля при изменении электрического поля

В области вне обкладок конденсатора магнитное поле порождается токами. Внутри обкладок в силу непрерывности тоже должно существовать магнитное поле, которое может порождаться изменяющимся электрическим полем. Таким образом, Максвелл дополнил уравнение (5) еще одним слагаемым (0(0 (dE/dt):

(Bdl = (0 (I + (0 (dE/dt)). (7)

Добавку к току он назвал током смещения, поскольку по размерности она соответствует размерности тока.
Система уравнений (3), (4), (6), (7) получила название уравнений Максвелла в интегральной форме.
Решением этой системы является волна, названная электромагнитной и распространяющаяся в вакууме со скоростью света с2 = 1/(0(0.
Схематично распространяющаяся электромагнитная волна изображена на рис. 5, а. Изменяющееся электрическое поле в области 1 порождает изменяющееся магнитное поле в области 2, которое в свою очереди ведет к возникновению изменяющегося электрического поля в области 3 и так этот процесс распространяется со скоростью света. В электромагнитной волне вектора Е и В образуют правый винт с направлением распространения, рис. 5, б. Впоследствии, в 18ХХ году электромагнитные волны были экспериментально открыты Герцем.

dE/dt dE/dt dE/dt
1 3 5
2 4 х
Е


dВ/dt dВ/dt В

а б
Рис 5.


Лекция 6

Магнитные свойства вещества

Магнитные поля создаются постоянными магнитами, электромагнитами или проводниками с током. В тоже время мы знаем, что помимо макро токов (или просто токов), текущих по проводникам, в любом теле существуют микроскопические токи (микро токи, или токи Ампера), создаваемые движением электронов в атомах и молекулах. С одной стороны внешние поля, создаваемые макро токами или постоянными магнитами действуют на микро токи, в тоже время эти микро токи создают свое магнитное поле. Магнитная индукция В – характеризует результирующее действие микро- и макро токов, поэтому В зависит от среды в которой создается поле и от расположения макро токов и постоянных магнитов. Указанный факт может значительно усложнить технические расчеты, если пользоваться только характеристикой поля В. Поэтому была введена еще одна величина, характеризующая магнитное поле, названная напряженностью магнитного поля и обозначаемая буквой Н.
Таким образом, напряженность магнитного поля Н – характеризует поле, создаваемое макро токами (соленоидами, катушками, проводниками с током) и постоянными магнитами.
Величина магнитной индукции В в веществе связана с напряженностью магнитного поля Н соотношением:
В = (0(Н + J) = (0(Н + (Н) = (0(1 + ()Н = ((0Н
где J – магнитный момент (намагниченность) единицы объема вещества, ( и ( – магнитные восприимчивость и проницаемость вещества. Магнитная проницаемость ( показывает, во сколько раз магнитная индукция в веществе отличается от магнитной индукции в вакууме (для вакуума ( = 1). По значению магнитной проницаемости ( вещества делятся на 3 группы: диамагнетики, парамагнетики и ферромагнетики.

Диамагнетики

Диамагнитными свойствами обладают все вещества. Диамагнетизм связан с тем, что электроны в атоме имеют определенный орбитальный магнитный момент. При помещении атома во внешнее магнитное поле
возникает Ларморова прецессия, т. е. вращение электронной орбиты вокруг направления поля с некоторой угловой скоростью. При этом возникает магнитный момент дополнительного тока направленный в противоположном направлении к исходному внешнему полю. Поэтому диамагнитные свойства будут проявляться только в том случае, когда суммарный магнитный момент атомов равен нулю. Для диамагнетиков ( незначительно меньше 1 (0,999), а ( – отрицательна. Диамагнитными свойствами обладают висмут, графит, серебро, медь и другие.
13 EMBED PBrush 1415

Рис. 1.

Парамагнетики

Парамагнитными свойствами обладают вещества, у которых суммарный магнитный момент атомов не равен нулю. В отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты отдельных атомов в результате теплового движения направлены хаотично. Во внешнем поле магнитные моменты отдельных атомов начинают ориентироваться по полю. Для парамагнетиков ( незначительно больше 1 (1,000..), а ( – положительна. Парамагнетиками являются олово, алюминий, платина, марганец и другие.

Ферромагнетики

Название ферромагнетиков происходит от наиболее распространенного представителя этого класса – железа. Из чистых элементов ферромагнитными свойствами обладают никель, кобальт, гадолиний.
У ферромагнетиков имеются области – домены, имеющие размеры порядка 110 мкм, в пределах которых в результате действия обменных сил квантовой природы атомные магнитные моменты выстраиваются в определенных направлениях. В отсутствии внешнего магнитного поля домены ориентированы так, что их суммарная намагниченность равна нулю, ферромагнетик размагничен (рис. 2, а).
При увеличении напряженности внешнего магнитного поля те домены, намагниченность которых имеет "благоприятное" направление, будут увеличиваться в размере за счет уменьшения размеров доменов с "неблагоприятным" намагниченности (рис. 2, б ). Поскольку этот процесс происходит за счет смещения доменных границ, он будет продолжаться до тех пор, пока домены с "благоприятно" ориентированным внутренним магнитным полем не займут весь объем ферромагнетика (рис. 2, в). На начальном пологом участке (1) процесс идет обратимо, т.е. при отключении поля ферромагнетик вернется в исходное состояние. На крутом участке (2) смещение границ идет скачками (скачки или эффект Баркгаузена) и процесс необратим (в увеличенном масштабе участок кривой изображен справа). При дальнейшем увеличении напряженности внешнего магнитного поля (участок 3) намагниченность вещества будет поворачиваться в направлении внешнего магнитного поля и, в конечном счете, совпадет с ним (рис. 2, г). Зависимость J(Н), изображенная на рис. 2, д называется кривой намагничивания и, как это видно, имеет нелинейный характер. Напряженность внешнего магнитного поля, после которой намагниченность образца больше не растет (рис. 2, г), называется полем насыщения Нm, намагниченность образца – намагниченностью насыщения Jm. Дальнейший рост магнитной индукции происходит только за счет роста внешнего магнитного поля. Ниже (рис. 2, е) изображена зависимость ((Н) (( = В/(0Н), которая также нелинейная.


13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Рис. 2. Намагничивание ферромагнетика

Как уже отмечалось, процесс намагничивания ферромагнетиков является необратимым. Это значит, что если мы из намагниченного до насыщения состояния (Н = Нm) начнем уменьшать внешнее поле, то намагниченность образца не будет изменяться в соответствии с кривой намагничивания 0 – 1 (рис. 3, а). Так при уменьшении напряженности поля от Нm до 0, намагниченность в образце изменится от Jm до Jr в соответствии с кривой 1 – 2. Это явление, связанное с необратимостью процесса смещения доменных границ на участке 2 кривой намагничивания носит название магнитного гистерезиса. Значение индукции Jr при отключенном внешнем поле носит название остаточной намагниченности.
Если к ферромагнетику, находящемуся в состоянии остаточной намагниченности теперь прикладывать внешнее магнитное поле противоположного направления от 0 до –Нm, то намагниченность образца будет изменяться в соответствии с кривой 2 – 3 – 4. Поле –Нc, при котором намагниченность образца обращается в 0 носит название коэрцитивной силы. При дальнейшем увеличении обратного внешнего магнитного поля до значения –Нm ферромагнетик будет намагничиваться до насыщения Jm также обратного направления (точка 4). При последующем изменении внешнего поля от –Нm до +Нm намагниченность образца будет изменяться в соответствии с кривой 4 – 5 – 6 – 1, проходя последовательно через значения остаточной намагниченности, коэрцитивной силы и насыщения противоположных знаков. Получившаяся замкнутая кривая 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 1 носит название предельной петли гистерезиса. При последовательном изменении напряженности внешнего магнитного поля от +Нm до –Нm и так далее, намагниченность ферромагнетика будет изменяться в соответствии с данной предельной петлей гистерезиса.

а б
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Перемагничивание ферромагнетика и его петля гистерезиса – а, цикл размагничивания ферромагнетика в постепенно убывающем магнитном поле – б

Если при перемагничивании напряженность поля брать меньше Нm, то магнитная индукция будет также изменяться по петле гистерезиса но меньшего размера, которая называется частной петлей гистерезиса. Если при последовательном перемагничивании максимальное поле постепенно уменьшать до 0, то ферромагнетик снова придет в размагниченное состояние.




КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Лекция 1
1. Колебательное движение. Свободные, затухающие, вынужденные колебания

Колебательными называют процессы, имеющие определенную повторяемость во времени.
Колебания могут быть механическими, электрическими и.т.д. (например численность волков и зайцев в лесу). Колебательные процесс могут использоваться в жизни, а могут оказывать вредные последствия (например, маятник в часах и обрушение моста под ротой солдат, идущих в ногу).
В случае механических колебаний повторяются изменения положений, скоростей и ускорений каких-либо тел.
Силу, под воздействием которой происходит колебательный процесс, называют возвращающей силой.
Колебания могут быть свободными (собственными) или вынужденными. Свободные колебания являются незатухающими, если не происходит рассеивания энергии в окружающую среду.
Вынужденные колебания совершаются под воздействием внешней периодически изменяющейся силы (вынуждающей силы).
Гармоническими колебаниями называют колебания, при которых смещение тела от положения равновесия совершается по синусоидальному закону.
Для ознакомления с величинами, характеризующими колебательный процесс, рассмотрим простую физическую модель, например, колебания тела на пружинке без трения (рис. 1).




Рис. 1


Если начало координат совместить с положением равновесия тела, а затем отклонить его на расстояние х, то возвращающая сила, согласно закону Гука, будет F = –kx. Согласно второму закону Ньютона, уравнение движения будет ma = F = –kx или, учитывая, что a = d2x/dt2 ,

F = –kx = m(d2x/dt2) или (d2x/dt2) + (k/m)x = 0. (1)

Будем искать решение уравнения в виде: x = Acos((0t + (0), тогда

dx/dt = –A(0sin((0t + (0), d2x/dt2 = –A(02 cos((0t + (0). (2)

Подставляя (2) в (1) получим
(k/m)Acos((0t + (0) – A(02 cos((0t + (0) = 0, (3)
откуда для угловой частоты колебаний получим:

(0 = ((k/m) (4)

Таким образом, решением уравнения является синусоида (косинусоида), то есть изменения амплитуды отклонения тела от положения равновесия, его скорость и ускорения будут происходить в соответствии с рис. 2. Начальную фазу по возможности надо принять за 0.





















При наличии затухания (трения) добавится сила трения Fтр – rv, пропорциональная скорости и уравнение движения примет вид:

(d2x/dt2) + 2((dx/dt) + (k/m)x = 0, (5)

Где введено обозначение 2(= r/m. Его решением будет также синусоида, но с экспоненциально убывающей амплитудой х = exp(–(t) Acos((0t + (0) – затухающее колебание.
Для вынужденных колебаний добавится вынуждающая сила Fвн = f0 cos t и уравнение будет иметь вид:

(d2x/dt2) + 2((dx/dt) + (k/m)x = f0 cos t, (6)

Решение которого выходит за рамки данного курса. В случае, когда частота вынуждающей силы совпадает с собственной частотой (0 = ((k/m) наступает явление резонанса, при котором амплитуда колебаний резко возрастает.
Примером свободных колебаний может служить математический маятник – материальная точка массы m, подвешенная к неподвижной точке на невесомой нерастяжимой нити (или стержне) длиной l и совершающая движение в вертикальной плоскости под действием силы тяжести – mg (рис. 3).
Уравнение динамики вращательного движения в этом случае имеет вид:

I( = N = –mgl sin(, (7)

где I – момент инерции тела (в данном случае I = ml2), N – момент действующей силы, ( – угловое ускорение тела. Принимая во внимание, что ( = d(/dt = d2(/dt2 и I = ml2, уравнение (7) примет вид :

ml2(d2(/dt2) = –mgl sin(. (8)

Для малых углов можно считать sin( = (, тогда окончательно получим:

d2(/dt2 + (02( = 0, (9)

где (02 = g/l.
Рис. 3

С подобным уравнением мы уде встречались (1) и знаем, что его решением является гармоническое колебание с частотой (0:

( = a sin ((0t + (0). (10)

2. Упругие волны

В лекции 4 уже рассматривались упругие силы, возникающие между соседними областями твердого тела, и подчиняющиеся закону Гука. Твердое тело можно представить как совокупность отдельных частиц, связанных между собой упругими силами. Под частицей в данном случае подразумевается достаточно малая область тела, но состоящая из значительного числа атомов или молекул. Предположим, что в какой-то области тела, например на его поверхности, нам удалось под действием вынуждающей силы Fвн = f0 cos t привести частицы в колебательное движение (в направлении нормальном или касательном к поверхности). Данное возмущение, из-за наличия сил упругости, будет передаваться соседним частицам, и таким образом будет распространяться по телу. Процесс распространения механических колебаний, сопровождающийся переносом энергии, но не сопровождающийся переносом вещества носит название упругой волны. В зависимости от того, как движутся частицы по отношению к направлению распространения, волны делятся на продольные и поперечные (тип волны). В продольной волне направление движения частиц совпадает с направлением ее распространения (рис. 4, а). Продольные волны могут распространяться в любых средах: твердых, жидких и газообразных. За их существование отвечает упругость объема – способность тела возвращать свой объем после прекращения воздействия. В поперечной волне колебания частиц происходят в направлении перпендикулярном направлению распространения волны (рис 4, б). Поперечные волны могут распространяться только в твердых телах, за них отвечает упругость формы – способность тела возвращать свою форму после прекращения воздействия. Волна в веществе распространяется с определенной скоростью, зависящей от механических характеристик вещества и типа волны.

а б








Рис. 4

Наиболее важные характеристики волны, кроме скорости ее распространения это частота колебаний (v), период (Т), длина волны ((), амплитуда колебаний частиц (А), интенсивность волны (I) и величина звукового давления (р). Между перечисленными характеристиками и циклической частотой существуют определенные связи:

( = vТ = v/v, v = 1/T, I ( A2, ( = 2(v (11)

Совокупность точек, куда пришла волна в данный момент называется фронтом волны. В зависимости от формы фронта волны выделяют плоские, цилиндрические и сферические волны.

3. Уравнение упругой волны

Итак, в упругой волне происходит периодическое колебание частиц около их положения равновесия. Смещение частиц относительно положения равновесия принято обозначать буквой (. Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в направлении х со скоростью v. Пусть в плоскости х = 0, колебания описываются уравнением

((0, t) = A cos((t + (), (12)

где А – амплитуда колебания частиц, ( – начальная фаза колебаний. До некоторой плоскости х возмущение дойдет за время ( = х/v, следовательно, колебания в этой плоскости будут отставать на это время:

((х, t) = A cos[((t – х/v) + (]. (13)

Выражение, стоящее в квадратных скобках носит название фазы волны. Совокупность точек, где волна имеет одинаковую фазу, называется волновой поверхностью.
Уравнению волны можно придать симметричный относительно х и t вид:

((х, t) = A cos((t – kх + (), (14)

где введена новая величина

k = 2(/( = (/v, (15)

которая носит название волнового числа.
При распространении двух волн с одинаковой частотой и амплитудой навстречу друг другу возникает стоячая волна. Стоячая волна не переносит энергии и характеризуется тем, что в ней чередуются области, где амплитуда колебаний равна нулю – узлы волны и области, где амплитуда колебаний максимальна – пучности волны, рис. 5.







Рис. 5.

В зависимости от частоты механических волн их принято делить на диапазоны.
Инфразвук – частота до 20 Гц.
Звук – частота от 20 Гц до 20 кГц.
Ультразвук – частота от 20 кГц до 1 ГГц.
Гиперзвук – частота выше 1 ГГц.
ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

11
Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме

12
Связь напряженности и потенциала

13
Магнитные поля системы токов

14
Электрическое и магнитное поле в веществе

15
Свойства электрических и магнитных полей

16
Уравнения Максвелла


1. Закон Кулона. Теорема Гаусса для электростатического поля

1.1. Электростатическое поле создано одинаковыми по величине точечными зарядами q1 и q2. Куда направлен вектор напряженности поля в точке С, если
q1 = –q, q2 = +q, расстояния а равны.

Для напряженности поля имеем: Е = (1/4((0) Q/r2 er .
Направлен вектор напряженности электрического поля вдоль прямой, проходящей через данную точку и заряд от заряда, если заряд положительный и к заряду, если заряд отрицательный.
Поскольку расстояние от положительного заряда до точки С в два раза меньше, поле созданное им будет больше и направление будет 3.

1.2. q1 = q2 = –q; q1, q2, С – образуют равнобедренный треугольник. Указать направление поля Е.


Поле заряда q1 направлено по стороне Сq1 в сторону заряда, а заряда q2 по стороне Сq2 в сторону заряда q2. Суммарное поле направлено по 4.
1.3. В электрическом поле плоского конденсатора перемещается заряд +q в направлении, указанном стрелкой. Работа сил поля на участке АВ:

13 EMBED PBrush 1415


положительна, отрицательна или равна нулю.
Работа сил поля по определению работы А = Fdl = Fdlcos( – скалярное произведение силы на перемещение (( – угол между F и dl). Электрическое поле и сила, действующая на положительный заряд направлены от + к – .
В первом случае перемещение ( силе, ( = 90( и работа равна нулю.
Во втором случае направление перемещения совпадает с направлением силы, ( = 0 и работа положительна.

1.4. Точечный заряд +q находится в центре сферической поверхности. Если добавить заряд +q за пределами сферы, то поток вектора напряженности электростатического поля Е через поверхность сферы:
увеличится, уменьшится или не изменится?
Согласно теореме Гаусса, поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на (0: ФЕ = Q/(0. Таким образом поток то поток вектора напряженности электростатического поля Е через поверхность сферы определяется только зарядами внутри поверхности.

2. Связь напряженности и потенциала

2.1. На рисунке представлена зависимость плотности тока j, протекающего в проводниках 1 и 2 от напряженности электрического поля Е.









Определить отношение удельных проводимостей этих элементов.
Закон Ома в дифференциальной форме имеет вид: j = (E.
Поэтому отношение (1/(2 будет равно 2.
2.2. Обкладки плоского конденсатора имеют поверхностные плотности заряда +( и –2( соответственно как выглядит Е и ( вне и между пластин?










Направим ось х как показано на рисунке, совместив 0 с +( пластиной.
В области 1 поле от +( пластины Е = (/(0 , направлено – х . Поле от –2( пластины Е = 2(/(0,наравлено по х. Результирующее поле Е = (/(0 направлено по х (положительно)
В области 2 направления полей совпадают с направлением х, и результирующее поле будет Е = 3(/(0.
В области 3 поле пластины +( направлено по х, поле пластины –2( направлено – х . Результирующее поле Е = 2(/(0,наравлено – х.
Ех = –d(/dх, тогда ( будет, как изображено на рисунке. Начало координат не принципиально, поскольку ( определяется с точностью до const.

2.3. Если система зарядов в пространстве создает электрическое поле в областях 1-2-3 как показано на рисунке, то потенциал будет иметь вид
(связь между Е и (: Ех = –d(/dх):











3.Магнитные поля системы токов

3.1. Магнитное поле создано двумя параллельными длинными проводниками с токами I1 и I2, расположенными перпендикулярно плоскости чертежа.
Если 2I1 = I2, то вектор магнитной индукции В результирующего поля в точке А направлен: вниз, вверх, влево, вправо
Магнитная индукция В в точке на расстоянии b от проводника с током I определяется уравнением B = (0 2I /4(b, направление определяется по правилу буравчика, то есть направления поля этих проводников противоположно: I1 – вниз, а I2 – вверх.
Проводник с током I2 в два раза ближе к точке А и ток в нем в два раза больше, значит он и будет определять направление поля – вверх.

3.2. На рисунке изображены сечения двух параллельных прямолинейных длинных проводников с противоположно направленными токами, причем I1 =2I2. Индукция В результирующего магнитного поля равна нулю в некоторой точке интервала





На интервалах b и c магнитные поля создаваемые проводниками направлены в одну сторону, поэтому нуля быть не может. На интервалах a и d В направлено в противоположные стороны. Но поскольку I1 = 2I2, на участке а В от проводника I1 превосходит поле от проводника I2 и нулю равно быть не может. На участке d найдется точка, где суммарное магнитное поле будет равно нулю. Учитывая, что величина магнитного поля проводника с током определяется уравнением B = 2I/l (l – расстояние до проводника) и I1 = 2I2, для этой точки будет выполняться условие: 2l1 = l2 = b + c.

4. Электрическое и магнитное поле в веществе

4.1. На рисунке представлены графики, отражающие характер зависимости поляризованности Р диэлектрика от напряженности поля Е.

Укажите зависимость, соответствующую неполярному диэлектрику.
Для неполярного диэлектрика Р = (Е, то есть изменяется линейно с полем. Зависимость 4.
5. Свойства электрических и магнитных полей. Законы постоянного и переменного тока

5.1. На рисунке показан длинный проводник с током, около которого находится небольшая проводящая рамка.





При выключении тока в проводнике указанного направления, в рамке возникнет индукционный ток направления 1-2-3-4, 4-3-2-1 или тока не возникнет?
Согласно закону электромагнитной индукции Фарадея ЭДС = – dФ/dt, где знак минус (правило Ленца) указывает, что направление индукционного тока (знак ЭДС) таково, что бы препятствовать причине его вызывающей. Направление В (поток Ф через контур) направлен от нас, значит если ток выключить, в контуре индукционный ток должен поддерживать уменьшающийся поток, то есть направлен по 1-2-3-4.

5.2. Вольт-амперная характеристика активных элементов цепи 1 и 2 представлена на рисунке.

На элементе 1 при напряжении 30 В выделится мощность:
(На .элементе 2 при напряжении 20 В выделится мощность:)
15 Вт, 0,45 Вт, 0,30 Вт, 450 Вт, 0,1 Вт, 100 Вт?
Мощность тока определяется уравнением: P = IU.
На элементе 1 при напряжении 30 В: Р = 30 В ( 15 мА = 450 мВт = 0,45 Вт.
На элементе 2 при напряжении 20 В: Р = 20 В ( 5 мА = 100 мВт = 0,1 Вт.

5.3. Индуктивность контура зависит от:
- скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром;
- материала, из которого изготовлен контур;
- силы тока, протекающего в контуре;
- формы и размеров контура, магнитной проницаемости среды;
Индуктивность катушки L ( ((0n2Sl, где ( - магнитная проницаемость сердечника (среды), (0 – магнитная постоянная, n – число витков катушки, S – площадь контура, l – размер катушки.

5.4. После замыкания ключа К в цепи, представленной на рисунке, загорится позже других лампочка: А, Б, В, Г? Или они загорятся все одновременно?

При замыкании ключа ток в цепи с индуктивностью за счет явления самоиндукции ток будет нарастать постепенно, поэтому лампочка В загорится в полный накал позже.

5.5. На каком интервале времени ЭДС индукции контура максимальна?













ЭДСИНД = –dФ/dt = –d(ВS)/dt,
где Ф – магнитный поток пронизывающий контур, В – значение магнитной индукции, S – площадь витков контура. ЭДС максимальна там, где максимальна скорость изменения В, то есть на участке 7.
5.6. На рисунке указаны траектории заряженных частиц, имеющих одинаковую скорость и влетающих в однородное магнитное поле, перпендикулярное плоскости чертежа. При этом для частицы 3: q = 0, q > 0, q < 0 ?

Сила Лоренца, действующая на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле со скоростью v равна F = q [v B] = n q v B sin(. Направление векторного произведения определяется по правилу буравчика и направлено вправо, значит заряд частицы q > 0.


5.7. Ионизированные изотопы магния 24Mn и 25Mn с одинаковой энергией Ек влетают в магнитное поле, направленное перпендикулярно скоростям. Как относятся радиусы их траекторий?
Для сил, действующих на ионизированные атомы, имеем F = q [V B]. Под действием этой силы частицы летят по окружностям, радиусы которых находятся из соотношения: mV2/R = q V B, R = (mV)/qB, откуда R1/R2 = (m1V1)/(m2V2). Отношение скоростей определятся из: (m1V12)/2 = (m2V22)/2 = ЕК ; V1/V2 = ((m2/m1). Окончательно имеем: R1/R2 = (m1V1)/(m2V2) = (m1/m2) ((m2/m1) = (m1/m2) = ((24/25)

6. Уравнения Максвелла

Полная система уравнений Максвелла для электромагнитного поля имеет вид: Следующая система уравнений
((Edl) = – (((B/(t)dS ((Edl) = – (((B/(t)dS
(L) (S) (L) (S)
((Hdl) = ((j + (D/(t)dS ((Hdl) = (((D/(t)dS
(L) (S) (L) (S)
((DdS) = ((dV ((DdS) = 0
(S) (V) (S)
((BdS) = 0 ((BdS) = 0
(S) (S)
Справедлива для электромагнитного поля
1) в отсутствие заряженных тел и токов проводимости
2) в отсутствии заряженных тел
3) при наличии заряженных тел и токов проводимости
4) в отсутствии токов проводимости
В данном тесте требуется внимательно сравнить и проанализировать уравнения первой и второй системы: левые части систем одинаковы.
В правой части уравнения 2 данной системы отсутствует слагаемое j (плотность токов проводимости), значит токи проводимости отсутствуют.
Правая часть уравнения 3 данной системы равна нулю, то есть отсутствует ( – плотность электрических зарядов.
Таким образом, правильный ответ 1).
КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

Темы заданий

1. Свободные и вынужденные колебания.
2. Сложение гармонических колебаний.
3. Волны. Уравнение волны.
4. Энергия волны. Перенос энергии волной.


· На рисунках изображены зависимости от времени координаты и ускорения материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону.
Циклическая частота колебаний точки равна: 1) 2 с-1, 2) 1 с-1, 3) 4 с-1, 4) 3 с-1 ?


Законы изменения координаты, скорости и ускорения от времени описываются уравнениями:

х = х0 cos ((t +()

v = –x0( sin ((t +()

a = –х0 (2cos((t+() = –а0 cos ((t +()









В точке с максимальным отклонением (t = 0,8 с) согласно рисунку х0 = 1(м), а0 = –х0 (2 = –4(м/с2), то есть (2 = 4 или ( = 2 (с-1).










· Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами А0. При разности фаз (( = 3(/2 амплитуда результирующего колебания равна: 0,2А0, 5А0/2, А0(2.

Если первое колебание записать как:

А1 = А0 cos((t), то второе с учетом разности фаз будет:

А2 = А0 cos((t + 3(/2).

Для результирующего колебания, с учетом закона сложения косинусов (cos( + cos( = 2[cos(( + ()/2] [cos((– ()/2] и что cos(3(/4) = 1/(2) получим:

А1 + А2 = А0[cos((t) + cos((t + 3(/2)] = 2А0 cos((t + 3(/4) cos(3(/4) = = (2/(2)А0 cos((t + 3(/4) = А0(2 cos((t + 3(/4).

Данная задача может быть решена графически.


· Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси Х, имеет вид:

( = 0,01 sin(103t – 2х).

Скорость распространения волны в м/с равна: 500, 1000, 2 ?

В общем случае плоская синусоидальная волна, распространяющаяся вдоль оси Х, имеет вид:

((х, t) = A sin[((t – х/v) + (] = A sin[(t – (2(/()х].

Приводя уравнение, данное в условии задачи, к такому виду получим

( = 0,01 sin(103 t – 2х) = А sin[103(t – (2/103) х),

откуда, сравнивая с общим уравнением, получаем 1/v = 2/103 или v = 500.


· На рисунке показана ориентация векторов напряженности электрического Е и магнитного Н полей в электромагнитной волне. Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля ориентирован в направлении: 1, 2, 3 или 4?
Направление распространения электромагнитной волны (а следовательно и энергии) определяется правилом буравчика при вращении его от Е к Н, то есть это будет направление 1.




С О Д Е Р Ж А Н И Е

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО

Лекция 1
Электрическое поле
1. Электрический заряд. Закон Кулона
2. Электрическое поле. Напряженность поля
3. Поток вектора напряженности электрического поля и электростатическая теорема Гаусса. Вычисление электрических полей простейших систем зарядов
Лекция 2
1. Потенциал электрического поля
2. Диполь. Диэлектрики в электрическом поле
Лекция 3
1. Проводники в электрическом поле. Электрический ток
2. Электродвижущая сила (ЭДС), Закон Ома
3. Последовательное и параллельное соединение проводников
4. Правила Кирхгофа
5. Работа и мощность постоянного тока
6. Земное электричество
Лекция 4
Магнитное поле в вакууме
1. Взаимодействие магнитов и токов
2. Магнитное поле движущегося заряда. Закон Био – Савара – Лапласа
3.Сила Лоренца. Закон Ампера
Лекция 5
Явление электромагнитной индукции. Уравнения Максвелла.
1. Явление электромагнитной индукции
2. Вихревое электрическое поле. Вихревые токи
3. Уравнения Максвелла. Электромагнитные волны

КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
Лекция 1
1. Колебательное движение. Свободные, затухающие, вынужденные колебания
2. Упругие волны
3. Уравнение упругой волны

ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ ЗАДАНИЙ










13 PAGE \* MERGEFORMAT 144715



е12
F12 F21

Q1 r Q2

F

qпр

r

er

Q

Е

Е



Е

в

-

+

+ -

а

+

I

I

I

-

б

I

I

F
qпр (
1
r1
2

r2
Q

S

N

N S

I

А

V

I1

I2 I3
I4
I5

(1 I1 R1 E1 (2

I2 E4

R2 R4
E2
I4

(4 E3 R3 I3 (3


E1 E2 E3


R1 R2 R3

I1 I2 I3


j, усл. ед.
20

15 1

10 2

5

2 4 6 8

Р 1

2


3
4


Е

I1 I2

a b c d

I

1 2
4 3

Е




0 х

1 2 3

+( –2(

(




х

1 2 3

+( –2(

В 1 2 3 4 5 6 7 8





t

Е


1 2 3



х

(


1 2 3



х

z 2
3

H 4
y
Е
X
1

а, м/с2
-1



-2



-3



-4
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 t, с

Х, м
1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0

-0,2
0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 t, с

область область
разрежения сжатия

( А

( 2А

l


(



m

mg

х Т

х0

t, сек
v



t, сек

а



t, сек


Рис. 2.



m

m

+( –(
– +
–(пол + (пол
– + Е=((–(пол)/(0
– +
– +

l

+( –(


Е =(/(0

Н

а б в г

Н

J

(

Нвн

J



J

J

Jm

Hm

д

е

1 2 3 Увеличено в 10 раз

+J


–J



–Н

+J
Jm 1

Jr 2


–Нm Hc 6
–Н 3 0 Hc Hm +H

5
–Jr
4 –Jm
–J





Приложенные файлы

  • doc 15654883
    Размер файла: 7 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий