курсова робота

Зміст
Вступ.......................................................................................................2-3
Основні поняття....................................................................................4-6
Середовище MATLAB................................................................................7
Спіралі...................................................................................................8-15
Равлики і кардіоїди.............................................................................16-21
Овал Кассіні і лемніската Бернуллі.................................................22-28
Сім’я троянд Гранді.........................................................................29-33
Цікаві факти......................................................................................34-36
Висновок...................................................................................................38
Використана література......................................................................37



















1. Вступ
У розмовній мові слова 'кривої', 'крива', 'криве' вживається як прикметник, що позначає те, що відхиляється від прямого, від правильного, від справедливого. Кажуть про криву палиці, про криву дорогу, про криве дзеркало; 'багатий, але кривий; бідний, але прямий', - говорить прислів'я.
Математики вживають слово 'крива' зазвичай в сенсі іменника; вони розуміють під цим словом криву лінію.
Тема «Полярна система координат» дозволяє познайомити учнів з красивими результатами математичної науки.
Полярна система координат на площині визначається заданням точки O (полюс), променя Ох (полярна вісь) і одиничного відрізка т. Крім того, повинен бути вказаний поворот променя Ох, званий позитивним. Нехай це буде поворот у напрямку проти руху годинникової стрілки. Повороти променя, що здійснюються в напрямку, протилежному позитивному, будемо називати негативними.
Нехай М - довільна точка площини, не збігається з полюсом. Позначимо через довжину відрізка ОМ, а через - величину кута, утвореного променями Ох і ОМ.
Числа і такі, що >0 і 0
· < 2
·, іменують полярними координатами точки М. Число називають першою полярної координатою, або полярним радіусом, число - другою полярною координатою, або полярним кутом. Якщо точка М збігається з полюсом , то = 0, а полярний кут вважаємо рівним нулю.
Зауважимо, що при заданих нами умовах > 0, 0
· < 2
·, полярні координати будь-якої точки визначаються однозначно.
Введення таких координат дуже природно, адже місцезнаходження будь-якої точки на земній поверхні для нерухомого спостерігача зручно визначати за допомогою відстані від спостерігача до цієї точки і напрями до точки від спостерігача (у цьому випадку точка, в якій перебуває спостерігач, служить полюсом).
Дослідженню кривих, заданих у полярній системі координат, присвятили свої роботи Смірнов В. І., Вигодський М. Я., Маркушевич А. І., Савелоа А. А.
У дослідженнях Маркушевич А. І. дуже гарно дано поняття кривих, зокрема здійснено дослідження спіралей ( спіраль Архімеда, логарифмічна спіраль ), овала Кассіні і лемніскати Бернуллі, равлика Паскаля і кардіоїда.
Маркушевич А. І. у своїй книзі «Замечательные кривые» розширено розглядає лемніскати, зокрема лемніскати з n – фокусами.
Більш повно розглянуто питання про криві в полярних координатах у роботі Смірнова В. І. у I томі, де були обґрунтовані основні криві, сформульовані і розкриті питання про овал Кассіні, лемніскату, равлика і кардіоїда.
У книзі Савелова А. А. «Плоские кривые», автор значну увагу посвятив питанням загальної теоріі кривих і опису чудових властивостей, і особливостей окремих кривих.
Усі криві я побудувала в середовищі MATLAB, за допомогою вбудованих функцій polar (phi, rho), polar (phi, rho, S) та ezpolar.












2. Основні поняття
Полярна система координат двовимірна система координат, в якій кожна точка на площині визначається двома числами кутом та відстанню. Полярна система координат особливо корисна у випадках, коли відношення між точками найпростіше зобразити у вигляді відстаней та кутів. Полярна система координат задається променем, який називають нульовим або полярною віссю. Точка, з якої виходить цей промінь називається початком координат або полюсом. Будь-яка інша точка на площині визначається двома полярними координатами: радіальною та кутовою. Радіальна координата (зазвичай позначається ) відповідає відстані від точки до початку координат. Кутова координата, що також зветься полярним кутом або азимутом і позначається
·, дорівнює куту, на який потрібно повернути проти годинникової стрілки полярну вісь для того, щоб потрапити в цю точку.
Визначена таким чином радіальна координата може приймати значення від нуля до нескінченості, а кутова координата змінюється в межах від 0° до 360°.








Спіраль Архімеда крива, яку описує точка M при рівномірному русі її із швидкістю v по прямій, що рівномірно обертається з кутовою швидкістю
· в площині навколо однієї із своїх точок О.
Рівняння спіралі Архімеда у полярних координатах має вигляд
· = а
·

Спираль Галилея (
·=
·
·2-l) відрізняється від спіралі Архімеда тим, що відстань між витками непостійна. Це пояснюється квадратом аргумента
·.

Гіперболічна спіраль плоска трансцендентна крива. Рівняння гіперболічної в полярній системі координат є зворотнім для рівняння спіралі Архімеда і записується як:
·
· = a

Жезл в математиці плоска спіраль, у якої кут обернено-пропорційний до квадрату радіуса:
Таким чином, в в полярних координатах ця крива описується рівнянням:

Крива прямує із нескінченності (де вона асимптотично наближається до горизонтальної осі) до точки (0;0), навколо якої вона закручується по спіралі проти годинникової стрілки. Розмір спіралі залежить від коефіцієнту a. Має одну точку перегину (в (r,
·) кординатах ): .
В англомовні літературі ця крива має назву lituus з латинської "ритуальний посох".

Логарифмічна спіраль або ізогональна спіраль особливий вид спіралі, що часто зустрічається в природі. Логарифмічна спіраль була вперше описана Декартом і пізніше інтенсивно досліджена Бернуллі, який називав її Spira mirabilis «дивовижна спіраль».

Клотоїда або Спіраль Корню крива, в якої кривизна змінюється лінійно як функція від довжини дуги.

Спіраль Ферма (також відома як параболічна спіраль) це крива, що визначається рівнянням в полярних координатах. Більш загальний вигляд рівняння: r 2 = a 2
·. Спіраль Ферма є одним з видів спіралі Архімеда.
Равлик Паскаля плоска алгебраїчна крива 4-го порядку; подера кола, конхоїда кола відносно точки на колі, частинний випадок Декартового овалу, вона також являється епітрохоїдою. Названа за ім'ям Етьєна Паскаля (батька Блеза Паскаля), який вперше розглянув її.
Рівняння в полярних координатах:

Кардіоїда (грец.
·
·
·
·
·
· - серце, грец.
·
·
·
·
· - вид) - плоска лінія, яка описується фіксованою точкою кола, що котиться по нерухомому колі з таким же радіусом. Отримала свою назву через схожість своїх обрисів зі стилізованим зображенням серця.

Овал Кассіні - геометричне місце точок, відстань яких до двох заданих точок (фокусів) постійно і дорівнює квадрату деякого числа a. Окремим випадком овалу Кассіні при фокусній відстані рівному 2a є Лемніската Бернуллі. Сам овал є Лемніската з двома фокусами.

Лемніската Бернуллі геометричне місце точок, добуток відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) незмінна і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами.

Полярна роза відома математична крива, схожа на квітку з пелюстками. Вона може бути визначена простим рівнянням в полярних координатах:

для довільної сталої
·0 (включно з 0). Якщо k ціле число, то це рівняння визначатиме розу з k пелюстками для непарних k, або з 2k пелюстками для парних k. Якщо k раціональне, але не ціле, графік заданий рівнянням утворить фігуру подібну до рози, але пелюстки будуть перекриватись. Рози з 2, 6, 10, 14 і т. д. пелюстками цим рівнянням визначити неможливо. Змінна a визначає довжину пелюсток.

3. Середовище MatLab
MATLAB – це математичний пакет прикладних програм, заснований на використанні матриць. Назва пакету є абревіатурою двох слів MATrix LABoratory (МАТрична ЛАБораторія). MATLAB містить велику кількість спеціалізованих програм (функцій), має власну мову програмування високого рівня, а також надає потужні можливості візуального подання двовимірних та тривимірних даних. Важливу роль у MATLAB відіграють спеціалізовані групи програм (пакети) – так звані Toolbox, в яких зібрані функції для розв’язування окремих класів задач, наприклад, PDE Toolbox, Spline Toolbox та інші.
Пакет MATLAB розвивається протягом кількох десятків років, орієнтуючись на різних користувачів. Сьогодні в університетському середовищі розвинених країн світу ця система є стандартним інструментом для навчання основам чисельних методів, а також проведення наукових досліджень у різних галузях прикладної математики. Використання MATLAB при розв’язуванні прикладних задач дає змогу повністю позбавитись необхідності виконання рутинних обчислень і зосередитись на особливостях задачі, візуалізації результатів і т.д.
Середовище MATLAB має досить потужні можливості для графічного подання інформації, що надає йому особливої практичної цінності. MATLAB дозволяє будувати двовимірні та тривимірні графіки функцій, заданих в аналітичному вигляді, у вигляді векторів або матриць; надає можливість будувати діаграми, гістограми та графіки спеціальних функцій.
Для побудови графіка в полярних координатах використовуються функції polar (phi, rho), polar (phi, rho, S) та ezpolar.
Команда polar (phi, rho) реалізує побудову графіків в полярних координатах, які задаються кутом phi і радіусом rho.
Команда polar (phi, rho, S) реалізує побудову графіків в полярних координатах, які задаються кутом phi і радіусом rho, із заданою специфікацією лінії S, яка задає тип лінії, колір та тип позначення.
4. Спіралі
Спіралей існую багато, але ми розглянемо тільки деякі з них.
Логарифмічна спіраль або ізогональна спіраль особливий вид спіралі, що часто зустрічається в природі. Логарифмічна спіраль була вперше описана Декартом і пізніше інтенсивно досліджена Бернуллі, який називав її Spira mirabilis «дивовижна спіраль».
Рівняння логарифмічної спіралі для полярних координат може бути записано так [1]:
13EMBED Equation.31415, (1)
де 13EMBED Equation.31415  полярний радіус точки 13EMBED Equation.31415, а q  коефіцієнт росту.
Коефіцієнт росту логарифмічної спіралі  це відношення q кінцевого полярного радіусу 13EMBED Equation.31415 до початкового 13EMBED Equation.31415 при повороті прямої UV на кут 13EMBED Equation.31415 [3].
Звичайно рівняння (13 LINK \l "Формула1" 14115) записується у вигляді:
13EMBED Equation.31415, (2)
де k  параметр, що виражається через коефіцієнт росту q так:
13EMBED Equation.31415 (3)
Властивості логарифмічної спіралі
Із багатьох властивостей логарифмічної спіралі відзначимо:
Будь-який промінь, що виходить з початку, перетинає будь-який виток спіралі під одним і тим же кутом. Величина цього кута залежить від числа k у рівнянні спіралі. При цьому під кутом між променем та спіраллю розуміється кут між цим променем та дотичної до спіралі, що проведена у крапці перетину (див. 13 LINK \l "Рисунок3" 14Рисунок 315) [7].


Рисунок 13 SEQ Рисунок \* ARABIC 14115

Розмір витків логарифмічної спіралі поступово збільшується, але їх форма залишається незмінною.
Якщо віддалення точки М від полюса О супроводжується обертанням прямої UV проти часової стрілки, то логарифмічна спіраль має назву правої; в противному випадку  лівої. Для правої спіралі коефіцієнт росту 13EMBED Equation.31415, для лівої 13EMBED Equation.31415; при 13EMBED Equation.31415 спіраль вироджується у коло з радіусом 13EMBED Equation.31415. Також для правих спіралей параметр k має позитивне значення, а для лівих  негативне. У граничному випадку, коли 13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415 спіраль вироджується в коло з радіусом 13EMBED Equation.31415. Навпаки, коли k прагне до нескінченності 13EMBED Equation.31415 спіраль прагне до прямої лінії [1].
Виконаємо побудову логарифмічної спіралі в середовищі MATLAB, для цього використаємо вбудовану функцію ezpolar:
>> ezpolar('8^(t/10)',[-2*pi,2*pi])




















Спіраль Архімеда
Помістимо точку на секундну стрілку годинника і будемо перемішати точку вздовж секундної стрілки з постійною швидкістю, не звертаючи уваги на рівномірний рух стрілки годинника по колу. Тоді точка опише криву, називану спіраллю Архімеда.
Винахід цієї кривої приписується Конону Самоський, хоча її основні властивості описав саме Архімед (бл. 287-212 рр.. До н.е.). Архімеда, зокрема, було відомо, що відстань між двома послідовними витками спіралі є постійною величиною і дорівнює 2
· (рис. 3).
Спіраль Архімеда крива, яку описує точка M при рівномірному русі її із швидкістю v по прямій, що рівномірно обертається з кутовою швидкістю
· в площині навколо однієї із своїх точок О.
Властивості спіралі Архімеда вивчив Архімед. Якщо в початковий момент руху точки М і О збігаються і полярна вісь збігається з початковим положенням рухомої прямої, то рівняння спіралі Архімеда у полярних координатах має вигляд
· = а
·
Побудова першого витка спіралі Архімеда.
Накреслимо коло. Розділимо її і радіус ОА на п рівних частин.
Нехай n = 8. Проведемо на всі точки поділу промені з центру Про окружності і пронумеруємо їх (рис. 4). На промені 1 відзначимо точку на відстані = ОА від центру кола.
На промені 2 Зазначимо точку на відстані = ОА, на промені 3 - крапку на відстані= ОА і т.д. На промені 8 поставимо крапку на відстані = ОА.
Поєднавши послідовно плавною кривою отримані точки, ми побачимо перший виток спіралі Архімеда. Побудова буде тим більш точним, чим більше точок розподілу радіуса та кола буде обрано спочатку.
Спіраль Архімеда використовується як лінії, що дозволяє розділити заданий кут на будь-яку кількість рівних частин.
У деяких готовальня в старовину до складу робочих інструментів входила металева пластинка з ретельно вигравіруваним на ній спіраллю Архімеда. За допомогою такого пристосування було неважко розділити кут на кілька рівних частин.
Наприклад, для трисекции кута ВАС досить прикласти пластину її рівною частиною до одного з променів кута (рис. 5) і поділити отриманий відрізок АВ на 3 рівні частини. На дузі спіралі слід зробити зарубки радіусом
АТ = - АВ. Тоді кут САО дорівнюватиме однієї третини кута ВАС.

В області техніки спіраль Архімеда знаходить застосування в так званих кулачкових механізмах, які перетворять обертальний рух шайби у поступальний рух стержня. У деяких механізмах (наприклад, в годинах) потрібно, щоб стрижень рухався рівномірно. Забезпечити це можна, окресливши профіль шестерні по спіралі Архімеда.
В якості другого об'єкта для застосування спіралі Архімеда в техніці можна привести самоцентруючийся патрон, направляючі канавки якого виконані по спіралі Архімеда. При одному повороті диска цього патрона кулачки переміщуються на величину радіального відстані суміжні канавок.
Крім того, форму спіралі Архімеда мають звукова доріжка на грамплатівці і одна з деталей швейних машин - механізм для рівномірного намотування ниток на шпульку.
Виконаємо побудову одну із віток спіралі задану рівнянням для в середовищі MATLAB, для цього використаємо вбудовану функцію ezpolar
>> ezpolar('phi',[0,6*pi])
>>title('phi>0')

>> ezpolar('phi',[0,-6*pi])
>>title('phi<0')

Види спіралей

Рівняння, назва
Графік




спираль Архимеда





спираль Галилея





спираль гиперболическая






спираль "жезл"




спираль Корню (клофоида)





спираль логарифмическая





спираль параболическая





спираль Ферми


























5. Равлик Паскаля та кардіоїда
Равлик Паскаля плоска алгебраїчна крива 4-го порядку; подера кола, конхоїда кола відносно точки на колі, частинний випадок Декартового овалу, вона також являється епітрохоїдою. Названа за ім'ям Етьєна Паскаля (батька Блеза Паскаля), який вперше розглянув її.
Рівняння в полярних координатах має вигляд:

Тут a діаметр вихідного кола, а l відстань, на яку зміщається точка вздовж радіус-вектора.
Особливості форми:
Равлик Паскаля симетричний відносно прямої OB. Ця пряма (вісь равлики) перетинає равлика: 1) у точці O (якщо остання належить равлику), 2) у двох точках A, C (вершини). Форма лінії залежить від співвідношення між відрізками і .
1) Коли (лінія 1 жирна; для неї ) равлик Паскаля перетинає сама себе в вузловій точці O

Утворюючи дві петлі: зовнішню OHA1GO і внутрішню OH'C1G'O. Кутовий коефіцієнт дотичних OD, OE в вузловій точці:

Для побудови дотичних досить провести хорди OD, OE довжини l в окружності K. Найбільш віддаленим від осі точкам G, H зовнішньої петлі відповідає значення

Найбільш віддаленим точкам G ', H' внутрішньої петлі – значення

Відповідне полярне значення полярного радіуса:

Коли (лінія 2 на рис.6), внутрішня петля затягується до полюса і перетворюється в точку повернення, де рух у напрямку променя OX змінюється рухом у протилежному напрямку. Найбільш віддаленим від осі точкам L, M відповідають значення

Лінія 2 називається кардіоїда, тобто «Сердцеподібною» (термін введений Кастіллоном в 1741г.).
3) Коли (лінія 3; для неї ), равлик Паскаля - замкнута лінія без самоперетину; відірвавшись від полюса, вона укладає його всередині себе. Найбільш віддаленим від осі точкам L ', N' відповідає значення . Втративши точки повернення, равлик набуває замість точки перегину R, Q, яким відповідає значення .
4) При точки перегину, зливаючись з вершиною C пропадають (причому кривизна в точці C стає рівною нулю). Равлик набуває овальну форму і зберігає її при всіх значеннях

(Лінія 4, для неї ). Найбільш віддаленими від осі L'', N'' відповідає значення:

Властивості нормалі
Нормаль равлики Паскаля в її точці M (рис.7) проходить через точку N основного кола K, діаметрально протилежну тій точці P, де OM перетинається з основною колом.
Виконаємо побудову равлика Паскаля в середовищі MATLAB, для цього задамо незалежну змінну, межу від 0 до 2
· з кроком 0.1, використаємо вбудовану функцію polar.
>> phi=0:0.1:2*pi;
>> polar (phi, (1-3*cos( (phi)))



Кардіоїда (грец.
·
·
·
·
·
· - серце, грец.
·
·
·
·
· - вид) - плоска лінія, яка описується фіксованою точкою кола, що котиться по нерухомому колі з таким же радіусом. Отримала свою назву через схожість своїх обрисів зі стилізованим зображенням серця.
Кардіоїда є окремим випадком равлика Паскаля, епіціклоіди і синусоїдальної спіралі.
Рівняння в полярних координатах має вигляд:

Доведення:
1). Рівняння. Кардіоїди можна визначити як траєкторію точки, що лежить на колі круга радіуса r, що котиться по колу нерухомого кола з таким же радіусом. Вона буде являти собою, таким чином, епіціклоіду з модулем m, рівним 1.
Ця обставина дозволяє відразу ж записати параметричні рівняння кардіоїди, замінюючи в параметричних рівняннях епіціклоіда модуль m одиницею. Будемо мати:
(1)
Щоб отримати полярне рівняння кардіоїда, зручно прийняти за полюс точку А (рис.1), а полярну вісь направити по осі абсцис. Так як чотирикутник AOO1M буде рівнобедреної трапецією, то полярний кут ( точки М виявиться рівним куту повороту виробляє кола, тобто параметру t. Враховуючи цю обставину, замінимо в другому рівнянні системи (1) у через ( sin t. Скорочуючи отримане таким чином рівність на sin t, отримаємо полярне рівняння кардіоїда.


(рис. 1)

По виду цього рівняння

можна зробити висновок, що кардіоїда є однією з равликів Паскаля. Вона може бути визначена, отже, як конхоіда кола.
Перекладаючи рівняння (2) в прямокутну систему координат, отримаємо:
(3)
З цього рівняння випливає, що кардіоїда є алгебраїчної кривої 4-го порядку.
Доведено.
Властивості:
Насамперед, оскільки кардіоїда є епіциклоідой з m = 1, на неї можна перенести всі властивості епіциклоїди:
1. Дотична в довільній точці кардіоїда проходить через точку округлості кола, діаметрально протилежну точці дотику кіл, а нормаль - через точку їх дотику.
2. Кут (, що складається дотичною до кардіоїда з радіусом-вектором точки дотику, дорівнює половині кута, утвореного цим радіусом-вектором з полярною віссю.
Радіус кривизни в довільній точці кардіоїда визначиться за формулою (5)
тЕволюти кардіоїда, відповідно до загального властивості еволюти епіціклоіда, буде також кардіоїда, подібної даної, з коефіцієнтом подібності, рівним 1 / 3, і повернутою щодо даної на кут 180 °.

Довжина дуги кардіоїда від точки А до довільної точки М визначається за формулою
· ( 6)
Якщо довжину дуги відраховувати від точки А1, діаметрально протилежній точці А, то формула для визначення довжини дуги може бути записана у вигляді
6. Натуральне рівняння кардіоїда вийде, якщо з рівності (4) і (6) виключити параметр. Воно буде мати вигляд:
(7)
7. Площа, обмежена кардіоїда, визначиться за формулою

і, як видно, дорівнює шестикратній площі кола.
Довжина всієї кардіоїда визначиться за формулою

і, як видно, дорівнює восьми діаметрам кола. Обсяг тіла, отриманого від обертання кардіоїда навколо її осі, дорівнює
Поверхня тіла, отриманого від обертання кардіоїда навколо її осі, дорівнює
Виконаємо побудову кардіоїда в середовищі MATLAB, для цього задамо незалежну змінну, межу від 0 до 2
· з кроком 0.1, використаємо вбудовану функцію polar.
>> phi=0:0.1:2*pi;
>> polar (phi, (1+cos(phi)))











6. Овал Кассіні і лемніската Бернуллі
Овал Кассіні - геометричне місце точок, відстань від яких до двох заданих точок (фокусів) постійно і дорівнює квадрату деякого числа a. Окремим випадком овалу Кассіні при фокусній відстані рівному 2a є Лемніската Бернуллі. Сам овал є Лемніската з двома фокусами.
Крива була придумана астрономом Джованні Кассіні. Він помилково вважав, що вона точніше визначає орбіту Землі, ніж еліпс.
Хоча цю лінію називають овалом Кассіні, вона не завжди овальна
Рівняння в полярних координатах має вигляд:

Доведення:

Використовуючи формули переходу до полярної системи координат отримаємо:

Виносимо спільні множники і користуємося тригонометричною рівністю sin2
· + cos2
· = 1:
Використовуємо ще одну рівність : cos2
·
· sin2
· = cos2
·:

Доведено.
Особливості форми:
У рівнянні кривої містяться два незалежних параметра: c - половина відстані між фокусами і a - твір відстаней від фокусів до будь-якої точки кривої. З точки зору форми найбільш істотно ставлення параметрів, а не їх величини, які при незмінному відношенні визначають лише розмір фігури. Можна виділити шість різновидів форми залежно від величини відношення
, тобто , при
Крива вироджується в дві точки, які співпадають з фокусами. При форма кривої прагне до двох точок.
, тобто
Крива розпадається на два окремих овала, кожен з яких витягнутий в напрямку іншого і за формою нагадує яйце.
, тобто
Права частина рівняння в прямокутних координатах звертається в нуль, і крива стає Лемніскатою Бернуллі.
, тобто
У кривої з'являються чотири симетричні точки перегину (по одній в кожній координатній чверті). Кривизна в точках перетину з віссю OY прагне до нуля, коли a прагне до c і до нескінченності, коли a прагне до
, тобто
Крива стає овалом, тобто опуклою замкненою кривою.
, тообто , при
У міру збільшення a крива (тобто прагнення відношення до нуля) прагне до кола радіуса a. Якщо c = 0, то віднлшення досягає нуля і в цьому випадку крива вироджується в коло.
Властивості :
Овал Кассіні - алгебраїчна крива четвертого порядку.
Вона симетрична щодо середини відрізка між фокусами.
При має два абсолютні максимуму і два мінімуму:

Геометричне місце точок абсолютних максимумів і мінімумів - коло радіуса c з центром у середині відрізка між фокусами.
При крива має чотири точки перегину. Їх полярні координати:

Геометричне місце точок перегину - Лемніската з вершинами .
Радіус кривизни для подання в полярних координатах:

Виконаємо побудову овала Кассіні в середовищі MATLAB, для цього задамо незалежну змінну, межу від 0 до 2
· з кроком 0.1, задамо значення параметрів. Наприклад, a = 1, b = 3, c = 2 та використаємо вбудовану функцію polar.
>> a=1;
>> b=3;
>> c=2;
>> phi=0:0.1:2*pi;
>> r=sqrt(c^2*cos(2*phi)+sqrt(c^4*cos(2*phi)+(a^4+b^4)));
>> polar (phi,r,'-*')












В результаті отримали частинний вид овала Кассіні.

Лемніската Бернуллі геометричне місце точок, добуток відстаней від яких до двох заданих точок (фокусів) незмінна і дорівнює квадрату половини відстані між фокусами.
Лемніската по формі нагадує вісімку. Її назва походить з античного Риму, де «лемніскатою» називали бантик, з допомогою якого прикріпляли вінок до голови переможця на спортивних іграх. Цю лемніскату називають в честь швейцарського математика Якоба Бернуллі, який поклав початок її вивченню.
Рівняння в полярних координатах має вигляд:

Доведення:
Використовуючи формули переходу до полярної системи координат отримаємо:

Винесемо спільні множники і використаємо тригонометричну тотожність sin2
· + cos2
· = 1:

Використаємо ще одну тотожність: cos2
·
· sin2
· = cos2
·:

Поділимо на
·2, вважаючи, що :

Як і в випадку прямокутної системи можна замінити a2 = 2c2:

Доведено.
Властивості
Лемніската Бернуллі є окремим випадком овалу Кассіні при a = c, синусоїдальної спіралі з індексом n = 2 і Лемніската Бута при c = 0, тому вона успадковує деякі властивості цих кривих.
Властивості від овалу Кассіні:
1. Лемніската крива четвeртого порядка.
2. Вона має двi осі симметрії: пряма, на якій лежить F1F2, і середній перпендикуляр цього відрізка, в простішому (даному) випадку вісь OY.
3. Точка, де лемниската пересікає саму себе, називається вузловою чи подвійною точкою.
4. Крива має 2 максимума і 2 мінімума. Їх координати:

5. Відстань від максимума до мiнімума, що знаходяться по одну сторону від серединного перпендикуляра (осі OY в даному випадку) дорівнює відстані від максимума (чи від мінімума) до подвійної точки.
Властивості від синусоїдальної спіралі :
1. Точка, де Лемніската перетинає саму себе, називається вузловою або подвійний точкою.
2. Дотичні в подвійній точці складають з відрізком F1 F2 кути .
3. Кут
·, що складається дотичній в довільній точці кривої з радіус-вектором точки дотику дорівнює .
4. Дотичні в точках перетину кривої і хорди, що проходить через подвійну точку, паралельні один одному.
5. Інверсія відносно поверхні з центром в подвійній точці, переводить леминіскату Бернуллі в рівнобічну гіперболу.
Лемніскату описує поверхня радіуса , тому деколи в рівняннях проводять цю заміну.
6. Радіус кривизни лемніскати є
7. Натуральне рівняння кривої має вигляд:

8. Подерою Лемніскати є синусоїдальна спіраль

9. Лемніската сама є подерою рівносторонньї гіперболи.
Особисті властивості:
1. Крива є геометричним місцем точок, симетричних з центром равносторонней гіперболи щодо її дотичних.
2. Відрізок бісектриси кута між фокальними радіусами-векторами точки лемніската дорівнює відрізку від центру лемніскати до перетину її осі з цією бісектрисою.
3. Матеріальна точка, що рухається по кривій під дією однорідного гравітаційного поля, пробігає дугу за той же час, що й відповідну хорду. При цьому вісь лемніскати складає кут з вектором напруженості поля, а центр лемніскати збігається з вихідним положенням рухової точки.
4. В полярних координатах , вірне наступне
Площа полярного сектора , при :

Площа кожної петлі .
Побудова
Шарнірні методи
1). З допомогою трьох відрізків
Це один із найбільш простих і швидких способів, однак потребує наявності додаткових пристосувань.
На площині вибираються дві точки A і B наступні фокуси лемніскати. Складається спеціальна конструкція із трьох скріплених в ряд на шарнірах відрізках, щоб отримана лінія могла вільно вигинатися в двох містах (точки вигину C и D). При цьому необхідно зберігати пропорції відрізків:

Краї лінії закріплюються до фокусів. При непараллельному повертанні відрізків навколо фокусів середина центрального відрізка описує лемніскату Бернуллі.
Варіант другий
У цьому варіанті лемніската будується по фокусу і подвійний точці - A і O відповідно. Збирається майже така ж шарнірна конструкція як і в попередньому варіанті, але прикріплений до подвійної точці відрізок OC з'єднується не з кінцем центрального BD, а з його серединою. Пропорції також інші:
2). За допомогою сiчних (спосіб Маклорена)
Будується поверхня радіуса з центром в одному із фокусів. Із середини O фокусного відрізка будується довільна сiчнa OPS (P i S точки перетину з поверхнею), і на ній в обидві сторони відкладуються відрізки OM1 і OM2, рівні хордi PS. Точки M1, M2 лежать на рiзних петлях лемнискати.
Виконаємо побудову лемніскати в середовищі MATLAB, для цього задамо незалежну змінну, межу від 0 до 2
· з кроком 0.1, використаємо вбудовану функцію polar.
>> phi=0:0.1:2*pi;
>> r=sqrt(2.*2.^2*cos(2*phi));
>> polar (phi,r,'-*')














7. Сім’я троянд Гранді
Рівняння п полярних координатах має вигляд:
=sink, де до k - позитивна постійна.
У XVIII ст. італійський геометр Гвідо Гранді (16711742) створив троянди. Ні, зовсім не ті прекрасys квіти. Троянди Гранді радують нас правильними і плавними лініями, але їх контури не каприз природи вони зумовлені спеціально підібраними математичними залежностями. Ці залежності підказали самою природою, адже в більшості випадків абрис аркуша або квітки є кривою, симетричною відносно осі.
Сімейство троянд Гранді має властивість, яке в природі не одразу і виявиш: так, як | sin(k |
·1, то вся крива розміщена всередині кола одиничного радіуса. Через періодичність тригонометричних функцій троянда складається з однакових пелюсток, симетричних відносно найбільших радіусів, кожен з яких дорівнює 1.



Найбільш красиві «квіти» виходять при до k = 2 (чотирипелюсткова троянда) і при до k = 3 (трипелюсткова троянда, хоча читачеві, що звернув увагу на мал. 11,б, може здатися, що ця крива більше нагадує пропелер).
Покажемо, як побудувати трипелюсткову троянду. Для побудови цієї кривої спочатку відмітимо, що оскільки полярний радіус ненегативний, то повинна виконуватися нерівність sin3
·0, вирішуючи яке знаходимо область допустимих кутів: 0
· ,
Через періодичність функції sin (її період рівний) досить побудувати графік для кутів в проміжку 0 , а в останніх двох проміжках використовувати періодичність. Отже, хай 0
· . Якщо кут змінюється від 0 до 1, і аналогічно також змінюється від 0 до 1. Якщо кут змінюється від , то радіус змінюється від 1 до 0. Таким чином при зміні кута від 0 до , крапка на плоскості описує криву, схожу на контури пелюстки і повертається в початок координат. Такі ж пелюстки виходять, коли кут змінюється в межах від до
· і від до .
Функція sin 2
· періодична з періодом
·, крім того
sin (2( , тому досить побудувати криву в першій чверті, потім дзеркально відобразити її відносно осі Оу і використовувати періодичність для побудови кривої в третій і четвертій чвертях.
Функція = sin2 відрізку [0; ], монотонно зростає з 0 до 1, а на відрізку [;;] монотонно спадає від 1 до 0. Таким чином, ми отримали пелюстки троянди, що лежить в першій чверті. Інші три пелюстки вийдуть, якщо побудувати криву в останніх чвертях.
Відзначимо наступні цікаві властивості чотирьохпелюсткової троянди:
чотирипелюсткових троянда є геометричне місце основ перпендикулярів, опущених з початку координат на відрізок довжиною 1, кінці якого ковзають по координатних осях;
площа, обмежена чотирьохпелюстковою трояндою, дорівнює .
Троянди Гранді знайшли своє застосування в техніці, зокрема, якщо деяка точка здійснює коливання вздовж прямої, що обертається з постійною швидкістю навколо нерухомої точки - центру коливань, то траєкторія цієї точки буде трояндою.
Взагалі, якщо k - натуральне число, то троянда складається з 2k пелюсток при парному k і з k: пелюсток при k непарному. Якщо k - раціональне число (k = , то троянда складається з т пелюсток у випадку, коли обидва числа т і п непарні, і з 2т пелюсток, коли одне з цих чисел є парним, при цьому пел юстки частково перекриваються.
Якщо k - ірраціональне число, то троянда складається з нескінченної кількості частково перекривающихся пелюсток.
Виконаємо побудову троянд в середовищі MATLAB, для цього задамо незалежну змінну, межу від 0 до 2
· з кроком 0.1, використаємо вбудовану функцію polar.
Трьохпелюсткова троянда, рівняння :
>> phi=0:0.1:2*pi;
>> r=5*sin(3*phi);
>> polar (phi,r,'-*')



Чотирьохпелюсткова троянда, рівняння :
>> phi=0:0.1:2*pi;
>> r=5*sin(2*phi);
>> polar (phi,r,'-D')



Рівняння, назва
Графік




Трьохпелюсткова троянда





Чотирьохпелюсткова троянда




































8. Цікаві факти
Першим, хто описав логарифмічну спіраль як механічну криву, на відміну від кривих алгебраїчних, був Декарт, який в 1638 р. написав ченцеві Мерсенну про результати своїх досліджень.
Декарт шукав зростаючу криву, що володіє властивістю, подібним властивості кола, так щоб дотична в кожній точці утворювала з радіус-вектором в кожній точці завжди один і той самий кут. Звідси і назва рівнокутна.
Він також показав, що ця умова рівнозначно тому, що полярні кути для точок кривої пропорційні логарифмам радіус-векторів. Звідси і друга назва: логарифмічна спіраль. Відстань між витками зростає із збільшенням кута, тобто радіус-вектор збільшується експоненціального зі збільшенням кута повороту.
Так що третю назву цієї кривої - геометрична спіраль.
Батьком цієї спіралі, по всій справедливості, є Якоб Бернуллі. Якоб Бернуллі хотів, щоб на його могилі була викарбувана логарифмічна спіраль, але замість цього помилково на його надгробок помістили спіраль Архімеда. Тим не менше, напис на латині, вигравійована згідно із заповітом навколо спіралі, «EADEM MUTATA RESURGO» («змінена, я знов воскресаю»), свідчить про те, що мається на увазі саме логарифмічна спіраль, яка володіє чудовою властивістю відновлювати свою форму після різних перетворень.
Логарифмічна спіраль, безсумнівно, є спіраллю, яка найбільш часто зустрічається в природі. Царство тварин надає нам приклади спіралей раковин равликів і молюсків. Всі ці форми вказують на природне явище: процес накручування пов'язаний з процесом зростання.
Справді, раковина равлики - це не більше, не менше, ніж
конус, накручений на себе. Рог у жуйних тварин теж, але
вони д о того ж кручені. І хоча фізичні закони росту у різних видів різні, математичні закони, які управляють ними, однакові: всі вони мають в основі геометричну спіраль, самоподібним криву.
Якщо ми уважно подивимося на зростання раковин і рогів, то зауважимо ще одна цікава властивість: зростання відбувається тільки на одному кінці. І ця властивість зберігає форму повністю унікальну серед кривих в математиці, форму логарифмічної, або рівнокутної спіралі.
Галактики, шторми та урагани дають вражаючі приклади
логарифмічних спіралей. І нарешті, в будь-якому місці, де
природне явище, в якому поєднуються розширення або стиснення з обертанням, мимоволі з'являється логарифмічна спіраль.
У рослинному світі приклади ще більш кидаються в очі, тому що у рослини може бути нескінченна кількість спіралей, а не тільки одна спіраль у кожного. Розташування насіння в будь-якому соняшнику,
лусочок в будь-якому ананасі, та й інші
різноманітні види рослин, прості ромашки дають нам справжній парад переплітаються спіралей.
Якщо ми подивимося зверху на будь-яку соснову шишку, побачимо, що її насіння розташовуються у вигляді великого числа спіралей. І це невипадково. Це не збіг. Насіння розташовані оптимально, тобто максимально використовують простір, і ця оптимізація простору досягається за рахунок розташування по спіралі.

Кардіоїда вперше зустрічається в працях французького вченого Луї Карре (Louis Carrи, 1705 р.). Назва кривої дав Джованні Сальвеміні ді Кастіллоне (Giovanni Salvemini di Castiglione, згадується також як Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon) в 1741 р.
«Випрямлення», тобто обчислення довжини кривої, виконав Ла Ір (Philippe de La Hire), який відкрив криву незалежно, в 1708 р. Також незалежно описав кардіоїду голландський математик Й. Коерсма (J . Koersma, 1741 р.). Надалі до кривої виявляли цікавість багато видатні математики XVIII-XIX століть.

Архімедова спіраль була відкрита Архімедом. Це сталося в III столітті до н.е., коли він експериментував з компасом. Він тягнув стрілку компаса з постійною швидкістю, обертаючи сам компас за годинниковою стрілкою. Отримана крива була спіраллю, яка зсувалися на ту ж величину, на яку повертався компас, і між витками спіралі зберігалася одна і та ж відстань.
Архимедову спіраль використовували як найкращий спосіб визначення площі кола. З її допомогою був поліпшений стародавній грецький метод знаходження площі круга через вимір довжини кола. Спіраль дала можливість більш точного вимірювання довжини кола, а отже, і площі круга.
Проте невдовзі, коли Архімед спробував обчислити більш точно значення , яке спрощувало знаходження площі круга, було доведено, що спіраль для цього не підходить.


















9. Висновок
У даній роботі було розглянуто деякі криві в полярних координатах і їх особливості.
У другому пункті дала основні означення, які використовуються у роботі.
У третьому пункті дала невелику характеристику середовища MatLab. Середовище MATLAB має досить потужні можливості для графічного подання інформації, що надає йому особливої практичної цінності.
У пункті 4 розглянула логарифмічну спіраль та спіраль Архімеда, побудувала їх в середовищі MatLab.
У 5 – му пункті розглянула равлик Паскаля та кардіоїду. Їхні визначення, особливості форми, властивості нормалі, загальні властивості, побудувала їх в середовищі MatLab.
У 6 – му розглянулф равлика Паскаля та лемніскату Бернуллі. Їхні визначення, побудова, особливості форми, властивості нормалі і побудова дотичної. Побудувала їх в середовищі MatLab.
Також в даній роботі розглянула цікаві факти про деякі з кривих.
Отже, в результаті дослідницької діяльності і опрацювання наукової та методичної літератури, я показали основні властивості кривих у полярних координатах, а також вивела їхні формули та побудувала, кожну з досліджуваних кривих в середовищі MatLab.
Після такого викладу матеріалу хотілося б, щоб усі почерпнули для себе цікаву інформацію, засвоїли основні поняття, зрозуміли принципи їх використання.






10. Використана література:

1. Выгодский М. Я., Справочник по высшей математике, М.: АСТ: Астрель, 2008, 991 стр. с ил.
2. Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д-Коо, стр. 759.
3. Маркушевич А. И. Замечательные кривые, Популярные лекции по математике, выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.
4. Савелов А. А. Плоские кривые: Справочное руководство. - М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960.
5. Бубенников А. В., Громов М. Я. Начертательная геометрия. - М.: Высшая школа, 1973.
6. Гурова А. Э. Замечательные кривые вокруг нас. М, 1989
7. Смирнов В. И. Курс высшей математики, том І
8. Коновалова О. М. Методичні вказівки до лабораторних робіт з курсу «Математично-статистичні методи аналізу соціальних процесів» для студентів спеціальності 6.040200 – Соціальна робота. – Черкаси: Вид. від. ЧНУ ім. Б. Хмельницького, 2007. – 49с.
9. Стеблянко П. О., Коломієць О. М. Основи диференціальної геометрії (застосування сучасних комп’ютерних технологій, зокрема системи MatLab): Навчальний посібник для студентів університетів . – Черкаси: Вид. від. ЧНУ ім. Б. Хмельницького, 2011. – 204с.
10. http://ru.wikipedia.org/wiki/Лемниската_Бернулли
11. http://ru.wikipedia.org/wiki/Улитка_Паскаля









13PAGE 15


13PAGE 14915



Полярна сітка на якій відкладено декілька кутів з позначками в градусах.




Приложенные файлы

  • doc 15567486
    Размер файла: 6 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий